专题05 一元一次方程的解法与应用（考点清单,知识导图+3个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

专题05 一元一次方程的解法与应用（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单 01】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【清单02】一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【清单03】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点题型一】利用合并同类项、移项解一元一次方程 【例1】解方程：． 【变式1 -1】代数式与互为相反数，则x等于（    ） A．4 B．1 C． D． 【变式1 -2】“”表示一种运算，已知，，，按此规则，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1 -3】对于两个不相等的有理数，，我们规定㑏号表示，两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 【变式1 -4】已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解为 ． 【变式1 -5】如果与是同类项，那么m等于 ． 【变式1 -6】定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：． (1)直接写出 ； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，则的值为 ． 【变式1 -7】解方程：． 【变式1 -8】已知关于的方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，方程的解是整数，则有最 （填“大”或“小”）值，这个值是 ，此时， ． 【变式1 -9】如图表示的数表： 第一列 第二列 第三列 第一行 8 2 7 第二行 4 5 8 第三行 8 6 a 我们规定：表示数表中第a行第b列的数．例如：数表中第2行第1列的数为4，记作． 请根据以上规定回答下列问题： (1)______． (2)若，则______． (3)若，求x的值． 【变式1 -10】观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“成达数对”，记为，如：数对、都是“成达数对”． (1)数对、中是“成达数对”的是______； (2)若是“成达数对”，求a的值； (3)若是“成达数对”，则______“成达数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； (4)请再写出一对符合条件的“成达数对”．（不能与题目中已有的数对重复） 【变式1 -11】对于代数式， 我们引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定：，例如：，按照这个规定，解决下列问题： (1)计算的值； (2)若，求； (3)请分别写出3个行列式，它们的值分别为0，1，． 【变式1 -12】对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①    ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 【变式1 -13】已知是关于的多项式，记为． 我们规定：的导出多项式为，记为． 例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，解答下列问题： (1)若，则______． (2)若，求关于的方程的解； (3)已知是关于的二次多项式，为的导出多项式，若关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【变式1 -14】阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“”：ab．例如，25． (1)求3的值； (2)若，求x的值； (3)试探究这种特别的运算“”是否具有交换律？ 【考点题型二】利用去括号、去分母解一元一次方程 【例2】解方程：． 【变式2 -1】下列解方程的变形过程正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，去分母得 【变式2 -2】如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ． 【变式2 -3】解下列方程： (1) (2) 【变式2 -4】解方程： (1)； (2)． 【变式2 -5】解方程： (1)； (2) 【变式2 -6】解方程： 【变式2 -7】解方程：． 【变式2 -8】解方程：． 【变式2 -9】解方程． (1)      (2) 【变式2 -10】解下列方程： (1)； (2)． 【变式2 -11】解下列方程： (1)； (2)． 【变式2 -12】解方程： 【变式2 -13】本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：…………第一步 方程两边同时乘以15，去分母，得 …………第二步 去括号，得…………第三步 移项，得………第四步 合并同类项，得…………第五步 系数化1，得…………第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是____________．请你写出正确的解题过程． 【变式2 -14】下面是小超解方程的过程． 解：    第一步       第二步           第三步            第四步                       第五步 按要求完成下面的问题： (1)上述解方程第一步变形的依据是________； (2)小超从第______步开始出现错误，请你完整写出正确的解答过程． 【变式2 -15】本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．    ……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．    ……第②步 去括号，得：．    ……第③步 移项，得：．    ……第④步 合并同类项，得：．    ……第⑤步 系数化1，得：．        ……第⑥形 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 (1)第②步的依据是_________________________________________________； (2)第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________． 【变式2 -16】当取何值时，方程和方程的解相同？ 【变式2 -17】已知关于x的方程中，的解比的解大1，求a的值． 【变式2 -18】小明在对方程去分母时，错误的得到了方程，因而求得的解是．求m的值及原方程的正确解． 【考点题型三】一元一次方程应用之行程问题 【例3】我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3 -1】甲、乙二人在环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒跑一圈．若两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过 秒． 【变式3 -2】甲、乙两地相距，A车以的速度由甲地到乙地，同时，B车以的速度由乙地到甲地，经过 它们相遇． 【变式3 -3】甲、乙两人从相距40千米的两地，同时出发，相向而行．甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3，当两人相距10千米时，则所需要的时间是 小时． 【变式3 -4】已知：点在原点左侧，点在原点右侧，且点到原点的距离是点到原点距离的2倍，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点方向运动；同时，点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后，马上改变方向与点同向而行且速度始终为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒．①当点与点重合时，的值为 ；②当时，的值为 秒． 【变式3 -5】列方程解应用题： 一列火车匀速行驶，经过一条长420米的隧道需要15秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5秒，求这列火车的长度． 【变式3 -6】体育课上进行追逐跑训练．李宏的速度为每秒钟4米，张明的速度为每秒钟5米．李宏先从点A出发5秒到点B后，张明再从点A出发追逐李宏．求张明出发几秒后追上李宏？ (1)陈佩同学在解题时进行画图分析如下： 其中线段AB表示的路程为________米； (2)列出相应方程，并求解此问题． 【变式3 -7】如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． (1)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度． (2)若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm． (3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值． 【考点题型四】一元一次方程的应用之配套问题 【例4】某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该厂有44名工人，每名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4 -1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较近，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，若设从乙处调配x人去甲处，则可列方程为 ． 【变式4 -2】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图所示，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套? 设生产圆形铁片的工人有人，则生产长方形铁片的工人有 人，依题意可列方程为 ． 【变式4 -3】列方程解应用题． 某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 【变式4 -4】列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个． 已知2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【变式4 -5】某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【考点题型五】一元一次方程的应用之工程问题 【例5】整理一批数据，由一个人做要40小时完成．现由x人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，假设这些人的工作效率相同，则可列方程为 （用含x的式子表示）． 【变式5 -1】故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    【变式5 -2】用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每台型机器一天生产件产品． 答： 方法二 分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每箱装件产品． 答： 【变式5 -3】列方程组解应用题 某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先、后接力完成．已知A工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时20天．问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 【变式5 -4】为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【考点题型六】一元一次方程的应用之销售问题 【例6】某学校在七年级开展种植类的劳动课程．现需要购买仿生阳光房若干个．经调查发现，同一款式的仿生阳光房在甲、乙两家商店的标价均是100元． 新年将至，两家商店开展促销活动，优惠方式如下： 甲商店：每个仿生阳光房按9折（标价的90%）出售； 乙商店：购买的仿生阳光房的个数不超过10时，按标价出售；购买的仿生阳光房的个数超过10时，超过部分按8折（标价的80%）出售． (1)若在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费______元； (2)若在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费______元（用含m的代数式表示）； (3)购买该款式的仿生阳光房的个数为多少时，在甲、乙两家商店的花费相同？ 【变式6 -1】由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（　　） A．230元 B．250元 C．270元 D．300元 【变式6 -2】中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过350元一律9折；（3）一次性购物超过350元一律8折．王波两次购物分别付款80元、288元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（    ） A．320元 B．332元 C．320元或352元 D．332元或363元 【变式6 -3】2023年12月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个30元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小雅原计划购买手提袋多少个？ (2)艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共50本作为奖品，其中新年日历标价每本20元，画册标价每本10元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计560元．问老师购买了新年日历和画册各多少本？ 【变式6 -4】列方程解应用题： 某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？ 【变式6 -5】某公司销售A，B，C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年A，B两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品C是今年销售的重点．如果要使今年的总销售金额与去年持平，求今年高新产品C的销售金额应比去年增加的百分比． 【变式6 -6】某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%． (1)每件A种商品利润率为______，B种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【考点题型七】一元一次方程的应用之比赛积分问题 【例7】2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以或者取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 名次 球队 场次 胜场 负场 总积分 1 中国 11 11 0 　 2 美国 11 10 1 28 3 俄罗斯 11 8 3 23 4 巴西 11 21 (1)中国队11场胜场中只有一场以取胜，请将中国队的总积分填在表格中． (2)巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表，求巴西队胜场的场数． 【变式7 -1】有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜10场，总分30分；乙队伍胜6场，平4场，总分22分；丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场，平2场；戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍．根据以上信息，丁队伍总分是 ，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为 （填写下面正确结果的序号）． ①甲乙丙丁戊；②甲乙丁丙戊；③甲乙丁戊丙；④甲乙戊丁丙 【变式7 -2】如表是某次篮球联赛积分榜的一部分 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 光明 远大 钢铁 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分； (2)设某队胜场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含的整式填空）； (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值． 【变式7 -3】某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，共设20道单项选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 20 0 100 王晓林 18 2 88 李毅 10 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得_______分，答错1题扣________分； (2)参赛者李小萌得了76分，求她答对了几道题． 【变式7 -4】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： （1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分； （2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题） 【变式7 -5】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 2 88 C 64 D 10 40 （1）参赛者E说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗?并说明理由； （2）补全表格，并写出你的研究过程． 【考点题型八】一元一次方程的应用之方案选择问题 【例8】列方程解应用题： 延庆区张山营镇是著名的“苹果之乡”，出产的苹果色泽鲜艳、品种优良，红富士苹果获得“中华名果”的称号，秋收季节，某公司打算到张山营果园基地购买一批苹果．果园基地对购买量在1000千克（含1000千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克10元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由顾客自己运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． (1)公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果公司打算购买3000千克苹果，选择哪种方案省钱？为什么？ 【变式8 -1】列方程解应用题： 每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示： 数量 20本及以下 20本以上 价格 每本4元 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？ 【变式8 -2】某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品．在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用是1000元．求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和． 【变式8 -3】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下： 甲商店：买一个挂件送一个徽章； 乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售． 如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个）， (1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元； (2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； (3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由． 【变式8 -4】某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用 45 座的客车，则刚好坐满；若只租用60座的客车，则可少租用1辆，且有一辆上只坐了15人，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为 ，租用60座的客车（x-1）辆，则参观总人数可表示为 ，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需要 辆，租用60座的客车需要 辆，根据题意列方程． (2)若45座的客车每辆租金是1200元，60座的客车每辆租金是1500元，如果两种客车可以混租，请直接写出45座客车和60座客车各租多少辆时，费用最少． 【变式8 -5】小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 …… 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． (1)他们共点了____________份B套餐；（用含x的式子表示）； (2)若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【变式8 -6】北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观．某校七年级2班学生计划去奥森公园划船，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元/小时 120元/小时 已知所有学生均有座位且划船1小时，请解决下面问题： (1)若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ (2)请你直接写出一种比（1）中省钱的租船方案：_______条四座电瓶船，_______条六座电瓶船． 【考点题型九】一元一次方程的应用之数字问题 【例9】一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ） A．45 B．27 C．72 D．54 【变式9 -1】幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9 -2】幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 【考点题型十】一元一次方程之几何问题 【例10】如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    【变式10 -1】对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． (1)当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； (2)已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； (3)若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【变式10 -2】定义：如图①，射线在的内部，图中共有3个角：，，．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数＝______； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 【变式10 -3】定义：数轴上有一点M，若点M到线段两个端点的距离成二倍关系时，则称点M是线段的二倍关联点． 已知：点O为数轴原点，点A表示的数为1． (1)若点C在线段上，线段的二倍关联点C表示的数为3，则点B表示的数为 ； (2)点B从表示5的点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点D从表示1的点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当点D是线段的二倍关联点时，求出t的值； (3)设点B表示的数是，点P表示的数为n，点Q表示的数为，若线段上存在线段的二倍关联点，直接写出n的最大值及最小值． 【变式10 -4】数轴上有四个点P，Q，M，N，我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点的距离记为，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为，若满足，则称P和Q是M，N的“伴随点对”． 例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，2． 此时，，，，，，其中存在，满足，则称P和Q是M，N的“伴随点对” 在数轴上点A，B分别表示的数为，4． (1)若点和分别表示的数为10和1，点和分别表示的数为3和，点和分别表示的数为和，则在①和，②和，③和中，是A，B的“伴随点对”的是_____（填序号即可）； (2)若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围； (3)若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动.设点D的运动时间为t秒.当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值． 【考点题型十一】一元一次方程之和差倍分问题 【例11】众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却少了个字．问：两种诗各多少首？设七言绝句共有首，根据题意，可列方程为意 ． 【变式11 -1】《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分．其中《颂》和《风》的篇数之和为200篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的，则《风》有 篇． 【变式11 -2】新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多50本，结果书店还有200本这种书，请问书店新进这种畅销书 本． 【变式11 -3】列方程解应用题：某中学组织部分师生去北京展览馆参观“奋进新时代”主题成就展．如果单租45座客车若干辆，则全部坐满；如果单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求该校前去参观的师生总人数． 【变式11 -4】列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿服务活动．为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式．已知参加志愿服务活动的教师和学生共30人；其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人，问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？ 【考点题型十二】一元一次方程之水电费问题 【例12】北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增．2023年最新收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0−180（含） 5 第二阶梯 181−260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 (1)若A家庭2023年用水量为200立方米，则该家庭应交水费 元； (2)若B家庭2023年水费为1838元，则该家庭年用水量为多少立方米？（列方程解答） 【变式12 -1】为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【变式12 -2】目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下． 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.7 (1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元； (2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元； (3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？ 【变式12 -3】为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1～4月份用水量和缴费情况： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 8 10 12 15 费用/元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)填空：当用水量不超过10吨时，每吨收费______元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费______元； (2)若小明家5月份用水量为吨（其中），则应缴水费______元．（用含的代数式表示，并化成最简形式） (3)若小明家6月份缴纳水费29元，用列方程的方法求出小明家6月份用水多少吨？ 【变式12 -4】为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量(度) 执行电价(元/度) 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元． (2)某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？ 【考点题型十三】一元一次方程的应用之其他问题 【例13】小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式13 -1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13 -2】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中〈孙子算经〉中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？” 这道题的意思是： 今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式13 -3】我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式13 -4】小云在某月的日历中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在日历中的排布不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式13 -5】列方程解应用题：顺义新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多50本，结果书店还有200本这种书，请问书店新进这种畅销书多少本？ 【变式13 -6】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房x间，则可列方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程的解法与应用（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单 01】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【清单02】一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【清单03】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 【考点题型一】利用合并同类项、移项解一元一次方程 【例1】解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，先移项再合并同类项最后系数化成1即可求解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 是原方程的解． 【变式1 -1】代数式与互为相反数，则x等于（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知：， 即， 移项、合并同类项得， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查相反数的定义、解一元一次方程，解题的关键是牢记“互为相反数的两个数和为0”． 【变式1 -2】“”表示一种运算，已知，，，按此规则，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解一元一次方程，观察所给三个式子可得“”运算表示的是，从“”前面的数开始的连续的整数求和，“”后面的数表示的是有多少个整数求和，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，“”运算表示的是，从“”前面的数开始的连续的整数求和，“”后面的数表示的是有多少个整数求和， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1 -3】对于两个不相等的有理数，，我们规定㑏号表示，两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：再建立方程求解即可． 【详解】解：当时，则，则，解得：，不符合题意； 当时，则，则，解得：．符合题意； 故答案选：B． 【点睛】此题考查了自定义运算，理解自定义的含义，再建立方程求解是解本题的关键． 【变式1 -4】已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和方程的解等知识点，把代入已知方程计算求出a的值，代入所求方程计算求出y的值即可，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决此题的关键． 【详解】把代入方程中得：， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1 -5】如果与是同类项，那么m等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项、一元一次方程的应用，根据同类项的定义（如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么这两个单项式叫做同类项）可得一个等式，求解即可，熟知同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1 -6】定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：． (1)直接写出 ； (2)已知，求的值； (3)若关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题考查了有理数的加法、解一元一次方程，理解题意，采用分类讨论的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）由得出，即可得解； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别得出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）由题意可得，从而得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为2或； （3）解：， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 【变式1 -7】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．先移项，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【变式1 -8】已知关于的方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，方程的解是整数，则有最 （填“大”或“小”）值，这个值是 ，此时， ． 【答案】(1) (2)小，1，2 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）当时，原方程为：，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可得出答案； （2）求出，由，得出，再结合方程的解是整数，得出有最小值，这个值是，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴原方程的解为． ∵原方程的解是整数，且， 则， 又∵最小的正整数为1， ∴当时，取得最小值，最小值， 即有最小值，这个值是1，此时，． （3）故答案为：小，1，2． 【变式1 -9】如图表示的数表： 第一列 第二列 第三列 第一行 8 2 7 第二行 4 5 8 第三行 8 6 a 我们规定：表示数表中第a行第b列的数．例如：数表中第2行第1列的数为4，记作． 请根据以上规定回答下列问题： (1)______． (2)若，则______． (3)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】（1）根据表示数表中第a行第b列的数．即可求解； （2）根据表示数表中第a行第b列的数，再根据即可得； （3）根据表示数表中第a行第b列的数，则，由得，所以或，求解即可， 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意，知， 又∵ ∴ ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次方程，理解表示数表中第a行第b列的数．据此由得出方程或是解题的关键． 【变式1 -10】观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“成达数对”，记为，如：数对、都是“成达数对”． (1)数对、中是“成达数对”的是______； (2)若是“成达数对”，求a的值； (3)若是“成达数对”，则______“成达数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； (4)请再写出一对符合条件的“成达数对”．（不能与题目中已有的数对重复） 【答案】(1) (2)； (3)不是 (4)是“成达数对”，（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，一元一次方程，整式的运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据新定义计算进而即可求解．， （4）根据题意，取代入，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴不是“成达数对”， ∵， ∴是“成达数对”； 故答案为：； （2）解：∵是“成达数对”， ∴， 解得； （3）解：不是， ∵是“成达数对”， ∴， ∵，， ∴， ∴不是“成达数对”； 故答案为：不是； （4）解：答案不唯一 由（3）中是“成达数对”，满足， 取，则，解得， ∴是“成达数对”． 【变式1 -11】对于代数式， 我们引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定：，例如：，按照这个规定，解决下列问题： (1)计算的值； (2)若，求； (3)请分别写出3个行列式，它们的值分别为0，1，． 【答案】(1) (2)28 (3)，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，新定义，整式的加减计算： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义可得方程，解方程即可，然后把x的值代入行列式并根据新定义列式计算即可； （3）根据行列式的求解方法写出一个满足题意的行列式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：， ， ， 答案不唯一． 【变式1 -12】对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①    ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 【答案】(1)①3，② (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程， （1）①根据新运算定义列式计算即可；②根据新运算定义列式计算即可； （2）根据新运算定义列方程求解即可； 解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ； ②∵， ∴ ； （2）解：由题意得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）， 综上所述，m的值为1． 【变式1 -13】已知是关于的多项式，记为． 我们规定：的导出多项式为，记为． 例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，解答下列问题： (1)若，则______． (2)若，求关于的方程的解； (3)已知是关于的二次多项式，为的导出多项式，若关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式及解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）由导出多项式的意义计算即可； （2）求出的导出多项式，即可解方程； （3）求出的导出多项式，再解方程，根据解为正整数即可确定整数的值． 【详解】（1）解：由导出多项式的意义得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得：； （3）解：的导出多项式为：， ， ， 即， ； 由于a是不为零的整数，且x为正整数， 或， 即（舍去）或， 故． 【变式1 -14】阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“”：ab．例如，25． (1)求3的值； (2)若，求x的值； (3)试探究这种特别的运算“”是否具有交换律？ 【答案】(1)1 (2) (3)不具有，理由见解析 【分析】本题考查定义新运算题型，解一元一次方程． （1）根据题意利用题干列式求解即可得到本题答案； （2）根据题意列出含x的式子解出即为本题答案； （3）可以代数求，计算3，看结果是否等于（1）中求得的结果，进而可作判断． 【详解】（1）解：∵ab， ∴3； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵3， ∵由（1）知，3， ∴33， ∴这种特别的运算“”不具有交换律． 【考点题型二】利用去括号、去分母解一元一次方程 【例2】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：     去括号得：，     移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 原方程的解为：． 【变式2 -1】下列解方程的变形过程正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，去分母得 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A.由移项，得，则A不符合题意； B.方程，系数化为1得，则B不符合题意； C.方程，去括号得，正确，符合题意； D. 方程，去分母得，则D不符合题意； 故选：C． 【变式2 -2】如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：将代入方程， ， ， ， ， 由题意可知，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义． 【变式2 -3】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2 -4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：（1）去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得，， 移项合并得：， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法；掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． 【变式2 -5】解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）按照一元一次方程的求解步骤求解即可； （2）按照一元一次方程的求解步骤求解即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 可得： 解得； 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 【变式2 -6】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据去括号，去分母，移项合并同类项得顺序进行求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 去分母，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1，得：． 【变式2 -7】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解方法是解题关键，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并同类项，得： 系数化为1，得：． 【变式2 -8】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解方法是解题关键，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式2 -9】解方程． (1)      (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）方程去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号 移项. 合并同类项 化系数为1 （2）解： 去分母 去括号 移项 合并同类项 化系数为1 【变式2 -10】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据去括号，移项及合并同类项即可解方程； （）根据解方程的步骤即可； 此题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1） 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2） 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式2 -11】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程．正确的解一元一次方程是解题的关键． （1）先去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可； （2）先去分母去括号，然后移项合并，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，． 【变式2 -12】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【变式2 -13】本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：…………第一步 方程两边同时乘以15，去分母，得 …………第二步 去括号，得…………第三步 移项，得………第四步 合并同类项，得…………第五步 系数化1，得…………第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是____________．请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号未改变符号，解题过程见解析 【分析】本题考查解整式方程．根据题意先判断哪步出错，并正确解答即可得到本题答案． 【详解】解：， 原方程可化为：， 方程两边同时乘以15，去分母，得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：， 所以是原方程的解． 【变式2 -14】下面是小超解方程的过程． 解：    第一步       第二步           第三步            第四步                       第五步 按要求完成下面的问题： (1)上述解方程第一步变形的依据是________； (2)小超从第______步开始出现错误，请你完整写出正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质2； (2)三；过程详见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据等式的性质解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）两边都乘以4是根据等式的性质2， 故答案为：等式的性质2； （2）第三步去掉分母后分子没加括号，故从第三步开始出现错误， ． 故答案为：三． 【变式2 -15】本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．    ……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．    ……第②步 去括号，得：．    ……第③步 移项，得：．    ……第④步 合并同类项，得：．    ……第⑤步 系数化1，得：．        ……第⑥形 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中 (1)第②步的依据是_________________________________________________； (2)第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)③； 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：． 故答案为：③；． 【变式2 -16】当取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】当时，方程和方程的解相同 【分析】先求出第一个方程的解，把求出的的值代入第二个方程，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， 把代入中， 得， 解得：， 当时，方程和方程的解相同． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式2 -17】已知关于x的方程中，的解比的解大1，求a的值． 【答案】 【分析】分别求出两个一元一次方程的解，再根据的解比的解大1，建立关于a的方程，解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 系数化为1得：； 移项得；， 合并同类项得：， 系数化为1得：； ∵的解比的解大1， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确求出对应方程的解是解题的关键． 【变式2 -18】小明在对方程去分母时，错误的得到了方程，因而求得的解是．求m的值及原方程的正确解． 【答案】；． 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程．将代入方程，整理即可求出m的值；将m的值代入方程即可求出正确的解． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：； 把代入方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则方程的正确解为． 【考点题型三】一元一次方程应用之行程问题 【例3】我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程． 【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，慢马走的路程为里， 由题意得：． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 【变式3 -1】甲、乙二人在环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒跑一圈．若两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过 秒． 【答案】120 【分析】两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：快者走的路程-慢者走的路程=环形跑道一圈的长度，列出方程，即可解答． 【详解】解：设环形跑道一圈为a米，x秒后第一次相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：120秒后第一次相遇． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是设出未知数，列方程． 【变式3 -2】甲、乙两地相距，A车以的速度由甲地到乙地，同时，B车以的速度由乙地到甲地，经过 它们相遇． 【答案】 【分析】A车和B车运动的路程等于甲、乙两地的距离，据此根据速度公式列出等式求解即可． 【详解】解：设A ，B两车相遇的时间为x小时， 根据题意得 解得 答：经过小时两车相遇． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用——行程问题中的相遇问题，解题关键是审清题意正确找到相等关系列出方程． 【变式3 -3】甲、乙两人从相距40千米的两地，同时出发，相向而行．甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3，当两人相距10千米时，则所需要的时间是 小时． 【答案】3或5/5或3 【分析】先求出乙的速度，然后分两种情况：当两人还没相遇，两人相距10千米时和当两人相遇后，两人相距10千米时，分别计算即可． 【详解】∵甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3， ∴乙的速度为6千米/时， 设经过x小时，甲、乙两人相距10千米， 当两人还没相遇，两人相距10千米时， 可得：， 解得：； 当两人相遇后，两人相距10千米时， 可得：， 解得：； 答：经过3或5小时，甲、乙两人相距10千米． 故答案为：3或5． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【变式3 -4】已知：点在原点左侧，点在原点右侧，且点到原点的距离是点到原点距离的2倍，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点方向运动；同时，点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后，马上改变方向与点同向而行且速度始终为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒．①当点与点重合时，的值为 ；②当时，的值为 秒． 【答案】 5 或10 【分析】①根据点P与点Q运动的路程之和等于15列方程求解即可； ②先求出点A、B表示的数，再按照点Q往左运动和点Q往右运动两种情况求解． 【详解】①当点与点重合时，得t+2t=15， 解得t=5，故答案为：5； ②∵点到原点的距离是点到原点距离的2倍，， ∴， ∵点在原点左侧，点在原点右侧， ∴点A表示的数是-10，点B表示的数是5， 点Q往左运动时，点P表示的数是-10+t，点Q表示的数是5-2t， 此时AP=t，AQ=15-2t， 当时， t=（15-2t）， ∴t=； 当点P与点Q运动5秒时相遇，点Q往右运动，此时点P表示的数是-5+（t-5）=t-10，点Q表示的数是-5+2（t-5）=2t-15， ∴AP=t，AQ=2t-5， 当时， t=（2t-5）， ∴t=10， 综上，当时，的值为或10秒， 故答案为：或10． 【点睛】此题考查数轴上点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，一元一次方程的应用，正确表示数轴上两点之间的距离及理解相遇问题及追及问题分析是解题的关键． 【变式3 -5】列方程解应用题： 一列火车匀速行驶，经过一条长420米的隧道需要15秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5秒，求这列火车的长度． 【答案】这列火车的长度为210米． 【分析】设这列火车的长度为x米，根据经过一条长420米的隧道需要15秒的时间，灯光照在火车上的时间是5秒，以及火车的速度不变，列出方程求解即可． 【详解】设这列火车的长度为x米， 根据题意可知：， 解得x＝210， 答：这列火车的长度为210米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式3 -6】体育课上进行追逐跑训练．李宏的速度为每秒钟4米，张明的速度为每秒钟5米．李宏先从点A出发5秒到点B后，张明再从点A出发追逐李宏．求张明出发几秒后追上李宏？ (1)陈佩同学在解题时进行画图分析如下： 其中线段AB表示的路程为________米； (2)列出相应方程，并求解此问题． 【答案】(1)20 (2)张明出发20秒后追上李宏 【分析】（1）直接用李宏的速度乘以5秒即可； （2）设张明出发x秒后追上李宏，此时张明所跑路程为李宏所跑路程加上李宏先跑的路程，据此列方程求解即可． 【详解】（1）米， 故答案为20； （2）设张明出发x秒后追上李宏， ， 解得， 即张明出发20秒后追上李宏． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键． 【变式3 -7】如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． (1)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度． (2)若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm． (3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值． 【答案】(1)点Q的运动速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s (2)经过5秒或70秒两点相距70cm (3)＝2 【分析】（1）由于点P及Q是运动的，当PA＝2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA＝40，PB＝20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ＝时，BQ＝时，由此就可求出它的速度； （2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t秒，运用速度公式求解即可； （3）先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可． 【详解】（1）解：①当P在线段AB上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒． 若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷60＝（cm/s）； 若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）． ②点P在线段AB延长线上时，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故点P运动时间为140秒． 若AQ＝时，BQ＝40，CQ＝50，点Q的运动速度为50÷140＝（cm/s）； 若BQ＝时，BQ＝20，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷140＝（cm/s）． （2）解：设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，t＝5或40， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则 PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒， 故经过5秒或70秒两点相距70cm； （3）解：如图1，设OP＝xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣x， EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣， ∴＝＝2． 【点睛】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. 【考点题型四】一元一次方程的应用之配套问题 【例4】某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该厂有44名工人，每名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设应该分配名工人制作筒身，根据一个筒身配两个筒底，列出方程即可． 【详解】解：设应该分配名工人制作筒身，则制作筒底的工人有名， 由题意，得：； 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 【变式4 -1】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较近，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，若设从乙处调配x人去甲处，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】先求出调配后，甲处的人数为人，乙处的人数为人，再根据“调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：调配后，甲处的人数为人，乙处的人数为人， 则可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 【变式4 -2】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图所示，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套? 设生产圆形铁片的工人有人，则生产长方形铁片的工人有 人，依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为（42-x）人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为（42-x）人， 根据题意，得2×80（42-x）=120x， 故答案为：，2×80（42-x）=120x． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 【变式4 -3】列方程解应用题． 某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 【答案】有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名， 根据题意得，， 解得：， 名，   答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿． 【变式4 -4】列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个． 已知2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【答案】40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件 【分析】设应分配x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件， 根据题意列方程，得 ． 解得： ∴ 答：应分配40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解． 【变式4 -5】某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人 (2)调12名女工帮男工制作盒底 【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作盒底，利用盒底是盒身的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）设调y名女工帮男工制作盒底， 由题意得：， 解得． 答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握利用等量关系列方程是解题的关键． 【考点题型五】一元一次方程的应用之工程问题 【例5】整理一批数据，由一个人做要40小时完成．现由x人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，假设这些人的工作效率相同，则可列方程为 （用含x的式子表示）． 【答案】 【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作增加2人后8天的工作全部工作．设全部工作是1，这部分共有人，就可以列出方程． 【详解】解：解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为：， 故可列式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 【变式5 -1】故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据工作总量工作时间工作效率列出方程求解即可． 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作． 依题意列方程，得． 解得． 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 【变式5 -2】用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每台型机器一天生产件产品． 答： 方法二 分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每箱装件产品． 答： 【答案】每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【分析】选择方法一：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，根据每箱装产品的件数一样列出等式，即可求解；选择方法二：设每箱装件产品，根据两种机器每台一天生产产品的数量关系列出等式即可求解． 【详解】解：方法一：，； 设每台型机器一天生产件产品， 依题意列方程，得， 解得， 所以， 答：每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品；   方法二：，；    设每箱装件产品， 依题意列方程，得， 解得， 所以， 答：每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，列出一元一次方程是解题的关键． 【变式5 -3】列方程组解应用题 某地需要将一段长为180米的河道进行整修，整修任务由A，B两个工程队先、后接力完成．已知A工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时20天．问A，B两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 【答案】A工程队整修河道工作了5天，则B工程队整修河道工作了15天． 【分析】设A工程队整修河道工作了x天，则B工程队整修河道工作了（20-x）天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设A工程队整修河道工作了x天，则B工程队整修河道工作了（20-x）天，根据题意得： ， 解得：， ∴20-x=15， 答：A工程队整修河道工作了5天，则B工程队整修河道工作了15天． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式5 -4】为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天. 【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可. 【详解】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米， 由题意得2x+（x+x-2）=26，解得x=7，所以乙工程队每天掘进5米， （天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键. 【考点题型六】一元一次方程的应用之销售问题 【例6】某学校在七年级开展种植类的劳动课程．现需要购买仿生阳光房若干个．经调查发现，同一款式的仿生阳光房在甲、乙两家商店的标价均是100元． 新年将至，两家商店开展促销活动，优惠方式如下： 甲商店：每个仿生阳光房按9折（标价的90%）出售； 乙商店：购买的仿生阳光房的个数不超过10时，按标价出售；购买的仿生阳光房的个数超过10时，超过部分按8折（标价的80%）出售． (1)若在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费______元； (2)若在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费______元（用含m的代数式表示）； (3)购买该款式的仿生阳光房的个数为多少时，在甲、乙两家商店的花费相同？ 【答案】(1) (2) (3)购买该款式的仿生阳光房的个数为20时，在甲、乙两家商店的花费相同 【分析】（1）根据花费=标价×数量进行求解即可； （2）根据乙商店所给的收费标准列出对应的式子即可； （3）设购买该款式的仿生阳光房的个数为x时，在甲、乙两家商店的花费相同，根据两个商店的收费标准，分别求出两个商店的花费，由此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费元， 故答案为；； （2）解：由题意得，在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费元， 故答案为： （3）解：设购买该款式的仿生阳光房的个数为x时，在甲、乙两家商店的花费相同． 依题意可知，列方程，得． 解得． 答：购买该款式的仿生阳光房的个数为20时，在甲、乙两家商店的花费相同． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 【变式6 -1】由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（　　） A．230元 B．250元 C．270元 D．300元 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该商品的原售价为x元，根据按原售价的七五折出售，将亏损25元，可知进价为元，根据按原售价的九折出售，将盈利20元，可得进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：， 解得：， ∴该商品的原售价为300元． 答案：D． 【变式6 -2】中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过350元一律9折；（3）一次性购物超过350元一律8折．王波两次购物分别付款80元、288元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（    ） A．320元 B．332元 C．320元或352元 D．332元或363元 【答案】C 【分析】按照优惠方案，第一次付款80元，所购买的物品价值不会超过100元，不能享受优惠，即第一次购物的价值就是80元； 350元的9折是315元，8折是280元，因此第二次购物付款288元，则可能有两种情况：购物超过100元，但不超过350元，也可能是购物超过350元，再计算出两次购买的物品价值的和，按照优惠方案计算出付款数即可． 【详解】解：（1）第一次购物没有超过100元，即实际购物的价值为80元； （2）第二次购物付款288元，则可能由两种情况： ①当他购物超过100元，但不超过350元时，这时他是按照9折付款的， 设第二次实际购物的价值为x， 则有，解得， ②当他购物超过350元时，这时他是按照8折付款的， 设第二次实际购物的价值为x， 则有，解得， 即在第二次付款288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元， 综上所述，他两次购物的实际价值为：或，均超过了350元，因此都可以享受8折付款, 即元或 元， 故选：C． 【点睛】本题考查的是方程的应用问题，解题的关键是第二次购物可能有两种情况，需要进行分类讨论． 【变式6 -3】2023年12月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个30元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小雅原计划购买手提袋多少个？ (2)艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共50本作为奖品，其中新年日历标价每本20元，画册标价每本10元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计560元．问老师购买了新年日历和画册各多少本？ 【答案】(1)15个； (2)新年日历：20本，画册：30本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题；解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设小雅原计划购买手提袋x个，则实际购买了个，根据对话内容列出方程即可得出结果； （2）设老师购买了新年日历y本，根据两种物品的购买总费用560元，列出方程即可得出结果． 【详解】（1）（1）解：设小雅原计划购买手提袋x个，则实际购买了个， 由题意得：． 解得：； 答：小雅原计划购买手提袋15个； （2）（2）解：设老师购买了新年日历y本，，则购买画册本， 由题意得：， 解得：， 则：（本）． 答：老师购买了新年日历20本，购买画册30本． 【变式6 -4】列方程解应用题： 某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？ 【答案】购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服套．根据“买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元”，再建立方程求解即可． 【详解】解：设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服套． 根据题意可得，． 解得：，则． 答：公司购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套． 【变式6 -5】某公司销售A，B，C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年A，B两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品C是今年销售的重点．如果要使今年的总销售金额与去年持平，求今年高新产品C的销售金额应比去年增加的百分比． 【答案】 【分析】把去年的总销售金额看作整体1．设今年高新产品的销售金额应比去年增加，根据今年的销售总金额和去年的销售总金额相等，则，解方程求解． 【详解】解：设今年高新产品的销售金额应比去年增加， 由题意得，， 解得：． 答：今年高新产品的销售金额应比去年增加． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键在于设未知数，列方程，难点在于涉及百分数，运算易出错．此题注意把去年的总销售额看作整体1，即可分别表示出去年和的销售金额和的销售金额．根据今年的销售总金额和去年的销售总金额相等即可列方程． 【变式6 -6】某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%． (1)每件A种商品利润率为______，B种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，50 (2)20件 (3)750元或850元 【分析】（1）设B种商品的进价为x元，根据利润除以进价=利润率就可以直接求出结论； （2）设甲种商品购进y件，则乙种商品购进（50-y）件，由甲、乙两种商品的进价之和为2100建立方程求出其解即可． （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为a元，分两种情况：当小华此次购物打折前的总金额超出500元，但不超过800元时；当小华此次购物打折前的总金额超出800元时，分别列方程求解． 【详解】（1）A种商品的利润率为， 设B种商品的进价为x元，由题意，得 ， 解得， 故答案为：，50； （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，由题意，得 ， 解得， ∴该商场购进A种商品20件； （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为a元， ∵，， ∴当小华此次购物打折前的总金额超出500元，但不超过800元时， ，解得； 当小华此次购物打折前的总金额超出800元时， ，解得； ∴小华此次购物打折前的总金额为750元或850元． 【点睛】本题考查了分式方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润÷进价=利润率的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据甲乙两种商品的进价之和建立方程是关键． 【考点题型七】一元一次方程的应用之比赛积分问题 【例7】2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以或者取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 名次 球队 场次 胜场 负场 总积分 1 中国 11 11 0 　 2 美国 11 10 1 28 3 俄罗斯 11 8 3 23 4 巴西 11 21 (1)中国队11场胜场中只有一场以取胜，请将中国队的总积分填在表格中． (2)巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表，求巴西队胜场的场数． 【答案】(1)32 (2)7场 【分析】（1）依据中国队11场胜场中只有一场以取胜，即可得到中国队的总积分． （2）设巴西队积3分取胜的场数为场，依据巴西队总积分为21分，即可得到方程，进而得出的值． 【详解】（1）中国队的总积分； 故答案为：32； （2）设巴西队积3分取胜的场数为场，则积2分取胜的场数为场， 依题意可列方程， ， ， ， 则积2分取胜的场数为， 所以取胜的场数为， 答：巴西队取胜的场数为7场． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【变式7 -1】有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜10场，总分30分；乙队伍胜6场，平4场，总分22分；丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场，平2场；戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍．根据以上信息，丁队伍总分是 ，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为 （填写下面正确结果的序号）． ①甲乙丙丁戊；②甲乙丁丙戊；③甲乙丁戊丙；④甲乙戊丁丙 【答案】 17 ③ 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出胜一场得分，平一场得1分，负一场得分为：0分． 【详解】解：∵甲队伍胜10场，总分30分， ∴胜一场得（分）， ∵乙队伍胜6场，平4场，总分22分， ∴平一场得（分）， ∵丙队伍胜4场，平3场，总分15分， ∴负一场得分为：， ∵丁队伍胜5场，平2场， ∴丁队伍总分为：（分）， 设戊队伍负的场数为x场，则胜的场数为场，根据题意得： ， 解得：， ∴胜的场数为4场，平的场数为：（场）， 戊队伍总分为：（分）， ∵， ∴五支队伍按分数从高到低排序为：③甲乙丁戊丙． 故答案为：17；③． 【变式7 -2】如表是某次篮球联赛积分榜的一部分 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 光明 远大 钢铁 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分； (2)设某队胜场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含的整式填空）； (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)， (3)3 【分析】（1）设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积分，根据光明队胜9场负5场积23分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设胜了x场，则负了（14-x）场，由胜一场积2分负一场积1分即可得出结论； （3）根据负场总积分是胜场总积分的n倍即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，再根据x、n均为正整数即可得出n的值． 【详解】（1）设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积分， ∴由光明队可得： 解得： ∴ ∴胜一场积2分，负一场积1分 （2）设胜了x场，则负了（14-x）场， ∴胜场总积分为分，负场总积分为（）分 （3）∵负场总积分是胜场总积分的倍 ∴ 解得： ∵x和n均为正整数， ∴ ∴解得（舍去），（舍去）、、（舍去） 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． 【变式7 -3】某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，共设20道单项选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 20 0 100 王晓林 18 2 88 李毅 10 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得_______分，答错1题扣________分； (2)参赛者李小萌得了76分，求她答对了几道题． 【答案】(1)答对1题得5分，答错1题扣1分； (2)她答对16道题． 【分析】（1）先根据于潇的得分可得出答对1题得5分，再根据王晓林的得分即可得出答错1题扣的分数； （2）设参赛者李小萌答对了道题，从而可得她答错了道题，根据（1）的结果和“参赛者李小萌得了76分”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：答对1题得的分数为（分）， 答错1题扣的分数为（分）， 故答案为：5，1； （2）解：设参赛者李小萌答对了道题，则她答错了道题， 由题意得：， 解得， 答：她答对了16道题． 【点睛】本题考查了有理数加减乘除的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 【变式7 -4】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： （1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分； （2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题） 【答案】（1）5，2；（2）D，答对了12道题，见解析 【分析】（1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】解：（1）答对一题加：100÷20=5分， 打错一题减：(18×5-86) ÷2=2分， 故答案为：5，2；          （2）设他答对x道题，则答错道题． A. 若，解得x=，故不符合题意； B．若，解得x=，故不符合题意； C．若，解得x=，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：学生小刚答对了12道题． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式7 -5】某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 2 88 C 64 D 10 40 （1）参赛者E说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗?并说明理由； （2）补全表格，并写出你的研究过程． 【答案】（1）不可能，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由参赛者A可得答对一道得5分，结合参赛者B可得答错一道扣1分，然后求出参赛者E的得分即可； （2）根据共作答20道，可补全参赛者B、D；设参赛者C答对x道，答错(20-x)道，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）不可能，理由如下： 由参赛者A可得答对一道得5分，结合参赛者B可得答错一道扣1分 则参赛者E的得分为：5×10-1×10=40分 所以参赛者E说他错了10个题，不可能得50分； （2）由试题共设20道选择题，每题必答，则参赛者B答对20-2=18道；参赛者D答错20-10=10道； 设参赛者C答对x道，答错(20-x)道 5x-（20-x）=64，解得x=15 所以参赛者C答对14道，答错6道． 故答案为： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 14 6 64 D 10 10 40 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键． 【考点题型八】一元一次方程的应用之方案选择问题 【例8】列方程解应用题： 延庆区张山营镇是著名的“苹果之乡”，出产的苹果色泽鲜艳、品种优良，红富士苹果获得“中华名果”的称号，秋收季节，某公司打算到张山营果园基地购买一批苹果．果园基地对购买量在1000千克（含1000千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克10元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由顾客自己运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元． (1)公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果公司打算购买3000千克苹果，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)2500 (2)方案二，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据题意设公司购买千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设公司购买千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：， 方案二：， 即：，解得：， 答：公司购买2500千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：公司打算购买3000千克苹果， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 【变式8 -1】列方程解应用题： 每年的12月4日为国家宪法日．为增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，某校开展了宪法知识竞赛．王老师为表扬宪法知识竞赛满分的同学，决定从网上购买一些练习本作为奖品．他查询到某商家销售练习本的价格和邮费如下表所示： 数量 20本及以下 20本以上 价格 每本4元 超过20本的部分打8折 邮费 一次5元 一次14元 如果王老师分两次购买奖品（每次购买数量不超过20本）与一次性购买奖品所花费的费用相同，那么王老师购买的奖品数量为多少本？ 【答案】王老师购买奖品数量为25本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据两次购买的费用与一次性购买的费用相等列方程求解即可． 【详解】解：设王老师购买奖品数量为x本． 解得． 答：王老师购买奖品数量为25本． 【变式8 -2】某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品．在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用是1000元．求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和． 【答案】(1)3600件 (2)168000元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设这批纪念品共有x件，根据两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成列方程，解方程求出x的值即可； （2）设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要y天完成，先求出两个工厂共同生产的天数，再计算总费用即可． 【详解】（1）设这批纪念品共有x件，依题意，得： ， 解这个方程，得， 答：这批纪念品共有3600件． （2）设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要y天完成依题意，得： ， 解这个方程，得， （元） 答：该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和是168000元． 【变式8 -3】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下： 甲商店：买一个挂件送一个徽章； 乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售． 如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个）， (1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元； (2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； (3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由． 【答案】(1)1300 (2)190 (3)最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用： （1）用30个挂件的费用加上5个徽章的费用，即可求解； （2）设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解； （3）分别求出在甲商店购买费用；在乙商店购买费用；在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个的费用，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即在甲商店订购，费用需1300元， 故答案为：1300； （2）解：设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意得：， 解得：， 答：当订购190个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； （3）解：最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由如下： 若在甲商店购买，费用为元， 若在乙商店购买，费用为元， 若在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，费用为 元， ∵， ∴最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个． 【变式8 -4】某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用 45 座的客车，则刚好坐满；若只租用60座的客车，则可少租用1辆，且有一辆上只坐了15人，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为 ，租用60座的客车（x-1）辆，则参观总人数可表示为 ，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需要 辆，租用60座的客车需要 辆，根据题意列方程． (2)若45座的客车每辆租金是1200元，60座的客车每辆租金是1500元，如果两种客车可以混租，请直接写出45座客车和60座客车各租多少辆时，费用最少． 【答案】(1)分析过程见解析，该校参加活动师生共有人； (2)当租用3辆60座客车，3辆45座客车时，费用最少 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键． （1）方法一：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为人，租用60座的客车辆，则参观总人数可表示为人，据此列出方程求解即可；方法二：设参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需辆，租用60座的客车需要辆，据此列出方程求解即可； （2）分别求出当租用的60座客车从0到6辆时，对应需要租用的45座客车的数量，进而求出对应租车方案下的花费即可得到答案． 【详解】（1）解；方法一：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为人，租用60座的客车辆，则参观总人数可表示为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：参加此次活动的师生共有315人； 方法二：设参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需辆，租用60座的客车需要辆， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：参加此次活动的师生共有315人，则租用45座的客车需要7辆，租用60座的客车需要6辆； （2）解：当租用6辆60座客车，0辆45座客车时，需要花费元， 当租用5辆60座客车，1辆45座客车时，需要花费元， 当租用4辆60座客车，2辆45座客车时，需要花费元， 当租用3辆60座客车，3辆45座客车时，需要花费元， 当租用2辆60座客车，5辆45座客车时，需要花费元， 当租用1辆60座客车，6辆45座客车时，需要花费元， 当租用0辆60座客车，7辆45座客车时，需要花费元； ∵， ∴当租用3辆60座客车，3辆45座客车时，费用最少． 【变式8 -5】小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 …… 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． (1)他们共点了____________份B套餐；（用含x的式子表示）； (2)若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； (3)若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【答案】(1) (2)292元 (3)4份A套餐，3份B套餐，6份C套餐 【分析】（1）由B、C套餐含青菜且只有C套餐中含饮料，即可得出他们点了份B套餐； （2）由三种套餐只有C套餐中含饮料，即可得出他们点了6份C餐，进一步得到B套餐共有2份，A套餐共有5份，即可得出一共的花费； （3）由题意可得C套餐点了6份，B套餐共份，A套餐份，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵三种套餐中只有C套餐中含饮料，有6份饮料， ∴C套餐点6份， ∵只有A套餐中不含青菜， ∴他们点了份B餐； （2）解：依题意：C套餐6份，B套餐2份，A套餐5份， 所以元，因为消费满300元，减30元， 所以实际花费：元； （3）解：由题意可得C套餐点了6份，B套餐点了份，A套餐点了份， ∵他们点套餐优惠后实际花费了300元， ∴他们享受优惠为消费满300元，减30元， ∴， 解得， ∴他们买了4份A套餐，3份B套餐，6份C套餐． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键． 【变式8 -6】北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观．某校七年级2班学生计划去奥森公园划船，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元/小时 120元/小时 已知所有学生均有座位且划船1小时，请解决下面问题： (1)若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元．那么租用了几条四座电瓶船？ (2)请你直接写出一种比（1）中省钱的租船方案：_______条四座电瓶船，_______条六座电瓶船． 【答案】(1)租用了7条四座电瓶船 (2)1，7 【分析】（1）根据题意可列等量关系：租四座船的钱数＋组六座船的钱数=1060，根据等量关系列出方程求解即可； （2）根据（1）知，租3条六座船，7条四坐船，则总人数共有：，根据总人数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，依题意： ， 解得：， 答：租用了7条四座电瓶船； （2）解：租3条六座船，7条四坐船，则总人数共有：（人）， 当租一条四座船，则需要六座船：（条）， 总费用：（元）， ， 故答案为：1条四座电瓶船，7条六座电瓶船． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决实际问题，以及利用一元一次不等式解决实际问题，能够根据题意找出等量关系是解决本题的关键． 【考点题型九】一元一次方程的应用之数字问题 【例9】一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ） A．45 B．27 C．72 D．54 【答案】D 【分析】此题应先设个位数字为，十位数字为，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9”得，即算出原来的两位数． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意得，， 解得：． 则原来的两位数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键． 【变式9 -1】幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，先假设未知数，再根据题意列出方程，解之即可，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵每行、每列和每条对角线上的数字和都相等， ∴，，，， ∴，，，，， ∴， 解得：， 故选：． 【变式9 -2】幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵第三行和第三列上的数字和相等， ∴左下角的数字为，如图所示， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【考点题型十】一元一次方程之几何问题 【例10】如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了利用一元一次方程组解决图形面积的问题，由图可得出小长方形的长是宽的三倍，再设小长方形的宽为，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由图可知：小长方形的长是宽的三倍，设小长方形的宽为，故小长方形的长为，可得：， 解得：， 小长方形的宽为，长为， 故小长方形的周长为：， 故答案为：8． 【变式10 -1】对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． (1)当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； (2)已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； (3)若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【答案】(1)1 (2)或5 (3)8 【分析】此题的关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题，同时要注意分情况进行讨论． （1）设B表示的数为x，利用“k倍关联点”的定义列出方程即可解决问题； （2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6倍关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可； （3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k倍关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：设B表示的数为x，则有：， ∴， 即B表示的数为1． 故答案为：1． （2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则， ∵6的正因数有1、2、3、6， ∴①当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ②当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ③当，时，则有，解得： ，符合题意； ④当，时，则有，解得： ，符合题意； 综上所述，y为或5，即C表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∵点P始终为点Q的“k倍关联点”， ∴， ∴， 对于任意t都成立 ∴，， 解得：，， ∴． 【变式10 -2】定义：如图①，射线在的内部，图中共有3个角：，，．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数＝______； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 【答案】(1)15°或20°或40°或45° (2)或或20 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握“妙分线”定义是解答本题的关键． （1）根据“巧分线”定义即可求解； （2）根据“巧分线”定义分4种情况：当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解： ，且射线在的“巧分线”， 或或或， ∵ 或或或； 故答案为：15°或20°或40°或45° （2）解：根据题意得： 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时， ， 解得． 此时，故不符合题意，舍去； 综上，当为或或20时，射线是的“巧分线”． 【变式10 -3】定义：数轴上有一点M，若点M到线段两个端点的距离成二倍关系时，则称点M是线段的二倍关联点． 已知：点O为数轴原点，点A表示的数为1． (1)若点C在线段上，线段的二倍关联点C表示的数为3，则点B表示的数为 ； (2)点B从表示5的点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点D从表示1的点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，当点D是线段的二倍关联点时，求出t的值； (3)设点B表示的数是，点P表示的数为n，点Q表示的数为，若线段上存在线段的二倍关联点，直接写出n的最大值及最小值． 【答案】(1)7或4 (2)或或 (3)n的最大值为5，最小值为 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，以及一元一次方程的应用． （1）根据二倍关联点的定义分情况就解即可． （2）设运动时间为t秒，列出点D和B表示的数，然后根据二倍关联点的定义分情况列出关于t的一元一次方程解方程即可就出答案． （3）根据题目，设点B表示的数是，点P表示的数为n，点Q表示的数为．根据线段上存在线段的二倍关联点分情况列出关于n的一元一次方程解方程即可就出最大值和最小值了． 【详解】（1）解：点A表示的数为1． 点C表示的数为3 ∴， ∵C为线段的二倍关联点， ∴，或者． 当时，B表示的数为：， 当时，B表示的数为：， 故点B表示的数为7或4． （2）解：设运动时间为t秒， 那么点D表示的数就是，点B表示的数就是， 当点D是线段的二倍关联点时，有两种情况， ①点D到A的距离是点D到B的距离的两倍， 即或， 解得或 ②点D到B的距离是点D到A的距离的两倍， 即， 解得 故或或． （3）解：根据题目，设点B表示的数是，点P表示的数为n，点Q表示的数为， 那么线段上存在线段的二倍关联点， 那么点P到A的距离是点P到B的距离的两倍， 即， 解得， 点Q到A的距离是点Q到B的距离的两倍， 即 解得 所以，n的最大值为5，最小值为． 【变式10 -4】数轴上有四个点P，Q，M，N，我们规定：点P与点Q之间的距离记为d，点P与点M或点N中某一个点的距离记为，点Q与点M或点N中另一个点的距离记为，若满足，则称P和Q是M，N的“伴随点对”． 例如：点P，Q，M，N分别表示的数为8，9，4，2． 此时，，，，，，其中存在，满足，则称P和Q是M，N的“伴随点对” 在数轴上点A，B分别表示的数为，4． (1)若点和分别表示的数为10和1，点和分别表示的数为3和，点和分别表示的数为和，则在①和，②和，③和中，是A，B的“伴随点对”的是_____（填序号即可）； (2)若点C表示的数为1，点D表示的数为m，且C和D是A，B的“伴随点对”，直接写出m的取值范围； (3)若点C从点A出发以每秒4个单位长度向右运动，同时点D从点B出发以每秒1个单位长度向左运动，当点D到达点A时，点C和点D同时停止运动.设点D的运动时间为t秒.当C和D是A，B的“作随点对”时，直接写出t的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】该题主要考查了数轴上的动点问题以及两点之间距离公式，解题的关键是分类讨论； （1）根据题意，分别计算的值，确定是否满足即可判断； （2）根据题意，分别表示，根据C和D是A，B的“作随点对”，分为和分别计算即可确定范围； （3）由题意得：,，分别表示出，，,根据C和D是A，B的“作随点对”，分四种情况分别计算即可； 【详解】（1）①点A，B分别表示的数为，4，点和分别表示的数为10和1， 是的 “伴随点对”； ②点A，B分别表示的数为，4，点和分别表示的数为3和， 不满足， 是的 “伴随点对”； ③点A，B分别表示的数为，4，点和分别表示的数为和， 是的 “伴随点对”； 故答案为：①③； （2）根据题意：， 当C和D是A，B的“作随点对”时， ① ， 解得：； ② ， 解得：， 综上，； （3）由题意得：，， ，，， 当，即时，C、D两点重合，不符合题意， 当，即时，C、B两点重合，不符合题意， 当，即时，A、D两点重合，不符合题意； 当C和D是A，B的“作随点对”时， ①，解得：（舍去）； ②，解得：或； ③，无解； ④，解得：（舍去）或（舍去）； 综上，或． 【考点题型十一】一元一次方程之和差倍分问题 【例11】众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却少了个字．问：两种诗各多少首？设七言绝句共有首，根据题意，可列方程为意 ． 【答案】 【分析】设七言绝句有首，根据五言绝句比七言绝句多首，总字数却少了个字，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设七言绝句有首，一首五言绝句共有个字，七言绝句有个字，根据题意， ． 故答案为：． 【变式11 -1】《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分．其中《颂》和《风》的篇数之和为200篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的，则《风》有 篇． 【答案】160 【分析】设《风》有篇，表示出《颂》的篇数，再根据《颂》的篇数恰好是《风》篇数的，列出方程，解之即可． 【详解】解：设《风》有篇， 则《颂》有篇， 根据题意得：， 解得：， 即《风》有160篇． 故答案为：160． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目中等量关系式列出方程是解题关键． 【变式11 -2】新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多50本，结果书店还有200本这种书，请问书店新进这种畅销书 本． 【答案】 【分析】设书店新进这种畅销书本，然后根据题目中的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，设书店新进这种畅销书本，则 ， 整理得：， 解得：， ∴该书店新进这种畅销书1000本， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，难点在于读懂题目信息，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【变式11 -3】列方程解应用题：某中学组织部分师生去北京展览馆参观“奋进新时代”主题成就展．如果单租45座客车若干辆，则全部坐满；如果单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求该校前去参观的师生总人数． 【答案】225人 【分析】设需要租60座的客车x辆，则需租45座的客车辆，根据总人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要租60座的客车x辆，则需租45座的客车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴(人)． 答：观看戏剧演出的学生总人数为225人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式11 -4】列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿服务活动．为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式．已知参加志愿服务活动的教师和学生共30人；其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人，问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？ 【答案】9人 【分析】设选择骑自行车人数为x人，则选择步行人数有人，根据参加活动的教师和学生共30人列方程求出x的值即得到选择骑自行车人数． 【详解】解：设选择骑自行车人数为x人，则选择步行人数有人， 根据题意得， 解得， 答：选择骑自行车人数有9人． 【点睛】此题考查一元一次方程解应用，正确地用代数式表示选择骑自行车人数和选择步行人数的人数是解题的关键． 【考点题型十二】一元一次方程之水电费问题 【例12】北京居民生活用水实行阶梯价格制度，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增．2023年最新收费标准如下： 阶梯 户年用水量（单位：立方米） 水价（单位：元/立方米） 第一阶梯 0−180（含） 5 第二阶梯 181−260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 (1)若A家庭2023年用水量为200立方米，则该家庭应交水费 元； (2)若B家庭2023年水费为1838元，则该家庭年用水量为多少立方米？（列方程解答） 【答案】(1)1040 (2)302立方米 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题中的收费标准计算； （2）根据“B家庭2023年水费为1838元”列方程求解． 【详解】（1）（元）， 故答案为：1040； （2）设该家庭年用水量为x立方米， ∵， ∴， 则：， 解得：， 答：该家庭年用水量为302立方米． 【变式12 -1】为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1) (2) (3)小林家在11月份的用电量为305度． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）由可得此时单价为每度元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案； （2）由小林家月份用电度，可得此时分两段计费，其中度每度元，超过部分度，每度元，从而可得答案； （3）设小林家在月份的用电量为度，由，可得，再列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴小林家4月份应付的电费(元)． 故答案为：90； （2）解：∵小林家6月份用电度， ∴小林家6月份应付的电费元， 故答案为：； （3）解：设小林家在11月份的用电量为x度， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：小林家在11月份的用电量为305度． 【变式12 -2】目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下． 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.7 (1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元； (2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元； (3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？ 【答案】(1)104 (2)， (3)230度 【分析】（1）根据总价单价数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论； （2）分及两种情况，用含的代数式表示出该户12月应交电费； （3）由（1）可得出，结合（2）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， （元）． 故答案为：104． （2）当时，该户12月应交电费为元； 当时，该户12月应交电费为， ， （元）． （3）， ， ， ． 答：该户12月用电量为230度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式12 -3】为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1～4月份用水量和缴费情况： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 8 10 12 15 费用/元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)填空：当用水量不超过10吨时，每吨收费______元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费______元； (2)若小明家5月份用水量为吨（其中），则应缴水费______元．（用含的代数式表示，并化成最简形式） (3)若小明家6月份缴纳水费29元，用列方程的方法求出小明家6月份用水多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)小明家6月份用水吨 【分析】（1）根据1月份的条件，当用水量不超过10吨时，每吨的收费2元．根据3月份的条件，用水12吨，其中10吨应交20元，则超过的2吨收费6元，则超出10吨的部分每吨收费3元； （2）大于10吨，10吨水的费用20，超出10吨的部分按每吨3元计算，即可得出答案； （3）由题意可得出，10吨的费用20元+超过部分的费用=29元，据此列方程计算即可． 【详解】（1）由图得，元，元， ∴当用水量不超过10吨时，每吨收费2元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费3元； 故答案为：； （2）由题意得，元， 故答案为：； （3）设小明家6月份用水吨， ， ， 由题意得， 解得， 所以，小明家6月份用水吨． 【点睛】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据图表找出收费方式． 【变式12 -4】为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量(度) 执行电价(元/度) 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元． (2)某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？ 【答案】(1)170 (2)五月用电为100度，六月份用电400度 【分析】（1）根据表格列出算式进行计算即可求解； （2）设五月份用电为度，则六月份用电为，分当时，当时，当时，分类讨论，列出一元一次方程，根据六月份用电量大于五月份取舍结果，即可求解． 【详解】（1）解： (元)， 故答案为：170； （2）解：设五月份用电为度，则六月份用电为， 当时， 根据题意得， 解得， 则， ∴五月份用电100度，六月份用电400度； 当时， 根据题意得， 此时无解舍去， 当时， 根据题意得， 解得， 则， ∴五月份用电400度，六月份用电100度(六月份用电量大于五月份，此种情形，不符合题意舍去) 综上，五月用电为100度，六月份用电400度． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 【考点题型十三】一元一次方程的应用之其他问题 【例13】小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由月历表数字之间的特点可依次排除选项即可． 【详解】解：由A选项可得：，∴， 解得，故不符合题意； 由B选项可得：，∴， 解得，故不符合题意； 由C选项得，∴， 解得，故不符合题意； 由D选项得，∴， 解得，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【变式13 -1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，． 故选：B． 【变式13 -2】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中〈孙子算经〉中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？” 这道题的意思是： 今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据人数是固定的，列出方程即可． 【详解】解：设有辆车，由题意，得：； 故选A． 【变式13 -3】我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长尺，则竿长尺， 依题意，得：． 故选：D． 【变式13 -4】小云在某月的日历中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在日历中的排布不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历中每个数都是整数，且上下相差7，左右相邻的数相差1,再依次列出方程求解判断即可． 【详解】解：设日期b所表示的数是x， A. ，故此选项正确； B. ，故此选项正确； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是要清楚的知道日历中每个数都是整数，且上下相差7，左右相邻的数相差1． 【变式13 -5】列方程解应用题：顺义新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出总数的还多50本，结果书店还有200本这种书，请问书店新进这种畅销书多少本？ 【答案】1000本 【分析】设书店新进这种畅销书x本，然后根据题目中的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，设书店新进这种畅销书x本，则 ， 解得：； ∴该书店新进这种畅销书1000本． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，难点在于读懂题目信息，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【变式13 -6】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房x间，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 根据人数不变可列方程为，然后作答即可． 【详解】解：依题意得，可列方程为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$