专题05 二次函数（考题猜想，易错必刷45题9种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题05二次函数（易错必刷45题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的图象 · 二次函数的性质 · 二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数最值 · 抛物线与x轴的交点 · 二次函数与不等式（组） · 二次函数的应用 · 二次函数综合题 一．二次函数的图象（共2小题） 1．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误． 解法二： ①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意； ②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意； 故选：B． 2．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a， ∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选：C． 二．二次函数的性质（共4小题） 3．已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为（1，﹣3） 【答案】D 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的开口向下，对称轴是直线x＝1， ∴当x＝1时，函数有最大值为﹣3；顶点坐标为（1，﹣3）． 故选：D． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确； （4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确． 故选：B． 5．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　） A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2 【答案】B 【解答】解：∵a＝1＞0， ∴二次函数y＝x2+bx+1的图象开口向上， ∵当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴﹣≤1， 解得：b≥﹣2， 故选：B． 6．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1，当﹣1≤x≤3时，y的最大值为﹣8，则a的值为（　　） A．﹣4或6 B．0或6 C．﹣4或2 D．2或6 【答案】A 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1可知对称轴为直线x＝a，开口向下， 当a＜﹣1时，二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1在﹣1≤x≤3上，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，有最大值﹣8， 则有﹣（﹣1﹣a）2+1＝﹣8， 解得a＝﹣4或a＝2（不合题意，舍去）， 当a＞3时，二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1在﹣1≤x≤3上，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，有最大值﹣8， 则有﹣（3﹣a）2+1＝﹣8， 解得a＝6或a＝0（不合题意，舍去）， 综上得a的值为﹣4或6， 故选：A． 三．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向下，则 a＜0． 对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0． 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线 x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确； 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x＝﹣1 时，y＜0，故③错误； 当 x＝﹣1 时，有 y＝a﹣b+c＜0，故④正确； 由 2a+b＝0，得 a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤错误． 综上，正确的选项有：①②④． 所以正确结论的个数是3个． 故选：B． 9．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≤ C．a≤或a＞0 D．[，0） 【答案】C 【解答】解：当a＝0时，若k＝0，直线y＝2与直线y＝0没有交点，不合题意． 当a＝1时，二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3． 由kx﹣2k+2＝x2﹣2x﹣3得：x2﹣（k+2）x+2k﹣5． Δ＝（k+2）2﹣4（2k﹣5）＝k2﹣4k+24 ＝（k﹣2）2+20． 无论k为何值，（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0． 直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点， ∴a＝1符合题意． 故排除B，D． 当a＝﹣1时，二次函数为：y＝﹣x2+2x+3． 由kx﹣2k＝2＝﹣x2+2x+3得：x2+（k﹣2）x﹣1＝0， Δ＝（k﹣2）2+4＞0． ∴直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点． ∴a＝﹣1符合题意． 故排除A． 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C'，在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m≤5 C．m≥﹣5 D．m≤﹣5 【答案】D 【解答】解：原抛物线开口向上，对称轴为：x＝， 绕原点旋转180°后得到抛物线C'的开口向下，对称轴为：x＝﹣， ∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴﹣≥1， ∴m≤﹣5． 故选：D． 四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【解答】解：y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）， 对称轴是直线x＝﹣＝1， 即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1， 即在对称轴的右侧y随x的增大而减小， A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1）， ∵2＜3＜4， ∴y2＞y1＞y3， 故选：D． 12．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点， ∴n﹣2＝0或， 解得，﹣2≤n＜1或n＝2， 故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2． 五．二次函数的最值（共1小题） 13．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 【答案】A 【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a． ∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a， ∴4﹣2a＝﹣1， ∴a＝， 不合题意，舍去． 当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2． ∴3﹣a2＝﹣1． ∴a2＝4， ∵1≤a≤3， ∴a＝2． 当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小． ∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a． ∴12﹣6a＝﹣1． ∴a＝． ∵a≥3． ∴不合题意，舍去． 综上：a＝2． 故选A． 六．抛物线与x轴的交点（共9小题） 14．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， Δ＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣； 故选：A． 15．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【答案】D 【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 16．关于二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+6，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝﹣1 B．图象与x轴没有交点 C．当x＝1时，y取得最小值，且最小值为6 D．当x＞2时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解答】解：二次函数的顶点为（1，6），对称轴为直线x＝1，故A不合题意， 二次函数开口向下，顶点在第一象限，与x轴有两个交点，故B不合题意， 当x＝1时，y取得最大值，且最大值为6，故C不合题意， 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，故D符合题意． 故选：D． 17．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 【答案】C 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣2＜x＜6时，y＞0， 故选：C． 18．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　1或﹣　． 【答案】1或﹣． 【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意． 当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点， ①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1， ②与x、y轴各一个交点， ∴Δ＝0，m≠0， （3m）2﹣4m（m﹣1）＝0， 解得m＝0（舍去）或m＝﹣， 综上所述：m的值为1或﹣． 19．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＝0或m＞4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根， 即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根； 从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个， 当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根． |x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根， 综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根． 故答案为m＝0或m＞4． 20．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：对于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，解得x＝1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，0）、（3，0）， 函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，则点D（4，3）， 过点D作y轴的对称点H（﹣4，3），连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点， 理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED， 则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小， 则DE+EF最小＝HF＝HB﹣1＝﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 21．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k． （1）若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； （2）若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； （3）若在k≤x≤2k﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+1； （2）k＞0； （3）5． 【解答】解：（1）∵该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2， ∴该函数图象的对称轴是直线x＝1． 又∵y＝﹣（x﹣k）2+k的对称轴是直线x＝k， ∴k＝1即函数的表达式是y＝﹣（x﹣1）2+1． （2）y＝﹣（x﹣k）2+k ＝﹣x2+2kx﹣k2+k． ∵该函数与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4•（﹣1）•（k﹣k2） ＝4k＞0． 即：k＞0． （3）∵在k≤x≤2k﹣3范围内， ∴2k﹣3≥k． 解得：k≥3． ∵函数图象开口向下且对称轴是直线x＝k， ∴x＝k时，y有最大值，y最大值＝k， x＝2k﹣3时，y有最小值，y最小值＝﹣k2+7k﹣9． ∵该函数的最大值与最小值的差为4， ∴k﹣（﹣k2+7k﹣9）＝4，即k2﹣6k+5＝0． 解得：k1＝1（舍去），k2＝5． ∴k的值是5． 22．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　1　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　2　个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　1＜a＜2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴， ∴m＝1， 故答案为：1； （2）如图所示； （3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x＞1时，y随x的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点 ∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根； 故答案为：2； ②由图象可知：﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时， 即y＝a时，与图象有4个交点， 所以a的取值范围是：1＜a＜2． 故答案为：1＜a＜2． 七．二次函数与不等式（组）（共5小题） 23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2 【答案】A 【解答】解：由题意，∵关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为函数y＝ax2+bx+c的图象在函数y＝kx+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围， 又一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点的横坐标分别为﹣2，2， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为x＜﹣2或x＞2． 故选：A． 24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下； ②当x＝﹣2时，y取最大值； ③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根； ④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0； 其中推断正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确； ②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点C到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D； 剩下的选项中都有③，所以③是正确的； 易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误． 故选：B． 25．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0 ∵抛物线的顶点坐标是A（1，4） ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ∴b＝﹣2a ∴b＞0，则①错误，②正确； 方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看作直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标． 由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点． 则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确； 由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误； 不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c ∵抛物线顶点为（1，4） ∴当x＝1时，y最大＝a+b+c ∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确 故选：B． 26．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　x＜1或x＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3． 27．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　﹣1＜x＜3　． 【答案】﹣1＜x＜3． 【解答】解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方． 由图知，图象在点A，B之间， ∴﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 八．二次函数的应用（共11小题） 28．某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（　　）米． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米， 则平行于墙的材料长为28+2﹣3x＝（30﹣3x）米， 则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75， ∴当x＝5时，能建成的饲养室面积最大为75平方米， 故选：B． 29．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　8　m时，水柱落点距O点4m． 【答案】8． 【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0， 整理得2.5a+b+1＝0①； 喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4； 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②， 联立可求出a＝﹣，b＝， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h， 将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0， 解得h＝8． 故答案为：8． 30．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为　5　cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 　7　cm． 【答案】5；7． 【解答】解：如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+b， 将B（2，0），C（4，﹣12），代入得：， 解得：， ∴y＝﹣x2+4； 根据题意可知，∠ABE＝45°，设BE与y轴的交点坐标P， ∴△OBP是等腰直角三角形， ∴OB＝OP＝2， ∴P（0，﹣2）， ∴直线BP的解析式为：y＝x﹣2， 令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3， ∴E（﹣3，﹣5）． ∴BE＝＝5，DE＝7， 水面BE到平面的距离实际就是点C到直线BE的距离，如图1，过点C作BP的垂线交BP于点M，过点C作y轴的平行线，交直线BP于点N， ∴△MNC是等腰直角三角形， ∵C（4，﹣12）， ∴N（4，2）． ∴CN＝14． 过点M作MQ⊥CN于点Q， ∴Q是CN的中点，且MQ＝NQ＝CQ， ∴Q（4，﹣5）， ∴M（﹣3，﹣5）． ∴CM＝＝7． 故答案为：5；7． 31．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ＝， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 32．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元， 则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得 x1＝10，x2＝20， 经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 33．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b， 将（22，48），（30，40）代入解析式得，， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣x+70； 当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n， 将（30，40），（45，10）代入解析式得，， 解得， ∴函数表达式为：y＝﹣2x+100， 综上，y与x的函数表达式为：y＝； （2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625， ∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大， ∴当x＝30时，w取得最大值为400； 当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450， 当x＝35时，w取得最大值为450； ∵450＞400， ∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元． 34．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝ （1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？ （2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？ （3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若20x＝220，则x＝11，与0≤x≤5不符， ∴10x+100＝220， 解得，x＝12， 故第12天生产了220顶帽子； （2）由图象得， 当0≤x≤10时，P＝5.2； 当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0）， 把（10，5.2），（20，6.2）代入上式，得 ， 解得，， ∴P＝0.1x+4.2 ①0≤x≤5时，w＝y（8﹣P）＝20x（8﹣5.2）＝56x， 当x＝5时，w有最大值为w＝280， ②5＜x≤10时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280，当x＝10时，w有最大值，最大值为560（元）； ③10＜x≤20时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）[8﹣（0.1x+4.2）]＝﹣x2+28x+380， 当x＝14时，w有最大值，最大值为576（元）． 综上，第14天时，利润最大，最大值为576元． （3）由（2）小题可知，m＝14，m+1＝15，设第15天提价a元，由题意得 w＝y（8+a﹣P）＝（10x+100）[8+a﹣（0.1x+4.2）]＝250（2.3+a）， ∴250（2.3+a）﹣576≥49， ∴a≥0.2． 答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元． 35．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． ∴OH＝AB＝3， ∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1， ∴E（0，1），D（2，0）， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1， 把点D（2，0）代入，得k＝﹣， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1； （2）∵GM＝2， ∴OM＝OG＝1， ∴当x＝1时，y＝， ∴N（1，）， ∴MN＝， ∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝， ∴每个B型活动板房的成本是： 425+×50＝500（元）． 答：每个B型活动板房的成本是500元； （3）根据题意，得 w＝（n﹣500）[100+] ＝﹣2（n﹣600）2+20000， ∵每月最多能生产160个B型活动板房， ∴100+≤160， 解得n≥620， ∵﹣2＜0， ∴n≥620时，w随n的增大而减小， ∴当n＝620时，w有最大值为19200元． 答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元． 36．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，s＝　30　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m． ①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 【答案】（1）30； （2）h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s． （3）①不成功，理由见解答部分； ②此过程守门员的最小速度为m/s． 【解答】解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等， 抛物线关于s＝15对称， ∵当s＝0时，h＝0， ∴s＝30时，h＝0， 故答案为：30． （2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s﹣15）2+5， 把（12，4.8）代入上述解析式， ∴a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a＝﹣， ∴h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s． （3）①不成功，理由如下： 若守门员选择面对足球后退，设t s时，足球位于守门员正上方， 则球的水平距离为15t＝28﹣（8﹣2.5t）， 解得t＝1.6， ∴s＝15×1.6＝24m， ∴h＝﹣（24﹣15）2+5＝3.2m， ∵3.2＞2.5， ∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为v m/s，且t s时，足球位于守门员正上方， 则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t＝s， ∴s＝15•＝m， 代入上述解析式可得，h＝﹣•（）2+•＝1.8， 解得v＝或v＝85． ∴此过程守门员的最小速度为m/s． 37．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得： AE•AD＝2BE•BC ∵AD＝BC ∴BE＝a，AB＝ 由题意可得：2x+3a+2×a＝160 ∴a＝40﹣x ∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x ∴y＝﹣x2+60x （0＜x＜80） 令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500 化简得：x2﹣80x+2000＝0 ∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0 ∴方程无解 答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2 （2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200 ∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2． 38．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表 时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m关于t的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设日销售量m关于时间t的一次函数为m＝kt+b， 将（1，98）（3，94）代入，得 ，解得k＝﹣2，b＝100， 答：m关于t的函数关系式为m＝﹣2t+100． （2）设日销售利润为w元，根据题意，得 w＝（t+25﹣20）（﹣2t+100） ＝﹣（t﹣15）2+612.5 ∵﹣＜0，当t＝15时，w有最大值为612.5， 答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元． （3）根据题意，得 w＝（t+25﹣20﹣a）（﹣2t+100） ＝﹣t2+（15+2a）t+100（5﹣a） ∵二次函数开口向下，对称轴是t＝15+2a， 要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，t为整数，t＝20的点到对称轴的距离需小于t＝19的点到对称轴的距离， 必须15+2a＞19.5， ∴a＞2.25， 又a＜4， ∴2.25＜a＜4， 答：a的取值范围是2.25＜a＜4． 九．二次函数综合题（共7小题） 39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝， （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y＝， 过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图 设D（m，），则点F（m，）， ∴DF＝﹣（）＝， ∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH ＝×DF×（AG+EH） ＝×4×DF ＝2×（） ＝， ∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为． （3）y＝的对称轴为x＝﹣1， 设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20， 当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2， 解得，n＝1，此时P（﹣1，1）； 当PA2＝AE2时，9+n2＝20， 解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20， 解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述， P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 40．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图： ①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b， 得k＝﹣1，b＝3， 所以直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD ＝OB•PD＝﹣m2+m ＝﹣（m﹣）2+． ∴当m＝时，S有最大值． 当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣． ∴P（，﹣）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1），抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点， ∴EN＝CN＝2， ∴EC＝2， 根据菱形的四条边相等， ∴M′E＝EC＝2， ∴M′（2，1﹣2）或（2，1+2）， 当EM＝EN＝2时，CMEN是正方形， ∴M（2，3）， 答：点M的坐标为（2，3）或（2，1﹣2）或（2，1+2）． 41．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　，　（3，0）　，　（0，4）　． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）． ②． （3）存在，m＝． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，则﹣x2+x+4＝0， ∴x＝﹣2或x＝3， ∴A（﹣2，0），B（3，0）． 故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）①∵CP∥x轴，C（0，4）， ∴P（1，4）， ∴CP＝1，AB＝5， ∵CP∥x轴， ∴＝＝． ②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4． 设点P的横坐标为m， 则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）． ∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m， ∵PQ∥AB， ∴＝＝＝﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，的最大值为． 另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解． （3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M（8，0）， ∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4， 令﹣x2+x+4＝﹣x+4， 解得x＝或x＝0（舍）， ∴存在点P满足题意，此时m＝． 42．如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由； （3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣2x2+2x+4； （2）△POD不可能是等边三角形，理由见解答； （3）（1，4）或（，）． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4； （2）△POD不可能是等边三角形，理由如下： 如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO， ∵C（0，4），D是OC的中点， ∴E（0，1）， 当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1， 2x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝，x2＝（舍）， ∴P（，1）， ∴OD≠PD， ∴△POD不可能是等边三角形； （3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t， 分两种情况： ①如图2，△CMP∽△BMH， ∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°， ∴tan∠OBC＝tan∠PCM， ∴＝＝＝＝2， ∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t）， ∵PH＝PM+MH， ∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4， 解得：t1＝0，t2＝1， ∴P（1，4）； ②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°， 过点P作PE⊥y轴于E， ∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°， ∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°， ∴∠BCO＝∠EPC， ∴△PEC∽△COB， ∴＝， ∴＝， 解得：t1＝0（舍），t2＝， ∴P（，）； 综上，点P的坐标为（1，4）或（，）． 43．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线AC的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标． 【答案】（1）证明见解答； （2）①C（﹣4，1）；②y＝x+3； （3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD， ∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD， 在△ACB和△BDE中， ， ∴△ACB≌△BDE（AAS）； （2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B， ∴A（0，3），B（﹣1，0）， ∴OA＝3，OB＝1， 过点C作CG⊥x轴于点G，如图， 则∠BGC＝90°＝∠AOB， ∴∠CBG+∠BCG＝90°， ∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC， ∴BC＝AB，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBG＝90°， ∴∠BCG＝∠ABO， ∴△BCG≌△ABO（AAS）， ∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1， ∴OG＝OB+BG＝1+3＝4， ∴C（﹣4，1）； ②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3； （3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝． ∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点， 当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 当点M在x轴上方时，如图，过点Q作QL∥BM，过点B作BF⊥BQ，交BL与于点F，过点F作FG⊥x轴于点G， 则∠BOQ＝∠QBF＝∠BGF＝90°，∠BQF＝∠MBQ， ∴∠OBQ+∠OQB＝90°，∠OBQ+∠FBG＝90°， ∴∠OQB＝∠FBG， ∴△OBQ∽△GFB， ∴＝＝， ∵tan∠BQF＝tan∠MBQ＝＝， ∴＝＝， ∴FG＝，BG＝， ∴F（，﹣）， 设直线FQ的解析式为y＝mx+n，则， 解得：， ∴直线FQ的解析式为y＝﹣x﹣1， ∵BM∥QF， ∴设直线BM的解析式为y＝﹣x+d，把B（4，0）代入，得﹣+d＝0， 解得：d＝， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+， 联立得， 解得：，（舍去）， ∴M（﹣，）； 当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F， 则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°， ∵tan∠MBQ＝， ∴＝tan∠MBQ＝， ∴EQ＝BQ＝， ∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°， ∴∠OBQ＝∠EQF， ∴△QEF∽△BQO， ∴＝＝，即＝＝， ∴EF＝，QF＝， ∴OF＝OQ+QF＝1+＝， ∴E（，﹣）； 设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则， 解得：， ∴直线BM的解析式为y＝x﹣， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴M（﹣，﹣）； 综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣． 44．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4； （2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）﹣8＜n＜﹣4． 【解答】解：（1）∵D（0，4）， ∴OD＝4， ∵OA＝OD，点A在x的负半轴上， ∴A（﹣4，0）， 把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4， 把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0， 解得：b＝﹣4； （2）存在． 在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， 如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G， 则G（0，﹣4）， ∴OG＝4， ∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∴OA＝OG， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H， ∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°， ∴∠ABP＝45°＝∠BAP， ∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形， ∵PH⊥AB， ∴AH＝BH，即H是AB的中点， ∴H（﹣，0）， ∴点P的横坐标为﹣， 当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣， ∴P1（﹣，﹣）； 当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°， ∴BP＝AB＝5， ∴P2（1，﹣5）； 综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）； （3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+， ∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣， 把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0， 解得：n＝﹣4， 联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n， 整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0， 当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8， ∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4． 45．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，BD，若∠ABD＝∠ACB，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+3． （2）D（3，3）． （3）m＝，，时，△PMN是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3． （2）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∵B（0，4）， ∴OB＝4，OC＝3， ∴BC＝5， ∴BC＝AB＝5， ∴∠ACB＝∠CAB， ∵∠ABD＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠CAB， ∴tan∠ABD＝tan∠CAB＝3． 设点D的坐标为（x，﹣x2+x+3）， 如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则BE＝4﹣x，DE＝﹣x2+x+3， ∴tan∠ABD＝＝3， 解得x＝3． ∴D（3，3）． （3）设直线AD的解析式为：y＝kx+n，把点A，D的坐标代入得， ， 解得． ∴直线AD的解析式为：y＝x+． ∵MN＝AD＝5， ∴tan∠MAP＝． ①如图，若MN＝MP＝5，则∠PMN＝90°， tan∠MAP＝＝． ∴AM＝，即m1＝． ②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°， tan∠MAP＝＝． ∴AN＝， ∴AM＝AN﹣MN＝．即m2＝． ③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°， 过点P作PQ⊥AN于点Q，则PQ＝MN＝， tan∠MAP＝＝． ∴AQ＝， ∴AM＝AQ﹣MQ＝．即m3＝． 综上所述，m＝，，时，△PMN是等腰直角三角形． $$ 专题05二次函数（易错必刷45题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的图象 · 二次函数的性质 · 二次函数图象与系数的关系 · 二次函数图象上点的坐标特征 · 二次函数最值 · 抛物线与x轴的交点 · 二次函数与不等式（组） · 二次函数的应用 · 二次函数综合题 一．二次函数的图象（共2小题） 1．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 2．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A．B． C．D． 二．二次函数的性质（共4小题） 3．已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为（1，﹣3） 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　） A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2 6．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1，当﹣1≤x≤3时，y的最大值为﹣8，则a的值为（　　） A．﹣4或6 B．0或6 C．﹣4或2 D．2或6 三．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≤ C．a≤或a＞0 D．[，0） 10．在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C'，在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m≤5 C．m≥﹣5 D．m≤﹣5 四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 12．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　． 五．二次函数的最值（共1小题） 13．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 六．抛物线与x轴的交点（共9小题） 14．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 15．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 16．关于二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+6，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝﹣1 B．图象与x轴没有交点 C．当x＝1时，y取得最小值，且最小值为6 D．当x＞2时，y的值随x值的增大而减小 17．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 18．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　 　． 19．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 20．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 　 　． 21．已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k． （1）若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2，求函数的表达式； （2）若该函数与x轴有两个交点，求k的取值范围； （3）若在k≤x≤2k﹣3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4，求k的值． 22．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣ m 2 1 2 1 ﹣ ﹣2 … 其中，m＝　 　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　 　个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　 　． 七．二次函数与不等式（组）（共5小题） 23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2 24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断： ①抛物线开口向下； ②当x＝﹣2时，y取最大值； ③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根； ④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0； 其中推断正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 25．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　 　． 27．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　 　． 八．二次函数的应用（共11小题） 28．某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（　　）米． A．4 B．5 C．6 D．8 29．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　 　m时，水柱落点距O点4m． 30．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AD，BC为同一抛物线的一部分，AB，CD都与水平地面平行，当杯子装满水后AB＝4cm，CD＝8cm，液体高度12cm，将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角∠ABE＝45°时停止转动．如图2所示，此时液面宽度BE为　 　cm，液面BE到点C所在水平地面的距离是 　 　cm． 31．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 32．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 33．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】 34．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝ （1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？ （2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？ （3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？ 35．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 36．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表： s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，s＝　 　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m． ①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 37．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2 （1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 38．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表 时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m关于t的函数关系式； （2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ （3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围． 九．二次函数综合题（共7小题） 39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 40．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 41．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　 　，　 　，　 　． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 42．如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由； （3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标． 43．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线AC的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标． 44．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 45．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，BD，若∠ABD＝∠ACB，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． $$