清单05 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单05 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】 二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【清单07】 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点题型一】二次函数的概念 【典例1-1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】当函数是二次函数时，的取值为（         ） A． B． C． D． 【变式1-3】若是二次函数，则 ． 【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】二次函数，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式2-1】抛物线的顶点坐标是(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】已知点，点，点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　）    A．4 B． C．5 D． 【变式3-1】二次函数的图象如图所示，点 位于坐标原点，A₃, …， A2023在y轴的正半轴上， 在二次函数 第一象限的图象上，若  都是等边三角形，则的周长是（      ） A．6072 B．6069 C．6066 D．6063 【变式3-2】二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】关于抛物线，下列说法中错误的是（　　） A．开口方向向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【变式4-1】已知二次函数，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式4-2】若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【变式4-3】如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【变式4-5】若抛物线的顶点在x轴上，则 【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知二次函数在时有最小值，则(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-1】若当时，二次函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【变式5-3】当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①； ②； ③；④； ⑤（实数．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】已知二次函数 （a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是  （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型七】二次函数的平移变换 【典例7】把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】抛物线向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 【考点题型八】二次函数的交点问题 【典例8】如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，抛物线与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点A，B．若直线与，共有3个不同的交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题 【典例9】在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【变式9-1】飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（    ）m A． B． C． D． 【变式9-2】小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（    ） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【变式9-3】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线 (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值． 【考点题型十】二次函数应用-面积问题 【典例10】如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙 （篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【变式10-1】如图，某中学课外兴趣活动小组决定开辟一个矩形菜地，打算一面利用长为16米的墙面，三面利用长为29米的篱笆将菜地围起来，且矩形菜地正面留有1米宽的门． (1)若矩形的面积为100平方米，求矩形菜地的宽的长． (2)当矩形菜地的宽为多少米时，所开辟的矩形花圃面积最大? 【变式10-2】阅读下列材料，解决问题： 配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子： 例：求多项式的最小值 解： ， 多项式的最小值为−7，此时，． 仿照上面的方法，解决下面的问题： (1)当______时，多项式有最______值是______； (2)若代数式，试比较与的大小关系； (3)如图，在中，，高，矩形的四个顶点分别在三角形的三边上，设，矩形的面积为．用含有的代数式表示，并求出当的值为多少时，的值最大？并判断此时与面积的关系． 【变式10-3】某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【考点题型十一】二次函数应用-利润问题 【典例11】杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式11-1】消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式11-2】昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，富民苹果受到广大消费者青睐．某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，日销量为30千克．经市场调查发现，若该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元． (1)求日销量y与x之间的函数关系式； (2)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式11-3】某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． (1)分别求，关于的函数关系式； (2)按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ (3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 【考点题型十二】二次函数与几何综合应用 【典例12】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N，交直线于点M． ①当点P在线段上时，设的长度为s，求s与t的函数关系式； ②当点P在线段上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标； 【变式12-3】已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合 【典例13】如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：s）之间的关系式，测得如下表所示数据： 滚动时间 0 0.5 1 1.5 2 滚动距离 0 3 (1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式； (2)在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠． ①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？ ②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？ 【变式13-1】在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．    (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【变式13-2】甲、乙、丙三同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线．已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距为6米，手到地面的距离和都为1.3米，身高为1.6米的丙同学站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式，并注明x的取值范围； (2)如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶，丙同学在之间是否存在除外的另一站点，若存在，求该站点到点的距离，若不存在，说明理由． 【变式13-3】如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；(不写自变量的取值范围) (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】 二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 【清单07】 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【考点题型一】二次函数的概念 【典例1-1】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意； C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 【典例1-2】已知是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可； 【详解】∵是关于的二次函数， ∴， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B． 是二次函数，故此选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D． 不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】当函数是二次函数时，的取值为（         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据定义即可求解，解题的关键是正确理解二次函数的定义． 【详解】由函数是二次函数， 则， ∴， 故选：． 【变式1-3】若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】二次函数，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， ，开口向下，A不符合题意； 对称轴为直线，B符合题意； 顶点坐标为，C不符合题意； 当时，随的增大而增大，D不符合题意； 故选：B 【变式2-1】抛物线的顶点坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和顶点坐标，若抛物线，则顶点坐标为．由抛物线的解析式直接可以得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 【变式2-2】已知点，点，点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数得抛物线的对称轴为，其开口向上，进而可得的对称点为，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握其图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：抛物线的对称轴为，其开口向上， 的对称点为， ， ， 故选：B． 【变式2-3】已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为y轴， 在时，当时，y最小，最小值为， 故答案为：． 【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　）    A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解． 【详解】解：把点代入中得， 解得， ∴， ∵点，四边形为正方形， ∴， 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式． 【变式3-1】二次函数的图象如图所示，点 位于坐标原点，A₃, …， A2023在y轴的正半轴上， 在二次函数 第一象限的图象上，若  都是等边三角形，则的周长是（      ） A．6072 B．6069 C．6066 D．6063 【答案】B 【分析】如图所示，过点作轴于点，作轴于点，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质可求出，可得直线的解析式，，同理可得，由此可得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， ∴，则， 设，则， ∴， 把代入二次函数得，， 解得，或， ∴当时，，不符合题意，舍去， ∴，则，， ∴， ∴， ∴的周长为：, ∵， ∴的解析式为：， ∵， ∴， 同理，的解析式为，则，， 的解析式为，则，, ， 以此类推，， ∴的周长为：， 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，平面直角坐标系中点的规律，等边三角形的性质, 含30度角的直角三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数图象的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质找出点的规律，求出等边三角形的边长是解题的关键． 【变式3-2】二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入， 得， 解得（舍去），， ，， ∴，， ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、． ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是， 故答案为：． 【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】关于抛物线，下列说法中错误的是（　　） A．开口方向向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案． 【详解】解：抛物线的解析式为，且， 抛物线开口方向向下， 故A项正确，不符合题意； 抛物线对称轴是直线， 故B项正确，不符合题意； 当时，， 抛物线顶点坐标为， 故C项正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 【变式4-1】已知二次函数，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 根据题意先求出当时，或，再由二次函数的基本性质即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∵， ∴当时，或， 故选：D． 【变式4-2】若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数和二次函数图象是解题的关键． 【详解】解：当时，，图象与轴有一个交点； 当，把代入得，， ∵函数的图象与轴有交点， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故选：． 【变式4-3】如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：C． 【变式4-4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 又当时，的值随值的增大而减小， ． 故选：B． 【变式4-5】若抛物线的顶点在x轴上，则 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点位置求参数的问题，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式． 先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出b的值即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 抛物线的顶点坐标为：， 抛物线的顶点在x轴上，， 解得：， 故答案为：． 【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知二次函数在时有最小值，则(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数对称轴为直线， 当时， 在时有最小值， 当时，， ； 当时， 在时有最小值， 当时，， ； 综上所述，或， 故选：B． 【变式5-1】若当时，二次函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值，先求得该二次函数的对称轴，再分、三种情况，分别根据二次函数的性质列方程求解即可． 【详解】解： ， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵， 当时，当时，y有最小值，则， 解得或（舍去）； 当时，当时，二次函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，则， 解得（舍去）， 综上，m的值为． 故选：B． 【变式5-2】若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 【变式5-3】当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时，求的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 【详解】解：当时，有， 解得：，． ∵当时，函数有最小值1， ∴或， ∴或， 故答案为：2或． 【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①； ②； ③；④； ⑤（实数．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．由抛物线对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①对称轴在轴的右侧， ， 由图象可知：， ， 故①不正确； ②当时，， ， 故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于0，即， 故③正确； ④， ， ， ， ， 故④不正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B 【变式6-1】已知二次函数 （a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是  （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴ ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 根据图象知道抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②错误； 根据图象知道当时，， 故③错误； ∵抛物线开口向下，时抛物线与x轴相交， ∴时的抛物线位于x轴下方，即， ∴当时， 故④正确． 故选∶A． 【变式6-2】抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性，增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点，且， ∴抛物线开口向下，则，， ， 故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，． ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点的对称点为， ∵抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 【变式6-3】对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个 故选：A． 【考点题型七】二次函数的平移变换 【典例7】把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），平移不改变的值，即可解答． 【详解】解：根据抛物线平移的规律：左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标）， 把抛物线向右平移3个单位长度可得， 再再向下平移5个单位长度可得． 故选：． 【变式7-1】把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故选：B． 【变式7-2】抛物线向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平移的性质，先根据题意求出抛物线的顶点坐标是解答本题的关键．先求出的顶点坐标，然后再按平移的规律求解即可． 【详解】解：， 顶点坐标为， 向上平移2个单位长度后的顶点坐标是． 故选：A 【变式7-3】如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据顶点坐标得到平移规律即可求解． 【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的． 的坐标右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为，即． 故答案为：． 【考点题型八】二次函数的交点问题 【典例8】如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 【变式8-1】如图，抛物线与x轴交于点O，A，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点A，B．若直线与，共有3个不同的交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线与、共有3个不同的交点，正好处于、之间的区域，即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴令，解得， ∴A点的坐标为（2，0），将C1向右平移得C2 ∴B点的坐标为（4，0） ∴C2的解析式为 当直线与只有一个交点时 方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根 ∴，解得 当直线经过点A时 ，解得 ∴当时有三个交点 故选B． 5 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点以及二次函数图像与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题． 【变式8-2】如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线与抛物线C2相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴B（4，0），A（8，0）． ∴抛物线向左平移4个单位长度． ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点， ∴． 解得m=2． 当直线与抛物线C2相切时，有2个交点， ∴． 整理，得x25x2m=0． ∴△=25+8m=0． ∴m=． 如图， ∵若直线与C1、C2共有3个不同的交点， ∴＜m＜2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 【变式8-3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题 【典例9】在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 【变式9-1】飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（    ）m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先把配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，s有最大值，最大值为； 故选：D． 【变式9-2】小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数，则小明此次成绩为（    ） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【答案】B 【分析】根据题意可知实心球落地时，即求的解即可． 【详解】当时，，即． 解得：（舍），． 则小明此次成绩时10米． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 【变式9-3】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线 (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)，， (2)或0或1或2 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据解析式可求出的最高点坐标为，再由待定系数法求出函数表达式，求出a和c即可； （2）将点A、D的坐标分别代入的函数表达式，求出n即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的最高点坐标为； 由题意得：点A、D的坐标分别为：， 将点D的坐标代入函数的表达式得：． 解得：， ∴的表达式为：， 当时，； （2）解：由（1）得：， ∴的函数表达式为：， ∵点A、D的坐标分别为：， 将点A、D的坐标分别代入的函数表达式得： ，解得：， ，解得：， ∴当时，羽毛球沿路线飞行落在之间， ∴符合条件的n的整数值为或0或1或2． 【考点题型十】二次函数应用-面积问题 【典例10】如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙 （篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)可能， (2)288平方米 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 【变式10-1】如图，某中学课外兴趣活动小组决定开辟一个矩形菜地，打算一面利用长为16米的墙面，三面利用长为29米的篱笆将菜地围起来，且矩形菜地正面留有1米宽的门． (1)若矩形的面积为100平方米，求矩形菜地的宽的长． (2)当矩形菜地的宽为多少米时，所开辟的矩形花圃面积最大? 【答案】(1)长度为10米 (2)7.5米 【分析】本题考查了二次函数以及一元二次方程的应用，关键是根据题意写出函数解析式． （1）设长为x米，则的长为米，再由长方形的面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积公式写出面积S与x的函数关系式，再根据实际情况求函数最值以及的长． 【详解】（1）解：设长为x米，则的长为米， 由题意得：， 解得：， 当时，， 当时，，舍去， 答：长度为10米； （2）解：， ∵，， ∴， ∴当时，S最大为平方米． 答：当矩形花圃的宽为7.5米时，所开辟的矩形花圃面积最大． 【变式10-2】阅读下列材料，解决问题： 配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子： 例：求多项式的最小值 解： ， 多项式的最小值为−7，此时，． 仿照上面的方法，解决下面的问题： (1)当______时，多项式有最______值是______； (2)若代数式，试比较与的大小关系； (3)如图，在中，，高，矩形的四个顶点分别在三角形的三边上，设，矩形的面积为．用含有的代数式表示，并求出当的值为多少时，的值最大？并判断此时与面积的关系． 【答案】(1)；大；7 (2) (3)；当时，的值最大，此时 【分析】（1）按照题干过程求解作答即可； （2）由题意知， ，可求，则，进而可比较与的大小； （3）证明，如图，记交于点，则四边形是矩形，则，即，可求，则，进而可求当时，矩形的面积最大，最大面积是，根据，可得． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值是7， 故答案为：；大；7； （2）解：由题意知， ， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，记交于点，则四边形是矩形， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，二次函数的应用等知识．熟练掌握完全平方公式，不等式的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，二次函数的应用是解题的关键． 【变式10-3】某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米 (2)最多可以购买1400株牡丹 【分析】（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，可以得到y与x的函数关系式，配成顶点式求出函数的最大值即可； （2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，由题意列出不等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米， ∴， ∴当时，y有最大值是1200， 此时，宽为（米） 答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米． （2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意可得 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【考点题型十一】二次函数应用-利润问题 【典例11】杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【变式11-1】消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示： x（元/瓶） 22 24 26 27 y（瓶） 90 80 70 65 (1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围） (2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？ (3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的，设这种消毒洗手液每天的总利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)这批消毒洗手液每瓶的售价为27元 (3)售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元 【分析】本题主要考查了求一次函数的表达式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据题意找出等量关系，正确列出利润的表达式． （1）设与之间的函数关系式为，将表格中的数据代入求解即可； （2）根据总利润=单个利润×数量，列出方程求解即可， （3）根据题意，列出总利润的函数表达式，化为顶点式，再根据每瓶利润不允许高于进价的确定自变量的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将时，和时代入得， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． （2）由（1）可知，每瓶售价为x元，每天销售量为y瓶， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵尽量给顾客实惠， ∴． 答：这批消毒洗手液每瓶的售价为27元． （3） ， ∵每瓶利润不允许高于进价的， ∴， 解得：， ∴当时，总利润为最大，此时（元）． ∴售价定为31元时该药店可获得的利润最大，最大利润是405元． 【变式11-2】昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，富民苹果受到广大消费者青睐．某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，日销量为30千克．经市场调查发现，若该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元． (1)求日销量y与x之间的函数关系式； (2)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)日销量y与x之间的函数关系式为 (2)当销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元 【分析】本题考查了二次函数的应用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题． （1）该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克，列函数关系式； （2）根据销售利润(每千克销售价每千克进价）销售量，列函数关系式，用配方法将函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：日销量y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意得：， ∵， ∴时，w随x的增大而增大， ∵这种产品的销售价不得高于28元每千克， ∴当时，有最大值192元， ∴当销售价定为28元/千克时，每天可获最大销售利润192元； 【变式11-3】某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． (1)分别求，关于的函数关系式； (2)按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ (3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 【答案】(1)，； (2)5月份销售这种蔬菜收益最大 (3)一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，关键是能从图象中获取信息． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每千克蔬菜利润为W元，根据“”列式，利用二次函数的性质即可求解； （3）令补贴后每千克利润为，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象信息可设，将代入， 得：， 解得：， ∴． 设，将，代入， 得：， 解得：，， ∴； （2）解：设每千克蔬菜利润为W元，则 ， ∵， ∴当时，W取得最大值， 即5月份销售这种蔬菜收益最大； （3）解：令补贴后每千克利润， 解得：，， ∵当时，， ∴一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损． 【考点题型十二】二次函数与几何综合应用 【典例12】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 【变式12-1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N，交直线于点M． ①当点P在线段上时，设的长度为s，求s与t的函数关系式； ②当点P在线段上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)①；②点P的坐标为和． 【分析】（1）分别令、，求出对应的y值和x的值，即可求出A、B、C的坐标； （2）①根据点P的横坐标为t，可得，，然后分点P在y轴的左侧和点P在y轴的右侧两种情况，分别表示出即可； ②分时和时两种情况，分别根据相似三角形的性质列出比例式，整理后得出关于t的一元二次方程，解方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得：，， ∴，，； （2）解：①设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t， ∴，， 当点P在y轴的左侧，即时， 由题意得：； 当点P在y轴的右侧（包含原点），即时， 由题意得：； 综上，； ②如图，当时， 可得，即， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时， 可得，即， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上，点P的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数的应用、相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是数形结合思想与分类讨论思想的应用． 【变式12-2】如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标； 【答案】(1) (2)存在，， (3)或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标． （3）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标； 【详解】（1）把，，三点代入抛物线解析式 ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∴，， ∵，， ∴直线解析式为， ∴点， ∵，， ∴直线解析式为， 如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等， ∵，点坐标，直线解析式为， ∴解析式为:， 联立方程组可得：， 解得：或， ∴点的坐标为，， （3）存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ， ，， ，， 直线解析式为， 点， ，， ， ， 若点在直线的上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点， 直线解析式为：， 联立方程组可得：， 解得：或， 点的坐标为，； 若点在直线的下方时， 由对称性可得：点， 直线解析式为：， 联立方程组可得：， 解得：或， 点的坐标为，， 综上所述：点的坐标为，或，； 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键． 【变式12-3】已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值； (3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据已知条件求出点两点的坐标， 再利用待定系数法求出平抛物线的解析式； （2）根据题意列出的关系式，再根据关系式得出得到线段的最大值； （3）根据直角三角形的性质分两种情况讨论，再根据直角三角形的性质即可求得的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴的两个交点，， ∴，， ∵抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，， ∴根据题意可得方程： ∴， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：∵点经过抛物线 ∴设点， ∵是线段上的动点， ∴， ∴ ∴的最大值为． （3）解：①当时，如图所示 ∵时， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ②当时，则， ∴， ∴， ∵， 即， 解得： ∵， ∴， 综上所述点的坐标为：或 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，待定系数法，熟记数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合 【典例13】如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：s）之间的关系式，测得如下表所示数据： 滚动时间 0 0.5 1 1.5 2 滚动距离 0 3 (1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式； (2)在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠． ①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？ ②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？ 【答案】(1) (2)①②5 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法，二次函数性质是解题的关键． （1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①设第1颗钢珠出发时间为 后，则第2颗钢珠出发时间为，则，求解即可； ②把代入求得t值，从而可求得当时，，则可得t的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设s与t满足的二次函数关系为：， 把，，分别代入，得 ，解得：， ∴． （2）解：①设第1颗钢珠出发时间为 后，则第2颗钢珠出发时间为，则 解得：， ∴当斜面足够长时，第1颗钢珠出发后会和第2颗钢珠相距3米． ②当米时，则， 解得：(负数已舍)， ∴当时， ∴， ∴t的整数解为0，1，2，3，4 ∵在斜面顶端每隔就释放一颗钢珠 ∴若斜面长13米，则斜面上同时最多有5颗小钢珠． 【变式13-1】在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．    (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)3； (2)点M到地面的距离为2.25米 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，再把代入解析式即可求解． 【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点， 当时，， 故答案为：3； （2）设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． 【变式13-2】甲、乙、丙三同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线．已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距为6米，手到地面的距离和都为1.3米，身高为1.6米的丙同学站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式，并注明x的取值范围； (2)如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶，丙同学在之间是否存在除外的另一站点，若存在，求该站点到点的距离，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，存在另一站点到点的距离为5米 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，涉及待定系数法确定函数解析式、已知函数值求自变量的值、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）读懂题意，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据题意，设站点到点的距离为，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设此抛物线的解析式为， 由题意得点，，， 代入得，解得， ∴抛物线的解析式为，； （2）解：存在， 理由如下：如果存在另一站点，设站点到点的距离为，则，即，解得或， 当时，即为站点， ∴存在另一站点到点D的距离为5米． 【变式13-3】如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；(不写自变量的取值范围) (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不会失误，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用 （1）利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）利用二次函数的解析式求得时的值，依据题意求得运动员此时距水面高度，通过比较与5米的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：运动员在空中最高处点的坐标为， 点为抛物线的顶点， 设该抛物线的解析式为， 该抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：该运动员此次跳水不会失误，理由： 运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，点的坐标为， 运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3， 当时，， 运动员距水面高度为(米， ， 该运动员此次跳水不会失误． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$