专题02 三角恒等变换（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

串讲02 三角恒等变换（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.两角和与差的正弦 考点2.两角和与差的余弦 考点3.两角和与差的正切 考点4.二倍角正弦 考点5.二倍角余弦 考点6.二倍角正切 考点7.三角恒等变换的综合问题 03过关测试 一．两角和与差的正弦、余弦公式 名称 简记符号 公式 差的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 和的余弦 C(α＋β) cos (α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β 和的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β 差的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β 【微点拨】(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． 二．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 和的正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ 差的正切 T(α－β) tan (α－β)＝ 【微点拨】在两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z). 三．二倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α S(α＋β)S2α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C2α cos 2α＝1－2sin2α cos2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ T(α＋β)T2α 【微点拨】二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，用于描述两个数量之间的关系． 考点1.两角和与差的正弦 【例1】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 .故选:D 【对点演练】已知为第二象限角，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为为第二象限角，所以， 所以. 故答案为：. 考点2.两角和与差的余弦 【例2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，原式. 故选：C 【对点演练】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ， 故选：C. 考点3.两角和与差的正切 【例3】已知，则等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 【对点演练】（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 考点4.二倍角正弦 【例4】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故选：C. 【对点演练】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 考点5.二倍角余弦 【例5】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 故选：A. 【对点演练】函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】 所以最小正周期为，且为偶函数. 故选：B 考点6.二倍角正切 【例6】已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是第三象限角，， 所以，则， 故． 故选：A. 【对点演练】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 考点7.三角恒等变换的综合问题 【例7】已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间； （2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域. 【详解】（1）, 由，可得， 即函数的单调递减区间为. （2）当，，则， 故函数的值域为. 【对点演练】已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 【分析】（1） 利用三角函数的恒等式变形及辅助角公式，可化为,即可求出函数的周期； （2）利用正弦函数的单调区间以及整体思想来求解，即可得函数的单调递增区间. 【详解】（1）由    可得； （2）由可得的最小正周期为， 令 ， 解得：， 所以的单调递增区间是：. 1．式子的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式来求得正确答案. 【详解】. 故选：A 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由差角公式计算即可. 【详解】. 故选：D 3．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用定义可求得，进而利用二倍角的正切函数可求得的值. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D. 4．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求得，利用二倍角公式求得正确答案. 【详解】由三角函数的定义得：， . 故选：B 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用二倍角正弦公式进行化简，结合正弦函数的值域为，计算得出结果； 【详解】函数，因为， 所以函数的值域为 故选：B. 6．已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据三角函数的定义求出角的的正余弦值，再根据二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】由题意， 所以. 故答案为：. 7．已知，，则 . 【答案】 【分析】利用同角的正弦余弦的平方和为1可求得，进而利用两角和的余弦公式即可求值. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为：. 8．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题中条件，根据两角差的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 9．函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据二倍角的余弦公式可得，结合公式计算的周期即可求解. 【详解】， 因为的最小正周期为， 故的最小正周期为. 故答案为： 10．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简，结合周期公式即可； （2）通过，进而可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. （2）令， 则， 所以的单调递增区间为. 又因为，分别取和，得到， 所以的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲02 三角恒等变换（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.两角和与差的正弦 考点2.两角和与差的余弦 考点3.两角和与差的正切 考点4.二倍角正弦 考点5.二倍角余弦 考点6.二倍角正切 考点7.三角恒等变换的综合问题 03过关测试 一．两角和与差的正弦、余弦公式 名称 简记符号 公式 差的余弦 C(α－β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 和的余弦 C(α＋β) cos (α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β 和的正弦 S(α＋β) sin (α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β 差的正弦 S(α－β) sin (α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β 【微点拨】(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． 二．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 和的正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ 差的正切 T(α－β) tan (α－β)＝ 【微点拨】在两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z). 三．二倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α S(α＋β)S2α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C2α cos 2α＝1－2sin2α cos2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ T(α＋β)T2α 【微点拨】二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，用于描述两个数量之间的关系． 考点1.两角和与差的正弦 【例1】（   ） A． B． C． D． 【对点演练】已知为第二象限角，，则 ． 考点2.两角和与差的余弦 【例2】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【对点演练】的值为（    ） A． B． C． D． 考点3.两角和与差的正切 【例3】已知，则等于（    ） A． B． C． D．7 【对点演练】（    ） A． B．2 C．1 D． 考点4.二倍角正弦 【例4】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【对点演练】的值为（    ） A． B． C． D． 考点5.二倍角余弦 【例5】（    ） A． B． C． D． 【对点演练】函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 考点6.二倍角正切 【例6】已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练】已知，则（    ） A． B． C． D． 考点7.三角恒等变换的综合问题 【例7】已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【对点演练】已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 1．式子的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ． 7．已知，，则 . 8．若，，则的值为 ． 9．函数的最小正周期为 . 10．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$