专题03 解三角形（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

串讲03 解三角形（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.正弦定理 考点2.余弦定理 考点3.面积公式 考点4.判定三角形形状 考点5.高度问题 考点6.距离问题 考点7.角度问题 考点8.解三角形的综合问题 03过关测试 一．余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A b2＝a2＋c2－2ac__cos__B c2＝a2＋b2－2ab__cos__C 【微点拨】余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量． 二．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝ 【微点拨】(1)正弦定理的特点 ①适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． ②表达形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． 三．三角形的面积公式 (1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高). (2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B. 四．实际问题中的名词、术语 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图②所示).　 【微点拨】(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆． (2)方位角中的顺时针易错记为逆时针． 考点1.正弦定理 【例1】在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】利用正弦定理可知，解之得， 因为，所以，则， 或，则. 根据大边对大角，以上两种情况都符合题意. 故选：C 【对点演练】设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 又因为，， 所以. 故选：A. 考点2.余弦定理 【例2】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， ， 故选:B. 【对点演练】在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得，故 故选：C. 考点3.面积公式 【例3】在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又因为，所以. 故选：D. 【对点演练】内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可得. 故选：B 考点4.判定三角形形状 【例4】在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】A 【解析】由正弦定理可知， 不妨设，则， 显然，则，所以. 故选：A 【对点演练】在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：A 考点5.高度问题 【例5】如图所示，测量人员在楼AB的楼顶上的点B处测量塔CD的高度.已知点P，A，C在同一条直线上，在点B处测得塔顶D的仰角为30°，地面上的点P的俯角为45°，在点P处测得塔顶D的仰角为60°，，则塔CD的高度为（    ）参考数据：.    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，得△APB为等腰直角三角形，在Rt△APB中，， ∴m，由题知， ∴. 在△BPD中，由正弦定理得， ∴m. 在Rt△PCD中，m. 故选：B. 【对点演练】学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ）    A．60 B． C．30 D． 【答案】B 【解析】设圆柱状建筑物的高度为，则有，即， 所以. 故选：B 考点6.距离问题 【例6】如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得： ． 故选：C 【对点演练】如图所示，为测量河对岸一点与岸边一点之间的距离，已经测得岸边的，两点间的距离为，，，则，间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C. 考点7.角度问题 【例7】如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】D 【解析】由条件及题图可知，为等腰三角形， 所以，又， 所以，所以， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上． 故选：D． 【对点演练】一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，海里， 由正弦定理可得=，代入数据得. 故选：A. 考点8.解三角形的综合问题 【例8】在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【解】（1），且， ， 由正弦定理得， 又， ； （2）， . 由余弦定理得：， . 【对点演练】记的内角的对边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【解】（1）由及正弦定理可得， 又，，， 又，，，. （2）由余弦定理， 可得，解得或. 当时，的面积为； 当时，的面积为. 综上可知，的面积为或12. 1．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，代入计算即可. 【详解】由正弦定理，得. 故选：D. 2．的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或. 故选：D. 3．在中，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据面积公式即可求解. 【详解】∵，∴， ∴面积． 故选：B 4．一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 5．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是（    ）n mile/h． A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】运用正弦定理进行求解即可. 【详解】解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝ n mile，∠BSA＝45°， 由正弦定理，得＝，∴ v＝32 n mile/h． 故选：B 6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 7．在中，若，且的面积为，则 ． 【答案】 【分析】代入三角形面积公式求解即可. 【详解】解：因为，且的面积为， ，解得：. 8．如图所示，在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为和，则点离地面的高 . 【答案】 【分析】依题意可知，在中，计算得出. 【详解】如图所示，依题意可知， 在中， 解得 故答案为：. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若，求边长c. 【分析】（1）根据已知由正弦定理得到，根据的范围可得答案； （2）利用和已知得到的值，然后结合余弦定理得到c的长度． 【详解】（1）根据已知由正弦定理得， 得到， 因为，所以，所以，即． （2）由于，得， 由余弦定理，得， 所以. 10．在中，内角，，所对的边分别是，，.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【分析】（1）根据正弦定理，边化角即可． （2）根据已知和余弦定理可求得的值，再由面积公式求解． 【详解】（1）∵， 由正弦定理，得， ∵，∴，即， ∵，∴． （2）根据题意，，① 由余弦定理， 得，② 根据①②，可得， 所以三角形的面积公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲03 解三角形（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.正弦定理 考点2.余弦定理 考点3.面积公式 考点4.判定三角形形状 考点5.高度问题 考点6.距离问题 考点7.角度问题 考点8.解三角形的综合问题 03过关测试 一．余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A b2＝a2＋c2－2ac__cos__B c2＝a2＋b2－2ab__cos__C 【微点拨】余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量． 二．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝ 【微点拨】(1)正弦定理的特点 ①适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． ②表达形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． 三．三角形的面积公式 (1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高). (2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B. 四．实际问题中的名词、术语 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图②所示).　 【微点拨】(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆． (2)方位角中的顺时针易错记为逆时针． 考点1.正弦定理 【例1】在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【对点演练】设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 考点2.余弦定理 【例2】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【对点演练】在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 考点3.面积公式 【例3】在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【对点演练】内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 考点4.判定三角形形状 【例4】在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【对点演练】在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 考点5.高度问题 【例5】如图所示，测量人员在楼AB的楼顶上的点B处测量塔CD的高度.已知点P，A，C在同一条直线上，在点B处测得塔顶D的仰角为30°，地面上的点P的俯角为45°，在点P处测得塔顶D的仰角为60°，，则塔CD的高度为（    ）参考数据：.    A． B． C． D． 【对点演练】学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ）    A．60 B． C．30 D． 考点6.距离问题 【例6】如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（    ） A． B． C． D． 【对点演练】如图所示，为测量河对岸一点与岸边一点之间的距离，已经测得岸边的，两点间的距离为，，，则，间的距离为（    ）    A． B． C． D． 考点7.角度问题 【例7】如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【对点演练】一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 考点8.解三角形的综合问题 【例8】在中，角所对的边分别为，已知，. (1)若，求的值； (2)若的面积，求和的值. 【对点演练】记的内角的对边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，求的面积. 1．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．的内角的对边分别为，已知，则（    ） A．1 B． C．3 D．1或3 3．在中，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C． D．3 4．一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 5．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是（    ）n mile/h． A．16 B．32 C．64 D．128 6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．在中，若，且的面积为，则 ． 8．如图所示，在地平面同一直线上，，从两地测得点的仰角分别为和，则点离地面的高 . 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若，求边长c. 10．在中，内角，，所对的边分别是，，.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$