专题04 等差数列（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

串讲04 等差数列（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.等差数列的概念 考点2.等差中项 考点3.等差数列通项公式 考点4.等差数列前n项和 考点5.等差数列基本量运算 考点6.等差数列项的性质 考点7.等差数列和的性质 考点8.等差数列实际应用 考点9.等差数列综合问题 03过关测试 一．等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 【微点拨】等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征)． (3)公差可以是正数、负数、零． 二．等差中项 (1)条件：如果三个数a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式：2A＝a＋b． 【微点拨】在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项，即an－1＋an＋1＝2an.反之，若2an＝an－1＋an＋1对任意的n≥2，n∈N*均成立．则数列{an}是等差数列． 三．等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 【微点拨】等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d和n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项． 四．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 【微点拨】等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d与首项a1、公差d和项数n这三个量有关；公式Sn＝与首项a1、末项an和项数n这三个量有关． 五．等差数列项的运算性质 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 （1）an＝am＋(n－m)d，d＝(m，n∈N*，且 m≠n)． （2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，s，t，p∈N*)． （3）已知等差数列{an}的前n项和Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等差数列 考点1.等差数列的概念 【例1】下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 【对点演练】列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列； 选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列； 选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列； 选项D中，，不是等差数列， 故选：D． 考点2.等差中项 【例2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【对点演练】已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 设a，b的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. 考点3.等差数列通项公式 【例3】将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知变化的两项为1，4或2，3，逐项检验并结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】记减1的项为a，加1的项为b， 因为，可知变化的两项为1，4或2，3， 若，可得0，3，6，9，为等差数列， 此时首项为0，公差为3，所以； 若，可得2，3，6，7，不为等差数列； 若，可得1，2，7，8，不为等差数列； 若，可得1，4，5，8，不为等差数列； 综上所述：数列的通项公式为. 故选：D. 【对点演练】已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式. 【详解】因为，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 考点4.等差数列前n项和 【例4】已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【分析】根据条件求出公差，再利用等差数列求和公式求出. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以， 故选：D. 【对点演练】在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．100 B．50 C．90 D．45 【答案】D 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的项的“等和性”计算即得. 【详解】由题意得． 故选：D. 考点5.等差数列基本量运算 【例5】（1）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等差数列基本量的计算，根据等差数列的性质，列出通项以及前项和，解出数列的公差. 【详解】根据等差数列的定义和题目条件，有：， ， 整理得， 解得. 故选：B （2）已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义求得首项和公差，代入求和公式即可求得. 【详解】由数列为等差数列，且，，则 ，解得，. 故选：D 【对点演练】1.已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 2．在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本量运算，列出方程组，解之即得. 【详解】因为，，所以,解得d＝2. 故选：B. 考点6.等差数列项的性质 【例6】已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据下标和性质直接计算即可求解出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 【对点演练】已知为等差数列，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质得，从而，由此能求出的值. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 解得， ， ， 故选：. 考点7.等差数列和的性质 【例7】已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 【对点演练】已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值. 【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，则， 故选：B. 考点8.等差数列实际应用 【例8】为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（    ） A．3.5小时 B．246分钟 C．4小时 D．250分钟 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式计算可得结果. 【详解】依题意可得，小张从11月1日开始，第1天､第2天､､第15天的运动时长依次成等差数列， 且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为分钟小时. 故选：C 【对点演练】现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【答案】C 【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戈、己、庚七人的钱数为数列，等差数列的公差为d， 依题意得即解得 所以，故丁有101钱． 故选：C． 考点9.等差数列综合问题 【例9】设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)当为何值时，最大？并求的最大值. 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）根据等差数列求和公式计算可得； （3）令求出所对应的的取值范围，即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可得，， 所以； （3）令，解得， 令，解得， 又，所以当时，最大，. 【对点演练】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值和取得最大值时的值. 【分析】（1）根据通项公式列方程组求出首项和公差即可得通项公式； （2）根据等差数列的求和公式，结合二次函数性质可解. 【详解】（1）记数列的公差为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以，当时，取得最大值. 1．方程的两根的等差中项为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理及等差中项的概念求解. 【详解】由题可知方程的两根之和为， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 2．等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差中项公式与通项公式即可求解. 【详解】依题意， 因为是等差数列，且，， 故，解得， 则，解得. 故选：B. 3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差等差中项的性质，结合等差数列求和公式进行计算. 【详解】因为， 所以 故选：B. 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 5．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 6．一项运输工程，若干辆运输车如果同时参加，需要24小时完成．如果每辆车开始参加运输的时间不同，每隔固定的时间有一辆车参加，参加后就一直运输到最后，那么第一辆车运输的时间恰为最末一辆车运输时间的5倍，按照这样的干法从开始到结束，需要的时间为（    ） A．36小时 B．40小时 C．44小时 D．48小时 【答案】B 【分析】根据题意设共有辆运输车，每辆车每小时的运输量为1，则运输总量为，由题意可得从第一辆车到最末一辆车各车的运输量构成一个等差数列，按照等差数列求和公式得总运输量得式子，即可得需要的时间. 【详解】解：设共有辆运输车，每辆车每小时的运输量为1，则运输总量为． 又设从运输开始到结束，需要的时间为小时，则第一辆车的运输量为，最末一辆车的运输量为， 根据题意，从第一辆车到最末一辆车各车的运输量构成一个等差数列， 所以，解得． 故从开始到结束，需要的时间为40小时. 故选：B． 7．若数列中，，且，则其通项公式 . 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的定义及通项公式即可求解. 【详解】因为数列中，，且， 即， 所以数列是以3为首项，以5为公差的等差数列， 则其通项公式. 故答案为：. 8．记为等差数列的前项和，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可直接求解. 【详解】因为等差数列中，，，则可得， 公差，所以，， 则， 故答案为：. 9．等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以 （2）因为，所以， 又因为，所以 （3）方法一：由，即， 所以 方法二：由，得， 所以 10．已知等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【分析】（1）根据等差数列的性质得到公差，从而求出通项公式； （2）由得到，且当时，，从而得到或时，取得最大值，利用等差数列求和公式求出最大值. 【详解】（1）等差数列中， ，解得：， ，解得：， 故公差， 故通项公式； （2）令，解得：，且当时，， ∴或时，的前n项和取得最大值， 又，故的最大值为30. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲04 等差数列（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.等差数列的概念 考点2.等差中项 考点3.等差数列通项公式 考点4.等差数列前n项和 考点5.等差数列基本量运算 考点6.等差数列项的性质 考点7.等差数列和的性质 考点8.等差数列实际应用 考点9.等差数列综合问题 03过关测试 一．等差数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 【微点拨】等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征)． (3)公差可以是正数、负数、零． 二．等差中项 (1)条件：如果三个数a，A，b成等差数列． (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项． (3)满足的关系式：2A＝a＋b． 【微点拨】在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项，即an－1＋an＋1＝2an.反之，若2an＝an－1＋an＋1对任意的n≥2，n∈N*均成立．则数列{an}是等差数列． 三．等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 【微点拨】等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d和n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项． 四．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 【微点拨】等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d与首项a1、公差d和项数n这三个量有关；公式Sn＝与首项a1、末项an和项数n这三个量有关． 五．等差数列项的运算性质 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 （1）an＝am＋(n－m)d，d＝(m，n∈N*，且 m≠n)． （2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，s，t，p∈N*)． （3）已知等差数列{an}的前n项和Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等差数列 考点1.等差数列的概念 【例1】下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【对点演练】列数列不是等差数列的是（    ） A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，… 考点2.等差中项 【例2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【对点演练】已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 考点3.等差数列通项公式 【例3】将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【对点演练】已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 考点4.等差数列前n项和 【例4】已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【对点演练】在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．100 B．50 C．90 D．45 考点5.等差数列基本量运算 【例5】（1）已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（    ） A． B． C． D． （2）已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【对点演练】1.已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．在等差数列中，，，则数列的公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点6.等差数列项的性质 【例6】已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 【对点演练】已知为等差数列，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点7.等差数列和的性质 【例7】已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A．44 B．52 C．68 D．84 【对点演练】已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 考点8.等差数列实际应用 【例8】为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（    ） A．3.5小时 B．246分钟 C．4小时 D．250分钟 【对点演练】现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 考点9.等差数列综合问题 【例9】设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)当为何值时，最大？并求的最大值. 【对点演练】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值和取得最大值时的值. 1．方程的两根的等差中项为（    ） A．4 B． C．2 D． 2．等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 5．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 6．一项运输工程，若干辆运输车如果同时参加，需要24小时完成．如果每辆车开始参加运输的时间不同，每隔固定的时间有一辆车参加，参加后就一直运输到最后，那么第一辆车运输的时间恰为最末一辆车运输时间的5倍，按照这样的干法从开始到结束，需要的时间为（    ） A．36小时 B．40小时 C．44小时 D．48小时 7．若数列中，，且，则其通项公式 . 8．记为等差数列的前项和，若，，则的值为 . 9．等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 10．已知等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$