专题05 等比数列（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

串讲05 等比数列（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.等比数列的概念 考点2.等比中项 考点3.等比数列通项公式 考点4.等比数列前n项和 考点5.等比数列基本量运算 考点6.等比数列项的性质 考点7.等比数列和的性质 考点8.等比数列实际应用 考点9.等比数列综合问题 03过关测试 一．等比数列的定义 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【微点拨】对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征)． (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母颠倒． (4)等比数列中的任何一项均不能为零． 二．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． 【微点拨】等比中项概念的理解 (1)只有同号的两个实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 三．等比数列的通项公式 通项公式：首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1． 【微点拨】a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出 四．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用 公式 Sn＝ Sn＝ 【微点拨】求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和． 五．等比数列项的运算性质 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 （1）an＝am·qn－m(n，m∈N*)． （2）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq． 若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则aman＝a． （3）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列 考点1.等比数列的概念 【例1】下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【对点演练】下面四个数列中，一定是等比数列的是（    ） A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4 C．q，2q，4q，8q D．，，， 考点2.等比中项 【例2】若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 【对点演练】若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 考点3.等比数列通项公式 【例3】在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练】在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 考点4.等比数列前n项和 【例4】已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【对点演练】已知等比数列，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．110 C．511 D．1023 考点5.等比数列基本量运算 【例5】（1）已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 （2）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【对点演练】1．在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．公比为的等比数列满足，，则（    ） A． B．1 C．3 D．或3 考点6.等比数列项的性质 【例6】已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【对点演练】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 考点7.等比数列和的性质 【例7】记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【对点演练】已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 考点8.等比数列实际应用 【例8】党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署． 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（    ） A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人 【对点演练】习总书记说“绿水青山就是金山银山”某林场牢记使命、攻坚克难，绿色种植面积以每5年的速度增长，要达到最初种植面积的10倍大约需要经过（    ）年？ A．50 B．100 C．125 D．200 考点9.等比数列综合问题 【例9】在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【对点演练】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 1．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 2．在等比数列中，若，则公比为（ ） A．1 B． C．2 D．2或 3．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 4．已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 7．设是等比数列的前项和，若，则 . 8．正项等比数列的前项和为，则 . 9．在等比数列中. (1)已知，，求； (2)已知，，求； (3)已知，，，求. 10．已知正项等差数列满足：，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲05 等比数列（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.等比数列的概念 考点2.等比中项 考点3.等比数列通项公式 考点4.等比数列前n项和 考点5.等比数列基本量运算 考点6.等比数列项的性质 考点7.等比数列和的性质 考点8.等比数列实际应用 考点9.等比数列综合问题 03过关测试 一．等比数列的定义 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【微点拨】对等比数列定义的理解 (1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征)． (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母颠倒． (4)等比数列中的任何一项均不能为零． 二．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． 【微点拨】等比中项概念的理解 (1)只有同号的两个实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 三．等比数列的通项公式 通项公式：首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1． 【微点拨】a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出 四．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用 公式 Sn＝ Sn＝ 【微点拨】求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和． 五．等比数列项的运算性质 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则 （1）an＝am·qn－m(n，m∈N*)． （2）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq． 若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则aman＝a． （3）设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列 考点1.等比数列的概念 【例1】下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【分析】对四个选项按等比数列的定义一一验证即可. 【详解】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 【对点演练】下面四个数列中，一定是等比数列的是（    ） A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4 C．q，2q，4q，8q D．，，， 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误； 对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确， 故选：D 考点2.等比中项 【例2】若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 【对点演练】若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 考点3.等比数列通项公式 【例3】在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的定义知为等比数列，由得的通项公式. 【详解】∵，即： ， ∴为等比数列，公比， ∴ 故选：D. 【对点演练】在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论． 【详解】∵，∴，．是公比为的等比数列， ∴． 故选：B． 考点4.等比数列前n项和 【例4】已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 【对点演练】已知等比数列，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．110 C．511 D．1023 【答案】D 【分析】根据已知条件求得公比，再利用等比数列前项和公式，即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，前项和，则， 故. 故选：D. 考点5.等比数列基本量运算 【例5】（1）已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．24 B．12 C．20 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助等比数列前 项和公式求出公比即可得解. 【详解】设等比数列 的公比为，显然，否则，此等式不成立， 则，由，整理得，即， 因此，所以. 故选：D （2）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 【对点演练】1．在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由及通项公式，列出方程组求解即可. 【详解】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得. 故选：B. 2．公比为的等比数列满足，，则（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式：，代入解关于的方程，即可得的值． 【详解】由，知，，又， 则，所以， 解得（舍，或． 故选：C． 考点6.等比数列项的性质 【例6】已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质得到，计算出，结合对数运算性质计算出结果. 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 【对点演练】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去）， 故选：D. 考点7.等比数列和的性质 【例7】记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列的公比，再利用性质计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 【对点演练】已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，由两个等式求得，再利用等比数列部分和的特征，将拆项分组求和. 【详解】设等比数列的公比为.由， 可得，因，解得. 则 . 故选：A. 考点8.等比数列实际应用 【例8】党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署． 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（    ） A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人 【答案】D 【分析】设第三年脱贫人口为万，则第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万，根据题意列出方程求解即可得解. 【详解】设第三年脱贫人口为万，根据题意，第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万， 三年完成脱贫任务则，解得， 所以第一年脱贫人口应为16万. 故选：D 【对点演练】习总书记说“绿水青山就是金山银山”某林场牢记使命、攻坚克难，绿色种植面积以每5年的速度增长，要达到最初种植面积的10倍大约需要经过（    ）年？ A．50 B．100 C．125 D．200 【答案】C 【分析】利用等比数列的概念，列方程求解. 【详解】设需要经过5n年，才能达到最初种植面积的10倍，则 所以 所以 故选：C 考点9.等比数列综合问题 【例9】在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 【对点演练】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，求 【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果. （2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得， 又，得， 与联立，解得（舍去）或， 因此数列的通项公式为. （2）由，得，解得或， 当时，由得，则， 当时，由得，则， 综上，或. 1．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质即可得出. 【详解】设等比数列的公比为， .故选：D. 2．在等比数列中，若，则公比为（ ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】由等比数列定义得，结合已知即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故选：C. 3．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由为等差数列，则，，， ，解得或（舍去）. 故选：C. 4．已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【详解】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 5．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案. 【详解】设公比为，则， 故，其中，， 则 故选：D 6．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 【答案】D 【分析】分别求出每次落地经过的路程，相加即可求解. 【详解】前五次落地经过的路程分别为10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和为28.75米， 故选：D 7．设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【分析】由等比数列前项和的性质构成等比数列，建立等式求解可得. 【详解】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 8．正项等比数列的前项和为，则 . 【答案】1023 【分析】由等比中项求出，再由等比数列的性质求出公比，写出通项，再由等比数列的求和公式求出结果即可. 【详解】因为， 又，即，解得或（舍）， 所以，所以， 所以， 故答案为：1023. 9．在等比数列中. (1)已知，，求； (2)已知，，求； (3)已知，，，求. 【分析】考查等比数列的通项公式，用、把条件表示出来，求出首项和公比即可. 【详解】（1） （2）因为.所以. （3）因为：，，所以. 由 10．已知正项等差数列满足：，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【分析】（1）利用已知成等比数列，用等差数列基本量列方程求解，再由等差数列的通项公式可得结果； （2）利用等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为，则， 由成等比数列，得，即 ，又，则， 解得（舍），或，所以. 故数列的通项公式为. （2）由题意，， 则，且， 所以是首项为2，公比为4的等比数列， 所以的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$