专题05 等比数列（考题猜想）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

专题05 等比数列 1．等比数列4，x，9，…，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 2．在公比为的等比数列中，前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若a，b，c成等比数列，x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则（    ） A．x>y B．x<y C．a，b，c同号 D．x与y同号 4．已知中，，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 6．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 7．若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 8．已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是 ． 9．在等比数列中，，且，则的值为 . 10．一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 11．在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 12．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项； (2)记，求数列前n项的和. 1．等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 7．已知是数列的前项和，是和的等差中项，则 ． 8．已知数列满足，且，则 . 9．设数列的前项和为，且满足，则 . 10．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 11．已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 12．已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等比数列 1．等比数列4，x，9，…，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义列方程求即可. 【详解】因为数列4，x，9，…为等比数列，所以数列4，x，9为等比数列，所以，所以，C正确，故选：C. 2．在公比为的等比数列中，前项和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用和的关系求出和，再求其公比. 【详解】由，得，， 所以，，则. 故选：C. 3．若a，b，c成等比数列，x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则（    ） A．x>y B．x<y C．a，b，c同号 D．x与y同号 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义以及等比中项的概念即可判断． 【详解】依题可知，，，， 当时，满足题目条件，所以A，B错误； 若，则由可得，再由可得，同理，当，可推出，C正确； 若，，时，满足题目条件，但是x与y不同号，D错误． 故选：C． 4．已知中，，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等比数列的定义可知首项为,公比,代入等比数列通项公式即可得出结果. 【详解】解:因为中，，, 所以数列是首项为,公比的等比数列, 设通项公式为: , 所以. 故选:C 5．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】依题意，得，而，所以． 故选：C 6．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 【答案】D 【分析】根据等比数列性质，若是等比数列，则也是等比数列解决即可. 【详解】由题知，等比数列的前项和为， 所以也是等比数列，即也是等比数列， 根据等比中项性质解得， 故选：D 7．若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 【答案】189 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得. 【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得. 故答案为：189 8．已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的定义与性质求解. 【详解】由等比数列性质知，联立，解得或， 因为是单调递增的等比数列，所以，即． 故答案为：2 9．在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 10．一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【答案】/ 【分析】由已知条件列算式计算数据. 【详解】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为. 故答案为： 11．在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【详解】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 12．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项； (2)记，求数列前n项的和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用成等比数列列出方程求出公差即可得解. （2）先由（1）求出数列的通项公式，再结合等差等比数列的前n项和公式分组求和计算即可得解. 【详解】（1）由题可设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，所以，即， 所以，解得（舍去）或， 所以. （2）由（1）得， 所以数列前n项的和 . 1．等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用等比数列的下标性质计算即可. 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 2．已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设出等差数列的公差与等比数列的公比，利用各自通项公式建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列为，公差为，由题意可知成等比数列，设公比为， 则，可得，两式作比可得，解得. 故选：C. 3．已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由于，则即为，解得或， 不能推出数列单调递增； 若数列单调递增，则，从而， 故是数列单调递增的必要不充分条件. 故选：B． 4．记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 5．已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据条件，求出数列的通项公式，进行判断即可. 【详解】根据条件：，解得. 所以. 由. 所以使成立的的最小值为9. 故选：A 6．设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，则， ∴，即数列是首项，公比的等比数列， 即， ∴ 故选：D. 7．已知是数列的前项和，是和的等差中项，则 ． 【答案】 【分析】根据等差中项列方程，然后利用求得，进而求得. 【详解】由于是和的等差中项， 所以， 当时，. 当时，，， 两式相减并化简得， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，也符合，所以, 所以. 故答案为： 8．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 9．设数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的定义判定，再利用等比数列的通项公式和前项和公式来求解即可. 【详解】由，可得， 所以数列是一个公式为的等比数列， 即， 所以 即， 所以由等比数列的求和公式可得：， 故答案为:. 10．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用，在由奇数项和比偶数项和小，求得，即可求解. 【详解】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 11．已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【分析】（1）应用等比数列前项和公式，代入基本量运算即可； （2）应用等比数列前项和公式建立方程组求解基本量，再由通项公式可得； （3）由等比数列的定义可得，化奇数项和为偶数项和，整体求解可得. 【详解】（1）由已知， 则 ； （2）若，则，不符合题意，， ，且， 两式相除得， 解得或． 当时，；当时，， 或； （3），则，即， ， ， ． 12．已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【分析】（1）由和的关系式消去得递推式，由此构造等比数列； （2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得. 【详解】（1）当时，，解得 因 ①， 当时，②              ①-②得，，即， 则，即，，又 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）法一、由（1）可得，即，        法二、由（1）可知，即， 又由题知： 代入可得 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$