13.3等腰三角形 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3等腰三角形 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，BC＝4，则DE的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为 A．4 B． C．15 D．8 3．如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（　　）    A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．如图所示方格纸中的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是（    ） A．（已知），（等角对等边） B．平分，（已知）， （角的平分线上的点到角的两边的距离相等） C．，（已知）， （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） D．，（已知），（等腰三角形三线合一） 6．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．10 B．11 C．10或11 D．11或12 7．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足则此等腰三角形的周长为（    ） A．6或8 B．8 C．10 D．8或10 8．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 二、填空题 9．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   10．如图，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，若BD=3，则DE= ． 11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成．两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝84°．则∠CDE是 °． 12．如图，在中，，，为中点，交于点，，则 ． 13．如图，，，于，于．若，，则的长为 ．    三、解答题 14．如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M．    (1)求的度数． (2)证明：是等边三角形． 15．如图，在和中，，，，与交于点（不与点，重合），点，在异侧，，的平分线相交于点．    (1)当时，求的长； (2)求证：； (3)当时，求的取值范围． 16．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE＝30°．若AD＝5，求DE的长． 17．王飞同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程（保留作图痕迹）． 已知一条线段，分别以点A、B为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧交于点C（点C在线段上方），作的角平分线交与D． 由作图可知 是__________三角形 __________（______________________________） 平分 垂直平分（______________________________） 又 即在中，，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A C C C C 1．A 【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB=2BC=8， ∵点D是斜边AB的中点， ∴AD=4， ∵DE⊥AC， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 2．B 【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】连接AO，如图， ∵AB=AC=5， ∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12， ∴OE+OF=， 故选 B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键. 3．C 【分析】①由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理，便可判断①的正误； ②延长与交于点，由，，根据三角形内角和定理与三角形外角定理得，便可判断②正确； ③由平行线的性质证明，再由等角的余角相等可得，便可得，故③正确； ④证明，可得结论． 【详解】解：①∵，为的中点， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②如图，延长与交于点， ∵为的角平分线，过点作垂直于点， ∴，， ∴，故②正确；    ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故③正确； ④∵，为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键． 4．A 【分析】是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里． 【详解】从图上可知：△ADB≌△AEC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形． 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定与性质，证明△ADB≌△AEC是解答本题的关键． 5．C 【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一逐项判断即可得． 【详解】解：A、（已知）， （等边对等角）， 则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意； B、平分，（已知）， （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 因为与不垂直，与不垂直，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意； C、，（已知）， （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， 则因果关系与所填依据相符，此项符合题意； D、，（已知）， （等腰三角形三线合一）， 因为条件没有等腰三角形，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一，角平分线珠性质定理，熟练掌握这些知识是解题关键． 6．C 【分析】先根据绝对值的非负性、平方数的非负性求出a、b的值，再分a为腰和b为腰两种情况，然后根据等腰三角形的定义求出第三边，从而可得出答案. 【详解】由绝对值的非负性、平方数的非负性得 解得 因，则a，b必有一个为腰长，一个为底边长 （1）若a为腰长，则另一腰长c等于a，即 此时，等腰三角形的周长为 （2）若b为腰长，则另一腰长c等于b，即 此时，等腰三角形的周长为 综上，的周长为10或11 故选：C. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、平方数的非负性、等腰三角形的定义等知识点，根据绝对值的非负性、平方数的非负性求出a、b的值是解题关键.这是常考知识点，需重点掌握. 7．C 【分析】首先根据求得、的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：， ， 解得：， 当为底时，三角形的三边长为2，4，4 ，则周长为10； 当为底时，三角形的三边长为2，2，4，此时三角形不存在． 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据，分别作为底或腰分类讨论，再由三边关系确定三角形的存在性． 8．C 【分析】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8． 【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°， ∵∠BED+∠DEA=180°， ∴∠BED=90°． 又∵∠B=30°， ∴BD=2DE． ∴BC=3ED=24． ∴DE=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键． 9．3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键． 10．3 【详解】试题分析：△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，可得∠DCB=60°，BD⊥AC，所以∠DBC=30°，因为CE=CD，所以∠CDE=∠E=30°，故∠DBC=∠E，DE=BD=3． 考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的外角 11．68 【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝84°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝84°， ∴∠ODC＝28°， ∵∠CDE＋∠ODC＝180°−∠BDE＝96°， ∴∠CDE＝96°−∠ODC＝68°． 故答案为：68． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 12．16 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再在中，利用含30度角的直角三角形可求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 为中点且， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 13．9 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，由垂直可得，从而可求得，利用可判定，则有，，从而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 14．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，求出，即可求出答案； （2）求出，根据等腰三角形的性质求出，求出和，根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，是边上的中线， ∴， ∴， ∴． （2）∵的垂直平分线交于F，交于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 15．(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）由三角形内角和定理求出，根据内心的概念得到，根据三角形内角和定理得到，根据不等式的性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴为直角三角形，， ∵， ∴； ∴； （2）在和中， ∵ ∴，   ∴， ∵， ∴； （3）∵ ∴ 设，则， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴ = =，    ∵， ∴. 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理，解题关键是熟记三角形的角平分线的性质． 16．DE的长为5． 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一，即可得出∠BAD=∠DAC=30°，进而得出△ADE是等腰三角形，所以AD=DE，求出答案即可． 【详解】∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=30°， ∵点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°，∠E+∠CDE=60°， ∴∠CDE=∠E=30°， ∴AD=DE， ∵AD=5， ∴DE的长为5． 故答案为：5. 【点睛】考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质定理内容是解题的关键． 17．作图见解析；等边；60；等边三角形的每个角是；等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合 【分析】本题考查了尺规作图、等边三角形的判定和性质、等腰三角形“三线合一”等知识点，熟知相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形与等腰三角形的相关性质进行填空和补充理由即可． 【详解】所作等边三角形及角平分线见下图． 由作图可知 是等边三角形 （等边三角形的每个角都等于） 平分 垂直平分（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合） ∵ 又 即在中，，则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$