第八单元：数学广角——数与形（单元复习讲义）-人教版六年级数学上册（知识梳理+典型例题+对应练习+答案）

第八单元、数学广角——数与形（单元复习讲义） 人教版六年级数学上册 （知识梳理+典型例题+对应练习+答案） 1、自主探究，发现图形中隐藏的数学规律，并会应用所发现的规律进行计算，提高计算能力。 2、会利用图形解决一些有关数的问题，在解决实际问题的过程中，体验“数形结合”“归纳推理”和“极限”的数学思想。 3、初步形成数感和空间观念，感受符号和几何图形直观的作用。 1、重点：结合实例理解数形结合思想。 2、难点：运用数形结合的方法探究规律，解决问题。 知识点01：数形结合思想的意义 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。 知识点02：数与形找规律的步骤 1、寻找数量关系； 2、用代数式表示规律； 3、验证规律。 知识点03：寻找数与形规律的方法 1、算式中的规律 （1）把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容。在探索“式”的规律时，要从组成“式的要素中去探索。 （2）在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 2、数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 3、图形的变化规律 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称)，另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题。 重点是能够发现图形之间的数量关系，以及增长的规律。 【例1】已知：3×9＝27，3×99＝297，3×999＝2997，3×9999＝29997，那么：3×999999＝（ ）。 A．299997 B．3000007 C．2999997 【答案】C 【解析】 根据算式的规律可以看出，从第二个算式开始，每个算式的结果的第一个数是2，最后一个数是7，中间是9，乘数里面有几个9，积里面9的个数比乘数里9的个数少1。所以3×999999＝2999997。 【例2】52＝1＋3＋5＋（ ）＋（ ）。 【答案】7；9 【解析】 先求出5的平方的值，再让两边结果相等即可，观察右边发现，后一个数比前一个数多2，依次推断填出后面两个数，然后验算两边是否相等即可。 52＝25 1＋3＋5＋7＋9＝25 52＝1＋3＋5＋7＋9 【例3】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝（ ）。 【答案】121 【解析】 观察算式，每相邻两个加数都相差2，发现： 2个加数的和：1＋3＝4＝22； 3个加数的和：1＋3＋5＝9＝32； 4个加数的和：1＋3＋5＋7＝16＝42 …… 规律：n个加数的和＝n2； 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112＝121 【例4】加法算式1＋2、2＋5、3＋8、1＋11、2＋14、3＋17…是按一定规律排列的，第35个加法算式是（ ）。 【答案】2＋104 【解析】 观察算式可知，这列加法算中第1个数按1、2、3、1、2、3⋯⋯顺序排列，每3个一组，用35除以3，若没有余数，第一个数字就是3，若有余数，第一个数字就从左数几即可；第2个数字后一个数比前一个数多3，第n个算式的第2个数是2＋（n－1）×3＝3n－1。 35÷3＝11（组）……2（个） 则该算式的第1个数字是2； 该算式的第2个数字是：3n－1＝3×35－1＝105－1＝104 所以第35个加法算式是2＋104。 【例5】观察下面的算式看看你有什么发现？ 若：2！＝2×3 3！＝3×4×5 5！＝5×6×7×8×9 通过你的发现计算：＝（ ） 【答案】 【解析】 一个数字加上后面的“！”，等于从这个数字开始的几个连续自然数的乘积，这个数是几，就有几个连续自然数。 ＝ ＝ 【例6】观察下列顺序排列的等式，猜想第21个等式应该是多少？ 9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 9×4＋5＝41 …… 【解析】 观察下列等式，发现9×0＋1＝10×0＋1＝1，9×1＋2＝10×1＋1＝11，9×2＋3＝10×2＋1＝21，9×4＋5＝10×3＋1＝41， 发现第n个等式为：9×（n－1）＋n＝10×（n－1）＋1。 【解答】 第21个等式应为： 9×（21－1）＋21 ＝10×（21－1）＋1 ＝201 【例7】根据图形中各个数的关系，★＝（ ），▲＝（ ）。 【答案】26；32 【解析】 由图分析可知，黑色三角形位置的数字是16的2倍，五角星星位置的数字是比16多10。 ★＝16＋10＝26 ▲＝16×2＝32 【例8】找规律，写得数。 假设所有自然数如图排列起来，35、48、78、2022应分别排在哪个字母下面？ 35在（ ）下面；48在（ ）下面；78在（ ）下面；2022在（ ）下面。 【答案】C；A；C；C 【解析】 根据题意可知，这些数按从小到大8个数一个循环，用一个数除以8，余数是1、0，这个数排在A的下面，余数是2、7，这个数排在B的下面，余数是3、6，这个数排在C的下面，余数是4、5，这个数排在D的下面；分别用35、48、78、2022除以8，根据所得的余数即可确定排在的位置。 35÷8＝4……3，由此可知35应排在字母C的下面。 48÷8＝6，由此可知48应排在字母A的下面。 78÷8＝9……6，由此可知78应排在字母C的下面。 2022÷8＝252……6，由此可知200应排在字母C的下面。 【例9】填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）。 【答案】294 【解析】 观察可得，右上角的数＝左上角的数×2，左下角的数＝左上角的数×4，右下角的数＝右上角的数×（左下角的数－左上角的数）。据此先确定最后一个正方形左上角和左下角的数，再求出m的值。 左上角的数＝14÷2＝7 左下角的数＝7×4＝28 m＝14×（28－7）＝14×21＝294 【例10】将整数按如图所示的规律排列下去，若用（n，m）表示第n排第m个。比如（4，3）表示的数是9，则（7，2）表示的数是（ ）。 【答案】23 【解析】 根据排列规律可知从1开始，第n排排n个数，每排都是从左到右数由小到大，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数……根据图中所揭示的规律可知，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以第7排；应从左到右由小到大，从22开始数，第二个应是23，所以（7，2）表示的数是23。 【例11】用小棒按照如下方式摆图形。 摆一个八边形需要8根小棒，照这样摆下去，摆6个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形，需要（ ）根小棒。 【答案】7n＋1；43 【解析】 根据图示发现：摆1个八边形需要小棒8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋2×7）根；……多摆1个八边形，增加7根小棒，则摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）＝8＋7n－7＝（7n＋1）根。 当n＝6时，7n＋1＝7×6＋1＝42＋1＝43（根）,摆6个八边形需要43根小棒。 【例12】用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案。按照这样的规律摆下去，第10个图案需要（ ）枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第（ ）个，摆第n个图案需要（ ）枚棋子。 【答案】32；18 【解析】 第一个图案需要3×1＋2＝5（枚）棋子，第二个图案需要3×2＋2＝8（枚）棋子，第三个图案需要3×3＋2＝11（枚）棋子，据此类推第10个图案需要（3×10＋2）枚棋子，第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。将56枚棋子减去2，将差除以3，即可求出用56枚棋子摆的图案是第几个。 3×10＋2 ＝30＋2 ＝32（枚） （56－2）÷3 ＝54÷3 ＝18（个） 【例13】从如图中点的排列规律可以看出，第8个图共有（ ）个点，第n个图共有（ ）个点。 【答案】25；3n＋1 【解析】 观察可知，点的数量＝第几个图形就用几×3＋1。 8×3＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 第8个图共有25个点；即第n个图有（3n＋1）个点。 【例14】观察如图的变化规律，回答问题。 用同样长的小棒摆第20个图形需要（ ）根小棒；照这样摆下去，第24个图形形状是（ ）形。 【答案】41；平行四边 【解析】 摆一个三角形需3根小棒；摆2个三角形需（4＋1）根小棒；摆3个三角形需（6＋1）根小棒……摆n个三角形需（2n＋1）根小棒，用同样长的小棒摆第20个图形需小棒：2×20＋1＝40＋1＝41（根） 又知顺序数是偶数的图形是平行四边形，那么第24个图形是平行四边形。 1、根据前面4道算式的规律，把余下两道算式填写完整。 （1）2＝1×2 （2）2＋4＝2×3 （3）2＋4＋6＝3×4 （4）2＋4＋6＋8＝4×5 （5）2＋4＋6＋……20＝（ ） （6）2＋4＋6＋……＋n＝（ ） 2、一个从1开始的自然数表如图，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是（ ）。 3、如图是一个4×4的方格图，从图中可以看出小方格的个数还可以用算式“1＋2＋3＋4＋3＋2＋1”进行计算。按这样观察，7×7的方格图，小方格的个数可以用算式（ ）进行计算。 4、与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（ ）。 A．5＋3 B．52－32 C．52＋32 5、像下面这样摆下去，摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。 A．4n B．3n C．3n＋1 1、【答案】 （5）10×11； （6） 2、【答案】63 3、【答案】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 4、【答案】C 5、【答案】C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$