精品解析：重庆市第八中学校2024－2025学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆八中2024−2025学年度（上）半期考试初二年级 数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ） A. x轴的正半轴 B. x轴的负半轴 C. y轴的正半轴 D. y轴的负半轴 4. 如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适合普查的是（ ） A. 了解我国八年级学生的视力情况 B. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 C. 了解你们班同学周末时间是如何安排的 D. 调查某电视节目的收视率 6. 现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据题意列关于x，y的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为256；那么第2025次输出结果为（ ） A. 64 B. 16 C. 4 D. 1 9. 如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. （多选）对于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数值随的增大而增大 B. 当时，函数图象不经过第三象限 C. 若点在函数图象上，则 D. 若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是，则 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则________． 12. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数能被3整除的概率为________． 13. 在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是为________． 14. 如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为________． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 18. 在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当时，的取值为：________．（结果保留位小数，误差不超过） 19. 如图，过点的直线：与直线：交于点，其中． （1）求直线对应的表达式； （2）若点P在直线上运动，点Q在y轴上运动，求的最小值． 20. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ B卷（50分） 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 21. 已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 22. （多选）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，，（其中，，是互质的奇数）．当时，边长为5的直角三角形的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 40 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为________． 24. 如图，中，，以为斜边向外作，，于点，交于点，连接，平分．若，，则的长为______． 25. 已知点到直线的距离公式为，例如：点到直线的距离为，请根据该公式解决以下问题：①若点和点到直线的距离相等，则k的值为________；②在直线上，则的最小值是________． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26. 图1为重庆中央公园的平面图，已知点B（桂花山茶园）位于点A（阳光大草坪）的北偏东方向相距处，点C（桑梓园）位于点A（阳光大草坪）的正南方（如图2）．周末小倩与小玲相约去中央公园游玩，某时刻小倩刚好在点B（桂花山茶园）处，小玲刚好在点C（桑梓园）处．电话沟通后，她们决定在点A（阳光大草坪）处碰面．由于点A与点B之间是山坡，小倩需要先沿正西方向走至点E处，再沿正南方向走至点A；而点A与点C之间隔着镜湖，因此小玲从点C出发，需要先沿着北偏东方向行走至点D（丛樾园），再从点D沿北偏西方向行走至点A． （1）求点A与点C之间的直线距离；（结果保留根号） （2）若小倩与小玲同时出发且速度一致，请计算说明，谁更先到达点A．（参考数据：，） 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于A，B两点，点C是点A关于y轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，以为直角边，点O为直角顶点，构造等腰直角，点位于x轴的上方，点M是直线上一点，若，请直接写出点M的坐标． 28. 中，，点在直线上，连接，在的上方作，且，连接，为线段的垂直平分线，垂足为点，连接交于点． （1）如图，点为线段中点，平分，，求此时的度数； （2）如图，点在线段上，，试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若，点在直线上运动，，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024−2025学年度（上）半期考试初二年级 数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可，如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故选：C 2. 下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，一个图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； A、不是轴对称图形，不符合题意； A、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ） A. x轴的正半轴 B. x轴的负半轴 C. y轴的正半轴 D. y轴的负半轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据x轴上的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点在x轴的负半轴上． 故选B． 4. 如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 5. 下列调查中，适合普查的是（ ） A. 了解我国八年级学生的视力情况 B. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 C. 了解你们班同学周末时间是如何安排的 D. 调查某电视节目的收视率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】解：A． 了解我国八年级学生的视力情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，不符合题意； B． 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； C． 了解你们班同学周末时间是如何安排的，调查范围小，适合普查，符合题意； D． 调查某电视节目的收视率，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，不符合题意； 故选：C． 6. 现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据题意列关于x，y的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题等知识，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题．根据河道总长为360米和A、B两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设A工程小组整治河道x天，B工程小组整治河道y天，依题意可得： ， 故选：A． 7. 已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过的象限的求解即可． 【详解】解：根据题意，该一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，， ∴，， 故选：B． 8. 如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为256；那么第2025次输出结果为（ ） A. 64 B. 16 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查程序流程图与代数式计算、有理数加法、乘法运算法则等知识点，掌握有理数乘法运算法则成为解题的关键． 先计算出前8次的输出结果，找出规律，然后利用规律求解． 【详解】解：由题意知，第1次输入x的值为256时， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， …… 以此类推可知，从第3次输出结果开始，奇数次输出结果为4，偶数次输出结果为1， 因此第2025次输出的结果为4． 故选C． 9. 如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，先由平角的定义得到，再证明得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. （多选）对于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数值随的增大而增大 B. 当时，函数图象不经过第三象限 C. 若点在函数图象上，则 D. 若该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数可知，， 则函数值随的增大而减小，原选项符合题意； 、当时，则一次函数， 则一次函数经过第二、三、四象限，原选项符合题意； 、点在函数图象上，则， 则，故原选项不符合题意； 、由一次函数可知， 当时，，则与轴交点为， 当时，，则与轴交点为， ∵该函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积是， ∴，解得，原选项符合题意； 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 若，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体法成为解题的关键． 先将变形为，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：7． 12. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数能被3整除的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中能被3整除的有3，6共2种结果，根据概率公式计算可得． 【详解】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中能被3整除的有3，6共2种结果， ∴朝上的面的点数为奇数的概率是， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，则直线的解析式是为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可． 【详解】解：由直线向上平移后得到直线，故设直线的解析式是：， ∵直线经过点， ∴， ∴． ∴直线的解析式是． 故答案是：． 14. 如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，过点A作于点H，先根据，，，利用勾股定理求出，再根据，得到是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走________的路程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握整式的运算法则和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用完全平方公式和多项式乘以多项式展开，再进行合并即可； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ②得， ，③ 得，④ ③+④得解得， 将代入①得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 【答案】（1） 解：如图：直线即为所求． （2）①；②；③ASA；④；⑤ 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质推理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当时，的取值为：________．（结果保留位小数，误差不超过） 【答案】（1）； （2） 描点、连线： 当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据三角形的面积公式，分别计算点在上两种情况下关于的函数表达式即可； （）根据关于的函数表达式作出函数图象，并根据图象任写一条性质即可； （）根据图象，估计当时，的取值即可； 本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，掌握三角形的面积计算公式，根据函数关系式画函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，当时，点在上， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， 如图，当时，点在上， 过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，； 【小问2详解】 解：列表： 由图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或， 故答案为：或． 19. 如图，过点的直线：与直线：交于点，其中． （1）求直线对应的表达式； （2）若点P在直线上运动，点Q在y轴上运动，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，垂线段最短，面积法求三角形的高，是解题的关键． （1）代入求出a值，令求出，得，由得，把，代入即可求解； （2）连接，过点A作于点D，根据，得的最小值为长，求出，根据，得，即得． 【小问1详解】 解：∵点在直线：上， ∴． ∴． ∴． ∵时，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点B和点C在直线：上， ∴． 解得． ∴求直线对应的表达式为：． 【小问2详解】 解：连接，过点A作于点D， ∵， ∴当点Q在上，且点P与点D重合时，， 此时取得最小值． ∵，， ∴． 20. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【小问1详解】 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 【小问2详解】 解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． B卷（50分） 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 21. 已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得：． 故选：A． 22. （多选）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，，（其中，，是互质的奇数）．当时，边长为5的直角三角形的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 40 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了勾股数问题，平方根，熟练掌握该知识点并正确使用分类讨论的方法是解题的关键．首先当时，，，，然后根据直角三角形有一边长为5，分情况，列方程即可得到结论． 【详解】解：当时，，， 直角三角形有一边长为5 分情况如下： 情况1：当时，即，解得（不符合题意舍去）； 情况2：当时，即，再将它分别代入①③得，，此时该直角三角形周长为； 情况3：当时，即，解得，因为，所以，把分别代入①②得，，此时该直角三角形周长为； 综上所述，当时，边长为5的直角三角形的周长为12或30． 故选：AC． 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质，一次函数表达式交点问题，解题的关键是求出一次函数表达式． 如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点，然后求出所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后联立求解即可． 【详解】解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点 ∵，， ∴， 设所在直线的表达式为 ∴ ∴所在直线的表达式为 同理可得，所在直线的表达式为 根据对称可得，直线和的交点即为点P， 联立得， 解得 ∴点P的坐标为． 故答案为：． 24. 如图，中，，以为斜边向外作，，于点，交于点，连接，平分．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，由角平分线的性质证得，然后证明，，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案，解题的关键是灵活运用相关的定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 已知点到直线的距离公式为，例如：点到直线的距离为，请根据该公式解决以下问题：①若点和点到直线的距离相等，则k的值为________；②在直线上，则的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．①根据公式代入数据建立关于k的方程，求出k值即可；②利用配方法将转化为，利用点在直线的距离公式求出点到直线的距离，再代入代数式计算即可． 【详解】解：①根据点到直线的距离公式得：，， ∵点和点到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， ∴； 故答案为：； ② ， 点到直线的距离为：， ∵点到点的距离为：， 故 ． 故答案为：． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26. 图1为重庆中央公园的平面图，已知点B（桂花山茶园）位于点A（阳光大草坪）的北偏东方向相距处，点C（桑梓园）位于点A（阳光大草坪）的正南方（如图2）．周末小倩与小玲相约去中央公园游玩，某时刻小倩刚好在点B（桂花山茶园）处，小玲刚好在点C（桑梓园）处．电话沟通后，她们决定在点A（阳光大草坪）处碰面．由于点A与点B之间是山坡，小倩需要先沿正西方向走至点E处，再沿正南方向走至点A；而点A与点C之间隔着镜湖，因此小玲从点C出发，需要先沿着北偏东方向行走至点D（丛樾园），再从点D沿北偏西方向行走至点A． （1）求点A与点C之间的直线距离；（结果保留根号） （2）若小倩与小玲同时出发且速度一致，请计算说明，谁更先到达点A．（参考数据：，） 【答案】（1）点A与点C之间的距离为米 （2） 解：∵在中，，，， ∴， ∴，又， 则小倩的路程为， 小玲的路程为， ∵， ∴小玲先到达点A． 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）过点D作于点F，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得，，再利用等腰直角三角形的判定和性质求，则，进而求解即可； （2）利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得两人的路程，进行比较大小可得结论． 【小问1详解】 解：过点D作于点F， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 答：点A与点C之间的距离为米； 【小问2详解】 略 27. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与坐标轴交于A，B两点，点C是点A关于y轴的对称点，直线：与直线交于点，连接． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，以为直角边，点O为直角顶点，构造等腰直角，点位于x轴的上方，点M是直线上一点，若，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）求出，，，，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，直线交x轴于Q，求出，，直线解析式为，，可得，解出m的值可得答案； （3）过D作轴于K，过作轴于T，证明，可得，直线解析式为，当M在左侧时，可得直线解析式为，联立，解得；当M在右侧时，在延长线上取点H，使，连接并延长交直线于M，求出，得直线解析式为，联立，可解得． 【小问1详解】 解：在中，令得，令得， ∴，， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 设，直线交x轴于Q，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 由，可得直线解析式为， 令得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即|， ∴或， 解得或， ∴P的坐标为或； 【小问3详解】 解：过D作轴于K，过作轴于T，如图： ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由，得直线解析式为， 当M在左侧时，， ∴， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当M在右侧时，在延长线上取点H，使，连接并延长交直线于M，如图： 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴， 综上所述，M的坐标为，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形性质与判定，全等三角形性质与判定，勾股定理等知识点，解题的关键是注意分类讨论． 28. 中，，点在直线上，连接，在的上方作，且，连接，为线段的垂直平分线，垂足为点，连接交于点． （1）如图，点为线段中点，平分，，求此时的度数； （2）如图，点在线段上，，试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）若，点在直线上运动，，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2） 猜想:，理由如下： 如图，连接，过点作于点， 则， 设，，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（）设 ，则，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理可得： ，再由角平分线定义得 ，再根据，，即可求得答案； （）连接，过点作于点，设，，则，可证得和是等边三角形, 再证得， ，即可得出答案； （）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，利用直角三角形性质和勾股定理分别求得的值即可． 【小问1详解】 解: 如图， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，点为线段中点， ∴，， ∴，即， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得: ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图，过点作，交于点，连接， 则， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由（）知: ， ∴， ∵是等边三角形，为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作 于，连接， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $