专题04 全等三角形辅助线的四种做法-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题04 全等三角形辅助线的四种做法 倍长中线构造全等 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 2．（23-24八年级上·四川乐山·期末）（1）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，过点B作直线的平行线，交线段的延长线于点，可以判定，得出，这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是：____________， （2）【类比应用】如图2，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断的数量关系，并说明理由． （3）【拓展创新】如图3，在四边形中，与的延长线交于点F，E是的中点，是的平分线，试判断的数量关系，请直接写出你的结论． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 截长补短构造全等 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b满足．    (1)点A坐标为 ，点B坐标为 ，是 三角形． (2)如图1，过点A作射线l（射线l与边有交点），过点B作于点D，过点C作于点E，过点E作于点F交y轴于点G． ①求证：； ②求点G的坐标． (3)如图2，点P是x轴正半轴上一动点，的角平分线交y轴于点Q，点M为线段上一点，过点M作交y轴于点N；若，请探究线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 4．（22-23八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 一线三直角模型 1．（22-23八年级上·四川眉山·期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       2．（22-23八年级上·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）． (3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）四边形,,点在上,点在上,连接,    (1)如图1,求证:; (2)如图2,点在上,连接,，,,求证：; (3)如图3,在（2）的条件下,过点作的平行线交于点,,,求的值． 4．（23-24八年级上·四川自贡·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 角平分线构造全等 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 5．（22-23八年级上·四川南充·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．       (1)如图1，求的度数； (2)如图2，求证：； (3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形辅助线的四种做法 倍长中线构造全等 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 2．（23-24八年级上·四川乐山·期末）（1）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，过点B作直线的平行线，交线段的延长线于点，可以判定，得出，这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是：____________， （2）【类比应用】如图2，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断的数量关系，并说明理由． （3）【拓展创新】如图3，在四边形中，与的延长线交于点F，E是的中点，是的平分线，试判断的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1) (2) ,见解析 (3) 见解析 【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可． (2) 根据，证明，判定是等腰三角形证明即可． (3) 延长交的延长线于点G，仿照(2)的证明解答即可． 【详解】（1）∵边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． (2)延长交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∵ E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． (3)如图，延长交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵ E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 截长补短构造全等 1．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在上截取，连接，可证明，得，，由，，得，则，所以，即可证明； （3）在的延长线上取一点，使，连接，可证明，得，，所以，而，可推导出，则，所以． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）， 理由：如图②，在上截取，连接，    为平分，， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3）， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，    是的平分线，， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点，且a、b满足．    (1)点A坐标为 ，点B坐标为 ，是 三角形． (2)如图1，过点A作射线l（射线l与边有交点），过点B作于点D，过点C作于点E，过点E作于点F交y轴于点G． ①求证：； ②求点G的坐标． (3)如图2，点P是x轴正半轴上一动点，的角平分线交y轴于点Q，点M为线段上一点，过点M作交y轴于点N；若，请探究线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，，等腰直角 (2)①见解析；②点G的坐标为 (3)，见解析 【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得的值，即可解得点A、B的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题； （2）①由等角的余角相等，解得，结合（1）中结论，进而证明，即可解题； ②由可证，继而得到，设CF交y轴于点H，根据等角的余角相等，得到，继而证明解得AG、OG的长即可解题； （3）在上截取，连接，设，分别解得，，由角平分线的性质解得，，进而得到，即可证明，继而证明，即可解题． 【详解】（1）解： ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：，，等腰直角； （2）解：①， ， ∴． ② ， 设交y轴于点H，      又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴点． （3）解：．证明如下： 在上截取，连接，    设， ， ， ∴， 又∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ，∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，掌握相关知识是解题关键． 4．（22-23八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 一线三直角模型 1．（22-23八年级上·四川眉山·期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）由条件可证明，可得，可得； （2）由条件可知，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论； （3）过E作于M，的延长线于N．由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1，    ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）． 如图2，    证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中． ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长，过D作于M，的延长线于N，如图所示：    ∴， 由（1）和（2）的结论可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴I是的中点． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）． (3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)存在点P，使，理由见解析 (3)存在为定值，其定值为 【分析】（1）过点C作轴于点M，可证明，进而求得结果； （2）作的平分线交于H，先证明，从而，进而证明，进一步得出结论； （3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N,K，可得△ACN≌△ABK，进而得出结果． 【详解】（1）过点C作轴于点M． ∵是直角， ∴ ∵轴， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴C点的坐标为 （2）存在点P，使． 理由：作的平分线交PC于H． ∵，， ∴， ∵E，F关于y轴对称， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）存在为定值，其定值为． 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、K． ∵，， ∴ ∵，， ∴，∴ ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴存在为定值，其定值为． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标与线段长之间的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是利用等腰直角三角形构造全等三角形． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）四边形,,点在上,点在上,连接,    (1)如图1,求证:; (2)如图2,点在上,连接,，,,求证：; (3)如图3,在（2）的条件下,过点作的平行线交于点,,,求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质,三角形内角关系,正确做出辅助线是解出本题的关键． （1）由,得,利用三角形各内角关系即可得出结论; （2）利用三角形内角关系证明,即可得; （3）延长于点,使得,连接,可证明,利用全等三角形性质及条件再证明,继而得出答案． 【详解】（1）解:证明:∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解:证明:∵,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴． （3）解:如图,延长于点,使得,连接,    ∴在和中,, ∴, ∴, ∵, ∴, 作于点,交的延长线于点, 在和中,, ∴, ∴,, ∵,, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵,,, ∴, ∵, ∴, 在和中,, ∴, ∴, ∴的值为． 4．（23-24八年级上·四川自贡·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【答案】(1)9 (2)；理由见解析 (3)10 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．        (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． (3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ； ②， 证明：如图，作交的延长线于， ， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： ， 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？ 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算； （1）求出，即可利用证明； （2）作交的延长线于点，求出，证明，可得，然后再证即可； （3）分情况讨论：当点在的延长线上时，作交的延长线于点，求出，证明，可得，，然后求出，再证，可得，设，表示出和，然后根据三角形的面积公式列式即可；当点在线段上时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，，， ， ， 在和中，， ； （2）； 理由：如图2，作交的延长线于点， ，，， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ； （3）解：如图3，当点在的延长线上时，作交的延长线于点，则， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，当点在线段上时，设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 角平分线构造全等 1．（23-24七年级下·四川成都·期末）探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①；②，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． （1）根据是的平分线，得出，根据“”即可证明； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N，根据是的平分线得出，再结合，根据“”即可证明； （3）①如图，根据，．得出，再根据、分别是和的平分线，得出，．根据三角形内角和定理即可求出，即可求解； ②如图，在上截取，连接．证明，得出，，即可得．，再证明，即可得出，． 【详解】解：（1）∵是的平分线， ， 在和中 ， ∴； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N， 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：①如图， ∵，． ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，． ∴， ∴． ②．理由如下：（答案不唯一） 如图，在上截取，连接． ∵是的平分线， ∴， 在和中 ∵，∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中，∵，∴， ∴． ∴． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； 【详解】（1）证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .    平分. （2）过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，    （3）， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 5．（22-23八年级上·四川南充·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．        (1)如图1，求的度数； (2)如图2，求证：； (3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果； （2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴． （2）解：作平分交于点，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， 由（2）得，∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， 作于点，于点，于点， ∵，∴， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$