5.3垂径定理（教学课件）数学鲁教版五四制九年级下册

鲁教版九年级下册数学 第五章 圆 3 垂径定理 1 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 2 情境&导入 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 3 垂径定理及其推论 1— 探索&交流 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 4 探索&交流 ●O A B C D M└ （2）① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 条件 ③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 结论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 解：（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线 5 典例精析 例1 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM，AC =BC，AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O C D M A B 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC. ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ 从而∠AOD=∠BOD. 6 探索&交流 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 推导格式： 注意：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体. 典例精析 例2.如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 ，DE=4，则BC 的长是( ) A.1 B. C.2 D.4 C 8 探索&交流 是，对称轴是直径CD所在的直线 如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平 分AB的直径CD， 交AB于点M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. O C D M A B CD⊥AB，AC=BC，AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 探索&交流 吹经定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. · O A B C D 注意： 圆的两条直径是互相平分的. 探索&交流 推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，即：如图，在⊙O中， (2)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中， 11 典例精析 例3.如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)， 点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径. 12 解：连接OB，如图3-3-7. ∵点C是AB的中点， ∴ OC ⊥ AB，AD=BD= AB=60 m. 设OB=OC=r m， 在Rt △ OBD 中，OB2=OD2+BD2, ∴ r2=(r－20)2+602， ∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m. ︵ 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 2.弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 探索&交流 随堂练习 练习&巩固 1.已知⊙O中，弦AB=10cm，圆心到AB的距离为12cm，则此圆的半径为 . 26cm 15 练习&巩固 2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. · O A B E 16 练习&巩固 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 17 课堂总结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线：连半径;作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 18 $$