专题04 整式的乘法与因式分解（5大基础题+6大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（贵州专用）

专题05 整式的乘法与因式分解 同底数幂的运算、幂的乘方及积的乘方 1．（2024春•金沙县期末）计算：（4x2）3＝　 　． 2．（2024春•贵阳期末）计算（a3）2的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1 3．（2023秋•黔东南州期末）下列运算正确的是（　　） A．a2+2a＝3a3 B．a10÷a5＝a2 C．（﹣2a3）2＝4a6 D．a2•a3＝a6 4．（2024春•金沙县校级期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（﹣3a2b）3＝﹣27a6b3 C．a2+a4＝a6 D．a12÷a3＝a4 5．（2023秋•绥阳县期末）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2a）2＝4a2 B．x3•x3＝x9 C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3•m4＝m9 6．（2023秋•遵义期末）下列计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．（a2）3＝a5 C．a2•a3＝a5 D．a6÷a2＝a3 整式的乘除法运算 1．（2023秋•黔南州期末）式子（﹣ab）4•a2化简后的结果是（　　） A．a2b4 B．a6b4 C．a8b4 D．a16b4 2．（2023秋•绥阳县期末）计算：（2a）3•（﹣3a2）＝　 　． 3．（2023秋•绥阳县期末）计算：6a2b3÷3ab＝　 ． 4．（2023秋•播州区期末）计算a（a﹣1）的结果为（　　） A．a2﹣a B．a2﹣2 C．a2﹣1 D．a2﹣3 5．（2024春•贵阳期末）计算m（m+1）的结果是 　 　． 0次幂的计算 1．（2023秋•关岭县期末）计算：（﹣9）0＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．9 2．（2021春•七星关区期末）计算：（π﹣3.14）0＝　 　． 3．（2020秋•遵义期末）计算：（2020﹣2021）0＝　 　． 4．（2020秋•沿河县期末）若（m+1）0＝1，则实数m应满足的条件　 　． 乘法公式 1．（2024春•金沙县期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（2﹣a）（﹣a﹣2） B．（3x+2y）（2y﹣3x） C．（4m﹣2n）（4m+2n） D．（x﹣3）（3﹣x） 2．（2020春•织金县期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 3．（2023秋•毕节市期末）下列能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（x﹣1）（x+1） C．（2x+y）（2y﹣x） D．（x﹣2）（x+1） 因式分解的意义及因式分解 1．（2024春•六盘水期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 B．m2+2m+1＝（m+1）2 C．m2+2m﹣1＝m（m+2）﹣1 D．m（m﹣2）＝m2﹣2m 2．（2023秋•安顺期末）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（　　） A．（3+m）2＝9+6m+m2 B．8y2﹣12y＝2y（4y﹣6） C．bx2﹣b＝b（x+1）（x﹣1） D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 3．（2023秋•关岭县期末）把4xy2+2xy分解因式，应提取的公因式是（　　） A．2x B．xy C．2xy D．xy2 4．（2024春•金沙县期末）因式分解：x2y+2xy＝ 　． 5．（2024春•织金县期末）把a2﹣4分解因式，结果是（　　） A．（a﹣8）（a+8） B．（a﹣4）（a+4） C．（a﹣2）（a+2） D．（a﹣2）2 6．（2024春•六盘水期末）因式分解：x3﹣xy2＝　 　． 7．（2024春•金沙县校级期末）因式分解：﹣x2﹣2x﹣1＝　 　． 8．（2023秋•绥阳县期末）分解因式： （1）x2﹣25； （2）﹣4ab2+4a2b+b3． 9．（2024春•南明区校级期末）已知，xy＝3，求2x4y3﹣x3y4的值． 同底数幂乘除的应用 1．（2023秋•播州区期末）若2n×2m＝26，则m+n＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024春•织金县期末）若3n＝5，3m＝4，则3m+n＝　 　． 3．（2023秋•六盘水期末）若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为　 　． 整式乘法中的不含项问题 1．（2023秋•绥阳县期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　） A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p 2．（2022秋•安顺期末）如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 3．（2023春•威宁县期末）若（x2+ax﹣2）（x﹣1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 4．（2024春•织金县期末）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣12 D．4 整式乘法的应用 1．（2024春•贵阳期末）一种长方体零件体积为12a3b3，底面积为4a2b2，则零件的高为（　　） A．4a2b2 B．4ab C．3a2b2 D．3ab 2．（2024春•金沙县校级期末）如图，某新建高铁站广场前有一块长（4a+3b）m，宽（3a+4b）m的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为bm的人行通道． （1）求喷泉池的占地面积（用含a、b的代数式表示）． （2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？ 3．（2023秋•关岭县期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长（9a﹣1）m、宽（3b﹣5）m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长（3a+1）m、宽bm的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积； （2）当a＝9，b＝15时，求安装健身器材的区域面积． 4．（2023秋•安顺期末）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植（3a+2b）株火龙果幼苗，种植了（3a﹣b）排，小长方形实验田每排种植（a+b）株火龙果幼苗，种植了（a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ （2）当a＝4，b＝3时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ 利用乘法公式的特点及其变形求值 1．（2023秋•黔南州期末）已知：x2﹣y2＝2023，且x﹣y＝2023，则x+y＝　 　． 2．（2023春•织金县期末）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 　 　． 3．（2023春•七星关区期末）已知x+y＝5且xy＝6，则（x﹣y）2的值是（　　） A．25 B．12 C．5 D．1 4．（2021秋•仁怀市期末）已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（　　） A．5 B．9 C．7 D．6 5．（2022秋•绥阳县期末）已知（x﹣y）2＝4，则3x2﹣6xy+3y2﹣10的值是 　 　． 6．（2023秋•黔南州期末）若x2﹣nx+36是关于x的完全平方式，则n的值为（　　） A．6 B．12 C．±12 D．36 7．（2023秋•黔西南州期末）若4y2+my+9是完全平方式，则m的值是（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣12或11 D．﹣12或12 8．（2023秋•黔东南州期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1 乘法公式的几何背景的应用 1．（2024春•贵阳期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 2．（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　 　． 3．（2023秋•黔西南州期末）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形． （1）对于图2整体大正方形的面积，可以用两种方法表示： 方法一：按照正方形面积公式表示为 　 　； 方法二：按照四个小长方形面积+阴影正方形面积表示为 　 　，则根据面积相等，可得等式 　 ； （2）若x+y＝4，xy＝3，求（x﹣y）2． 3．（2023春•七星关区期末）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是　 （写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是　 　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式　 　． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： （4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）； （Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）． 4．（2024春•金沙县校级期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如：由图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）直接应用；若xy＝5，x+y＝7，直接写出x2+y2的值为 　 　． （2）类比应用：若（x﹣20）（x﹣24）＝6，求（x﹣20）2+（x﹣24）2的值． （3）知识迁移：如图2，一农家乐准备在原有长方形用地ABCD上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以AD，CD为边分别向外扩建正方形ADGH，正方形DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园．若该功能性花园的面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积． 特殊方法分解因式及其应用 1．（2024春•金沙县校级期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我贵州 B．我爱彩州 C．爱贵州 D．我爱多 2．（2023秋•播州区期末）已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 3．（2024春•金沙县校级期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35＝　 　； （2）若M＝a2﹣3a+1，则M的最小值为 　 　； （3）已知a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值． 4．（2023秋•黔西南州期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m， 则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　； （2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1． 5．（2023秋•黔东南州期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：分解因式： x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3） 求代数式x2﹣2x﹣3的最小值 x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4 （x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式有x2﹣2x﹣3最小值﹣4． 结合以上材料解决下面的问题： （1）分解因式x2+4x﹣5； （2）求代数式x2+4x﹣5的最小值； （3）当a、b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值？最小值是多少？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式的乘法与因式分解 同底数幂的运算、幂的乘方及积的乘方 1．（2024春•金沙县期末）计算：（4x2）3＝　64x6　． 【分析】幂的乘方，底数不变指数相乘． 【解答】解：（4x2）3＝64x6， 故答案为：64x6． 2．（2024春•贵阳期末）计算（a3）2的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a8 D．a﹣1 【分析】根据幂的乘方（am）n＝amn，即可求解． 【解答】解：原式＝a3×2＝a6． 故选：B． 3．（2023秋•黔东南州期末）下列运算正确的是（　　） A．a2+2a＝3a3 B．a10÷a5＝a2 C．（﹣2a3）2＝4a6 D．a2•a3＝a6 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2与2a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、a10÷a5＝a5，故此选项不符合题意； C、（﹣2a3）2＝4a6，故此选项符合题意； D、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024春•金沙县校级期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝2a3 B．（﹣3a2b）3＝﹣27a6b3 C．a2+a4＝a6 D．a12÷a3＝a4 【分析】根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、合并同类项法则逐项判断即可求解． 【解答】解：A、a3•a3＝a6，该选项错误，不合题意； B、（﹣3a2b）3＝﹣27a6b3，该选项正确，符合题意； C、a2与a4不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； D、a12÷a3＝a9，该选项错误，不合题意； 故选：B． 5．（2023秋•绥阳县期末）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2a）2＝4a2 B．x3•x3＝x9 C．（﹣b）7÷b5＝b2 D．（m2）3•m4＝m9 【分析】利用同底数幂的除法和同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方运算计算即可． 【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，A选项正确； x3•x3＝x6，B选项错误； （﹣b）7÷b5＝﹣b2，C选项错误； （m2）3•m4＝m10，D选项错误， 故选：A． 6．（2023秋•遵义期末）下列计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．（a2）3＝a5 C．a2•a3＝a5 D．a6÷a2＝a3 【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、（a2）3＝a6，故B不符合题意； C、a2•a3＝a5，故C符合题意； D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意； 故选：C． 整式的乘除法运算 1．（2023秋•黔南州期末）式子（﹣ab）4•a2化简后的结果是（　　） A．a2b4 B．a6b4 C．a8b4 D．a16b4 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝a4b4•a2 ＝（a4•a2）•b4 ＝a6b4， 故选：B． 2．（2023秋•绥阳县期末）计算：（2a）3•（﹣3a2）＝　﹣24a5　． 【分析】原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝8a3•（﹣3a2） ＝﹣24a5． 故答案为：﹣24a5． 3．（2023秋•绥阳县期末）计算：6a2b3÷3ab＝　2ab2　． 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：6a2b3÷3ab＝2ab2， 故答案为：2ab2． 4．（2023秋•播州区期末）计算a（a﹣1）的结果为（　　） A．a2﹣a B．a2﹣2 C．a2﹣1 D．a2﹣3 【分析】根据单项式乘多项式的计算方法，即利用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：a（a﹣1）＝a2﹣a， 故选：A． 5．（2024春•贵阳期末）计算m（m+1）的结果是 　m2+m　． 【分析】根据单项式乘多项式法则：让单项式与多项式的每一项相乘，再把乘的积相加即可． 【解答】解：m（m+1） ＝m•m+m•1 ＝m2+m， 故答案为：m2+m． 0次幂的计算 1．（2023秋•关岭县期末）计算：（﹣9）0＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．9 【分析】根据a0＝1（a≠0）进行计算，即可解答． 【解答】解：（﹣9）0＝1， 故选：B． 2．（2021春•七星关区期末）计算：（π﹣3.14）0＝　1　． 【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答． 【解答】解：（π﹣3.14）0＝1，故答案为1． 3．（2020秋•遵义期末）计算：（2020﹣2021）0＝　1　． 【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案． 【解答】解：（2020﹣2021）0＝1． 故答案为：1． 4．（2020秋•沿河县期末）若（m+1）0＝1，则实数m应满足的条件　m≠﹣1　． 【分析】根据非零数的零指数幂求解可得． 【解答】解：若（m+1）0＝1有意义， 则m+1≠0， 解得：m≠﹣1， 故答案为：m≠﹣1． 乘法公式 1．（2024春•金沙县期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（2﹣a）（﹣a﹣2） B．（3x+2y）（2y﹣3x） C．（4m﹣2n）（4m+2n） D．（x﹣3）（3﹣x） 【分析】根据两数之和与两数之差的乘积即为能够运用平方差公式，进行逐一分析，即可作答． 【解答】解：A、（2﹣a）（﹣a﹣2）＝﹣（2﹣a）（2+a）＝﹣（4﹣a2），故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的； B、（3x+2y）（2y﹣3x）＝（2y+3x）（2y﹣3x）＝4y2﹣9x2，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的； C、（4m﹣2n）（4m+2n）＝16m2﹣4n2，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的； D、（x﹣3）（3﹣x）＝﹣（3﹣x）（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，运用完全平方公式，不能运用平方差公式运算，该选项是符合题意的； 故选：D． 2．（2020春•织金县期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答． 【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 3．（2023秋•毕节市期末）下列能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（x﹣1）（x+1） C．（2x+y）（2y﹣x） D．（x﹣2）（x+1） 【分析】根据平方差公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，故本选项错误； B、（x﹣1）（x+1）＝（x2﹣1），故本选项正确； C、（2x+y）（2y﹣x）＝﹣（2x+y）（x﹣2y），故本选项错误； D、（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，故本选项错误． 故选：B． 因式分解的意义及因式分解 1．（2024春•六盘水期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 B．m2+2m+1＝（m+1）2 C．m2+2m﹣1＝m（m+2）﹣1 D．m（m﹣2）＝m2﹣2m 【分析】直接利用因式分解的定义：将一个多项式分解为几个整式的积的形式分析得出答案． 【解答】解：A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．m2+2m+1＝（m+1）2，不是因式分解，是因式分解，符合题意； C．m2+2m﹣1＝m（m+2）﹣1，右边是不乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D．m（m﹣2）＝m2﹣2m，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 2．（2023秋•安顺期末）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（　　） A．（3+m）2＝9+6m+m2 B．8y2﹣12y＝2y（4y﹣6） C．bx2﹣b＝b（x+1）（x﹣1） D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1 【分析】根据因式分解的定义和方法逐项进行判断即可． 【解答】解：A．（3+m）2＝9+6m+m2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解，因此选项A不符合题意； B.8y2﹣12y＝4y（2y﹣3），从左到右虽是因式分解，但没有分解到不能再分解为止，因此选项B不符合题意； C．bx2﹣b＝b（x2﹣1）＝b（x+1）（x﹣1），因此选项C符合题意； D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1，不符合因式分解的定义，因此选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2023秋•关岭县期末）把4xy2+2xy分解因式，应提取的公因式是（　　） A．2x B．xy C．2xy D．xy2 【分析】公因式的确定：系数取最大公因数，相同字母取最低次幂． 【解答】解：把4xy2+2xy分解因式，应提取的公因式是2xy． 故选：C． 4．（2024春•金沙县期末）因式分解：x2y+2xy＝　xy（x+2）　． 【分析】直接提取公因式xy即可． 【解答】解：原式＝xy（x+2）， 故答案为：xy（x+2）． 5．（2024春•织金县期末）把a2﹣4分解因式，结果是（　　） A．（a﹣8）（a+8） B．（a﹣4）（a+4） C．（a﹣2）（a+2） D．（a﹣2）2 【分析】利用平方差公式分解得结论． 【解答】解：a2﹣4 ＝（a+2）（a﹣2）． 故选：C． 6．（2024春•六盘水期末）因式分解：x3﹣xy2＝　x（x﹣y）（x+y）　． 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：x3﹣xy2 ＝x（x2﹣y2） ＝x（x﹣y）（x+y）． 故答案为：x（x﹣y）（x+y）． 7．（2024春•金沙县校级期末）因式分解：﹣x2﹣2x﹣1＝　﹣（x+1）2　． 【分析】利用公式法分解因式即可． 【解答】解：原式＝﹣（x2+2x+1）＝﹣（x+1）2． 故答案为：﹣（x+1）2． 8．（2023秋•绥阳县期末）分解因式： （1）x2﹣25； （2）﹣4ab2+4a2b+b3． 【分析】（1）直接利用平方差公式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式即可． 【解答】解：（1）原式＝（x+5）（x﹣5）； （2）原式＝b（﹣4ab+4a2+b2）＝b（2a﹣b）2． 9．（2024春•南明区校级期末）已知，xy＝3，求2x4y3﹣x3y4的值． 【分析】原式提取公因式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵2x﹣y＝，xy＝3， ∴原式＝（xy）3（2x﹣y）＝27×＝9． 同底数幂乘除的应用 1．（2023秋•播州区期末）若2n×2m＝26，则m+n＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵2n×2m＝2n+m＝26， ∴m+n＝6． 故选：D． 2．（2024春•织金县期末）若3n＝5，3m＝4，则3m+n＝　20　． 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：3m+n＝3m•3n＝4×5＝20． 故答案为：20． 3．（2023秋•六盘水期末）若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为　　． 【分析】根据3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y即可代入求解． 【解答】解：3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y＝． 故答案为：． 整式乘法中的不含项问题 1．（2023秋•绥阳县期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（　　） A．p＝3q B．p+3q＝0 C．q+3p＝0 D．q＝3p 【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可． 【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q， ∵结果不含x的一次项， ∴q+3p＝0． 故选：C． 2．（2022秋•安顺期末）如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项求出a的值即可． 【解答】解：原式＝x2+（a+3）x+3a， 由结果不含x的一次项，得到a+3＝0， 解得：a＝﹣3， 故选：B． 3．（2023春•威宁县期末）若（x2+ax﹣2）（x﹣1）的展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【分析】先利用多项式乘以多项式，再根据题意列方程求解． 【解答】解：（x2+ax﹣2）（x﹣1） ＝x3﹣x2+ax2﹣ax﹣2x+2 ＝x3+（a﹣1）x2﹣（a+2）x+2， 由题意得：﹣（a+2）＝0， 解得：a＝﹣2， 故选：B． 4．（2024春•织金县期末）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣12 D．4 【分析】先分解因式，再将已知的a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，两式相加得：a﹣c＝﹣1，整体代入即可． 【解答】解：a2﹣ac﹣b（a﹣c） ＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c） ＝（a﹣c）（a﹣b）， ∵a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4， ∴a﹣c＝﹣1， 当a﹣b＝3，a﹣c＝﹣1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3， 故选：A． 整式乘法的应用 1．（2024春•贵阳期末）一种长方体零件体积为12a3b3，底面积为4a2b2，则零件的高为（　　） A．4a2b2 B．4ab C．3a2b2 D．3ab 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，列出算式，再利用单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可． 【解答】解：由题意得：12a3b3÷4a2b2 ＝（12÷4）•（a3÷a2）•（b3÷b2） ＝3ab， ∴零件的高是3ab， 故选：D． 2．（2024春•金沙县校级期末）如图，某新建高铁站广场前有一块长（4a+3b）m，宽（3a+4b）m的长方形空地，现计划在空地中间留一个长方形喷泉池（图中阴影部分），喷泉池四周是宽度均为bm的人行通道． （1）求喷泉池的占地面积（用含a、b的代数式表示）． （2）喷泉池建成后，需给人行通道铺上地砖以方便旅客通行，若每块地砖的面积是，则刚好铺满且不留缝隙时，需要多少块这样的地砖？ 【分析】根据题意列出算式，并运用多项式乘多项式和多项式除以单项式的计算法则进行逐一计算． 【解答】解：（1）由题意得， （4a+3b﹣2b）（3a+4b﹣2b） ＝（4a+b）（3a+2b） ＝12a2+11ab+2b2， ∴喷泉池的占地面积为（12a2+11ab+2b2）m2； （2）由题意得， ＝ ＝ ＝ ＝182a+130b（块）， 答：需要（182a+130b）块这样的地砖． 3．（2023秋•关岭县期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长（9a﹣1）m、宽（3b﹣5）m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长（3a+1）m、宽bm的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积； （2）当a＝9，b＝15时，求安装健身器材的区域面积． 【分析】（1）根据安装健身器材的区域面积＝长为（9a﹣1）m、宽为（3b﹣5）m的长方形场地的面积﹣建篮球场的长方形场地的面积，列出算式，进行化简即可； （2）把a＝9，b＝15代入（1）中所求化简后的式子，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意得： （9a﹣1）（3b﹣5）﹣b（3a+1） ＝27ab﹣45a﹣3b+5﹣3ab﹣b ＝27ab﹣3ab﹣45a﹣3b﹣b+5 ＝（24ab﹣45a﹣4b+5）m2， 答：安装健身器材的区域面积为（24ab﹣45a﹣4b+5）m2； （2）当a＝9，b＝15时， 安装健身器材的区域面积 ＝24ab﹣45a﹣4b+5 ＝24×9×15﹣45×9﹣4×15+5 ＝3240﹣405﹣60+5 ＝2780， 答：安装健身器材的区域面积为2780m2． 4．（2023秋•安顺期末）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植（3a+2b）株火龙果幼苗，种植了（3a﹣b）排，小长方形实验田每排种植（a+b）株火龙果幼苗，种植了（a﹣b）排，其中a＞b＞0． （1）大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ （2）当a＝4，b＝3时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ 【分析】（1）根据题意列出（3a+2b）（3a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b），然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）把a＝4，b＝3代入（1）中的结果求值即可． 【解答】解：（1）由题意得， （3a+2b）（3a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b） ＝（9a2﹣3ab+6ab﹣2b2）﹣（a2﹣b2） ＝9a2+3ab﹣2b2﹣a2+b2 ＝8a2+3ab﹣b2， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植（8a2+3ab﹣b2）株火龙果幼苗； （2）当a＝4，b＝3时， 8a2+3ab﹣b2 ＝8×42+3×4×3﹣32 ＝8×16+36﹣9 ＝128+36﹣9 ＝155， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗． 利用乘法公式的特点及其变形求值 1．（2023秋•黔南州期末）已知：x2﹣y2＝2023，且x﹣y＝2023，则x+y＝　1　． 【分析】根据平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2023，x﹣y＝2023， ∴x+y＝1． 故答案为：1． 2．（2023春•织金县期末）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 　8　． 【分析】根据平方差公式将a2﹣b2转化为（a+b）（a﹣b），再代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ＝4×2 ＝8， 故答案为：8． 3．（2023春•七星关区期末）已知x+y＝5且xy＝6，则（x﹣y）2的值是（　　） A．25 B．12 C．5 D．1 【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【解答】解：∵x+y＝5，xy＝6， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×6＝1， 故选：D． 4．（2021秋•仁怀市期末）已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（　　） A．5 B．9 C．7 D．6 【分析】根据完全平方公式得出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，再代入求出即可． 【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×2＝5， 故选：A． 5．（2022秋•绥阳县期末）已知（x﹣y）2＝4，则3x2﹣6xy+3y2﹣10的值是 　2　． 【分析】将代数式化简得3（x﹣y）2﹣10，然后将已知式子的值代入求解即可． 【解答】解：3x2﹣6xy+3y2﹣10 ＝3（x2﹣2xy+y2）﹣10 ＝3（x﹣y）2﹣10， 当（x﹣y）2＝4时， 原式＝3×4﹣10 ＝12﹣10 ＝2． 故答案为：2． 6．（2023秋•黔南州期末）若x2﹣nx+36是关于x的完全平方式，则n的值为（　　） A．6 B．12 C．±12 D．36 【分析】根据x2﹣nx+36是关于x的完全平方式得出﹣nx＝±2•x•6，再求出n即可． 【解答】解：∵x2﹣nx+36是关于x的完全平方式， ∴﹣nx＝±2•x•6， ∴n＝±12． 故选：C． 7．（2023秋•黔西南州期末）若4y2+my+9是完全平方式，则m的值是（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣12或11 D．﹣12或12 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：4y2+my+9＝（2y）2+my+32， ∴my＝±2×2y×3， ∴m＝±12． 故选：D． 8．（2023秋•黔东南州期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1 【分析】利用完全平方公式得出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：∵x2+8x+16或x2﹣8x+16是完全平方式，x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式， ∴2（m﹣3）＝8或2（m﹣3）＝﹣8， ∴m＝7或﹣1． 故选：D． 乘法公式的几何背景的应用 1．（2024春•贵阳期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2， 矩形的面积＝（a+b）（a﹣b）， 故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：B． 2．（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　20　． 【分析】分析图形可得，四边形ABCD的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案． 【解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积 ＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b） ＝（a2+b2﹣ab） ＝（a2+b2+2ab﹣3ab） ＝[（a+b）2﹣3ab]； 代入a+b＝10，ab＝20，可得： 四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20． 故答案为：20． 3．（2023秋•黔西南州期末）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形． （1）对于图2整体大正方形的面积，可以用两种方法表示： 方法一：按照正方形面积公式表示为 　（x+y）2　； 方法二：按照四个小长方形面积+阴影正方形面积表示为 　4xy+（x﹣y）2　，则根据面积相等，可得等式 　（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2　； （2）若x+y＝4，xy＝3，求（x﹣y）2． 【分析】（1）根据图形，利用不同的方法表示出面积即可； （2）根据（1）所得公式计算即可． 【解答】解：（1）对于图2整体大正方形的面积，可以用两种方法表示： 方法一：按照正方形面积公式表示为（x+y）2； 方法二：按照四个小长方形面积+阴影正方形面积表示为4xy+（x﹣y）2， 则根据面积相等，可得等式（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2， 故答案为：（x+y）2，4xy+（x﹣y）2，（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2； （2）由（1）可知（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∵x+y＝4，xy＝3， ∴（x﹣y）2＝42﹣4×3＝4． 3．（2023春•七星关区期末）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： （4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）； （Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）． 【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2； （2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）可表示面积； （3）由（1）（2）所表示的面积相等，可得等式； （4）应用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2； 故答案为：a2﹣b2； （2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b）； 故答案为：（a+b）（a﹣b）； （3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c] ＝（a+b）2﹣（2c）2 ＝a2+2ab+b2﹣4c2； （Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c） ＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）] ＝b2﹣（2a﹣3c）2 ＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2． 4．（2024春•金沙县校级期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如：由图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）直接应用；若xy＝5，x+y＝7，直接写出x2+y2的值为 　39　． （2）类比应用：若（x﹣20）（x﹣24）＝6，求（x﹣20）2+（x﹣24）2的值． （3）知识迁移：如图2，一农家乐准备在原有长方形用地ABCD上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以AD，CD为边分别向外扩建正方形ADGH，正方形DCEF的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园．若该功能性花园的面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积． 【分析】（1）根据x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×5，计算求解即可； （2）由（x﹣20）（x﹣24）＝6，可得（x﹣20）（24﹣x）＝﹣6，根据（x﹣20）2+（x﹣24）2＝[（x﹣20）+（24﹣x）]2﹣2（x﹣20）（24﹣x），代值求解即可； （3）设CD＝x m，AD＝ym，则2（x+y）＝120，可求x+y＝60．由题意，得x2+y2＝2000，根据2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），计算求解，进而可得长方形用地ABCD的面积． 【解答】解：（1）由题意知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×5＝39， 故答案为：39； （2）∵（x﹣20）（x﹣24）＝6， ∴（x﹣20）（24﹣x）＝﹣6， ∴（x﹣20）2+（x﹣24）2 ＝（x﹣20）2+（24﹣x）2 ＝[（x﹣20）+（24﹣x）]2﹣2（x﹣20）（24﹣x） ＝42﹣2×（﹣6） ＝28， ∴（x﹣20）2+（x﹣24）2的值为28． （3）设CD＝x m，AD＝ym，则2（x+y）＝120， ∴x+y＝60． 由题意，得x2+y2＝2000． ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝602﹣2000＝1600， ∴xy＝800， ∴原有长方形用地ABCD的面积为800m2． 特殊方法分解因式及其应用 1．（2024春•金沙县校级期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我贵州 B．我爱彩州 C．爱贵州 D．我爱多 【分析】先把多项式提取公因式x2﹣1，再利用平方差公式和提取公因式3继续分解因式，最后根据已知条件，求出答案即可． 【解答】解：3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1） ＝（x2﹣1）（3a﹣3b） ＝3（a﹣b）（x+1）（x﹣1）， ∵x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵， ∴结果呈现的密码信息可能是：爱我贵州， 故选：A． 2．（2023秋•播州区期末）已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】由n2﹣n+1＝0，可得n2﹣n＝﹣1，把所给代数式整理成4n3﹣4n2﹣n2+5n+11，把前两项提取4n，得到含n2﹣n的式子，把n2﹣n＝﹣1整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可． 【解答】解：4n3﹣5n2+5n+11 ＝4n3﹣4n2﹣n2+5n+11 ＝4n（n2﹣n）﹣n2+5n+11 ＝﹣4n﹣n2+5n+11 ＝n﹣n2+11 ＝﹣（n2﹣n）+11 ＝1+11 ＝12． 故选：A． 3．（2024春•金沙县校级期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：a2+6a+8． 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35＝　（a﹣7）（a﹣5）　； （2）若M＝a2﹣3a+1，则M的最小值为 　﹣　； （3）已知a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）原式常数项35化为36﹣1，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）M配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可． 【解答】解：（1）a2﹣12a+35 ＝a2﹣12a+36﹣1 ＝（a﹣6）2﹣1 ＝（a﹣7）（a﹣5）， 故答案为：（a﹣7）（a﹣5）； （2）M＝a2﹣3a+1 M＝（a2﹣3a+）﹣ M＝， 当a﹣，即a＝时，M取最小值，最小值为﹣， 故答案为：﹣； （3）∵a2+2b2+c2﹣2ab+4b﹣6c+13＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， 即 （a﹣b）2+（b+2）2+（c﹣3）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0，（c﹣3）2≥0 ∴a﹣b＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，解得 a＝b＝﹣2，c＝3， ∴a+b+c＝﹣2﹣2+3＝﹣1． 4．（2023秋•黔西南州期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m， 则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（x﹣y﹣1）2　； （2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1． 【分析】（1）把原式看作关于（x﹣y）的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）把原式看作关于（x﹣2）的二次三项式，然后利用完全平方公式分解因式． 【解答】解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝m， 则原式＝1﹣2m+m2＝（m﹣1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x﹣y﹣1）2； 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）将“x﹣2”看成整体，令x﹣2＝m， 则原式＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2． 再将x﹣2＝m代入，得原式＝[3（x﹣2）﹣1]2＝（3x﹣7）2． 5．（2023秋•黔东南州期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：分解因式： x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3） 求代数式x2﹣2x﹣3的最小值 x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4 （x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式有x2﹣2x﹣3最小值﹣4． 结合以上材料解决下面的问题： （1）分解因式x2+4x﹣5； （2）求代数式x2+4x﹣5的最小值； （3）当a、b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值？最小值是多少？ 【分析】（1）把所给代数式的前两项不动，再加上一项，整理成完全平方式，然后再整理成和原来式子相等的式子，进而利用平方差公式展开，化简即可； （2）把所给代数式整理成一个完全平方式加一个常数的形式可得其最小值； （3）把所给代数式整理成两个完全平方式加一个常数的形式可得其最小值． 【解答】解：（1）x2+4x﹣5 ＝（x2+4x+4）﹣9 ＝（x+2）2﹣32 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）； （2）x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣9＝（x+2）2﹣9． ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2最小值为0． ∴x2+4x﹣5的最小值为﹣9； （3）a2﹣2ab+2b2+4b+2024＝（a2﹣2ab+b2）+（b2+4b+4）+2020＝（a﹣b）2+（b+2）2+2020． ∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0， ∴（a﹣b）2最小值为0，（b+2）2的最小值为0． ∴a﹣b＝0，b+2＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣2时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值，最小值为2020． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$