专题08 数学建模活动（期末复习课件）高一数学上学期北师大版

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题08 数学建模活动 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 7大常考点：知识梳理 8个题型典例剖析+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1 数学建模的一般步骤 考点透视 考点2.一笔画定理 考点透视 考点3.课题研究的过程 考点透视 考点4.选题 考点透视 考点5.开题 考点透视 考点6.做题 考点透视 考点7.结题 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.一笔画定理及应用 题型剖析 题型2.与图有关的模型 题型剖析 题型2.与图有关的模型 题型剖析 题型3.利用比例关系建模 题型剖析 题型3.利用比例关系建模 题型剖析 题型4.课题研究的过程——选题 题型剖析 题型4.课题研究的过程——选题 题型剖析 题型4.课题研究的过程——选题 题型剖析 题型5.课题研究的过程——开题 题型剖析 题型5.课题研究的过程——开题 题型剖析 题型5.课题研究的过程——开题 题型剖析 题型6.课题研究的主要过程——做题 题型剖析 题型6.课题研究的主要过程——做题 题型剖析 题型6.课题研究的主要过程——做题 题型剖析 题型7.课题研究的主要过程——结题 题型剖析 题型7.课题研究的主要过程——结题 题型剖析 题型7.课题研究的主要过程——结题 题型剖析 题型7.课题研究的主要过程——结题 题型剖析 题型7.课题研究的主要过程——结题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 题型剖析 题型8.分蛋糕问题 押题预测 03 PART 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 一个由点和线段组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件： (1)图形是连在一起的，即是连通图形； (2)图形中的奇点个数是0或2. 开题 做题 结题 课题研究的过程包括：________、________、________、________四个环节． 选题 　1．“选题”就是选定研究的问题． 2．课题的来源 来源之一：阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似的问题． 来源之二：研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究相关的问题． 来源之三：用数学的眼光观察世界，发现研究新的问题． “开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案． 开题主要做的工作是： (1)明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果； (2)选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案； (3)完成开题报告． “做题”是研究者(研究小组)建立数学模型，用数学解决实际问题的实践活动． 在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，特别需要关注以下两个问题： (1)建立恰当的数学模型． (2)获取客观真实的数据． “结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果，进行答辩的过程．一般来讲，结题会是结题的基本形式． 【例题1】.甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)．如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？ 解析：由图看出，只有A，C两个奇点，根据一笔画定理，甲从A出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从B出发走完所有街道回到C点必须重复一段街道，故甲先回到邮局． 【例题2】国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图1中虚线所示．问能否以一马的跳步完全覆盖图2的“棋盘”，使接触每个方格恰一次？(允许从任一方格出发) 解析：问题是要确定图2是否有一条哈密尔顿路．把图重画，使顶点的布置更清楚．删去次数为2的顶点a(棋盘的角)以及4个顶点b以获得两个回路(见图3)；以c与d分别标记此两回路的顶点，再把此两回路画成不相交的(见图4)．每个顶点b邻接于一顶点c与一顶点d，删去4个顶点b产生一个具有6个分支的图：两个不同的回路(分别以c与d为顶点)以及4个标号为a的顶点．于是可知原图中一条依次经过全部顶点的路线应是不存在的，即没有哈密尔顿路．所以，图2的棋盘不能像问题规定的那样为一马所跳遍． 【例题3】一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法．假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据：(胸围指鱼身的最大周长) 身长 (cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量 (g) 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围 (cm) 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数． 解析：对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即w＝k1l3，k1为比例系数． 常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待．如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是w＝k2d2l，k2为比例系数．利用数据估计模型中的系数可得k1＝0.014，k2＝0.032 2. 【例题4】怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等． (1)估计一个人体内血液的总量； (2)决定十字路口黄灯亮的时间长度； (3)为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划； (4)一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制定合理的运行计划． 解析：(1)注射一定量的葡萄糖，采集一定容积的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量，注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收． (2)司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t≈(S1＋S2)/v.而S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响． (3)根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修还是更新． (4)统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层(有的从大厅直接运行到高层)． 【例题5】在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快的疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告． 解析： 要解决的问题 在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间 选题的原因及意义 建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议 建模问题的可行性分析 教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数． 基本模型、解决问题的大体思路和步骤 做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d，队列行进的速度也是常数v，令第i个教室中的人数为ni＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为Li，教室门的宽度为D.疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计． T1,2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(L1＋L2＋D＋n2d/v,n1＋1d≤L2＋D,[L1＋n1＋n2＋1d]/v,n1＋1d>L2＋D)) 预期结果和结果呈现方式 建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告 参考文献 《数学模型与数学建模》　北京师范大学数学科学学院 其他说明 【例题6】在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，其中建立恰当的数学模型是特别要关注的．下面是“包扎管道”问题中的两个数学模型，比较它们的优劣． 用W表示带子的宽度，C表示圆管的周长，θ表示带子的倾斜方向与管道母线垂线的方向之间的夹角．设想将带子已经缠绕在管道上使它包住管道且带子间互不重叠，并且从带子的一角的A点沿圆管母线的方向画一条辅助线l，再在辅助线与带子边缘的交点处画出圆管的横截面的切口线c.将画有辅助线的带子截下一段展开，平放在平面上(如图所示)． 模型一　注意只有在带子覆盖圆管且又互不重叠的情况下母线和截口线将相交于带子的边缘．这时A，B和D，E分别表示管道上的同一个点．直线AB和DE是圆管的截口，而BD和EF是圆管的母线，且有AO⊥OB.因此容易得出带子的宽度W、圆管截面周长C和带子的倾斜角度θ这三个变量之间的关系式为W＝Csin θ. 模型二　考虑组建线段OB的模型，因为由前面的分析我们知道，当用带子包住圆管且又互不重叠时的充分必要条件是直线AB与端口的截面周长C重合，A点和B点在管道上要重合为一点．而线段AB的长度就可以用来确定点B的准确的位置．这样一来，使用|OB|＝eq \r(C2－W2)作为管道包扎的数学模型． 解析：这就是我们所需要的管道包扎的两个数学模型．对于熟悉数学的人来说前者组建这个模型是一个正常的思维过程，所得到的模型也是完美的，无懈可击的．但是认真思考一下，我们很容易发现这个模型并不实用．因为它牵涉到了角度的计算和测量，这在实际操作当中是不太容易实现的． 要使得模型在实际操作过程中更加实用就需要尽量避免涉及角度的计算和测量．为此我们从另外一个角度出发，考虑组建的线段OB的模型较之前者就有更强的可操作性． 【例题7】我们目前使用的键盘都是QWERTY键盘布局，以键盘第一排字母的左边6个字母而得名．QWERTY键盘在1868年由Christopher sholes提出，旨在解决打字速度过快导致的某些键组合卡键的问题．因此，打字速度最大化并不是QWERTY键盘的主要目的．QWERTY键盘满足了当时的需求，得到了大范围的推广． 随着技术的发展，键盘早已不存在之前提到的卡键问题．于是，1936年美国人August Dvorak设计出了另外一种键盘，将常用字母都归在一起，以期提高打字速度，这种键盘被称作Dvorak键盘． 针对以上情况，提出问题．完成一个数学建模活动，并以小论文形式写出结题报告． 解析：①问题的提出：电脑键盘优化 现如今，电脑的使用不论是从地域范围还是使用人数的多少来说都位居前列，然而现有的键盘字母排列是根据英文单词的输入来排列的，所以我们要研究出一种便于汉字输入的键盘字母排列方案，使汉字的输入更加快捷． ②数据采集及数据分析 我们将3 500个常用汉字的拼音中字母的使用次数统计出来，比较得出每个字母使用频率的高低，得出新的方案后，通过比较，用本组方案和常用键盘输入同一段文字时手的位移来证明本组方案的合理性，最后得出结论． ③数学模型 a．字母的使用次数 每个汉字输入时用到的拼音中的每个字母记为输入一次．设某字母在所有a开头的汉字中需要输入x1次，在b开头的汉字中需要输入x2次，在c开头的汉字中需要输入x3次，依此类推，到其使用次数(y)为y＝x1＋x2＋x3＋…＋x26. b．手的位移 设Q为手的位移，字母的使用次数为x，手指的位移为T.则有函数关系如下： T＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0当字母为R，W，B，I，N，G，O时,2x当字母为K，P，Q，D，V，M，X，H，Z，T，F,A，U，S，L时2\r(2)x当字母为Y，E，C，J时 ，)) Q＝2x＋eq \r(2)x. 设法找到使得平均移动次数较小的字母排列(过程略)． ④结论：一个新键盘排列图： K P Q D Y E H Z T F [ ] R W B I A U N G O ； ′ Enter 　 V M X C J S L ， . / Shift ⑤误差分析 在证明时，我们默认两键盘的字母排列都如表格一样整齐，所以比较起来没有误差．但是每个人在输入时手指的摆放不一定像我们规定的那样，所以会有一定的误差． ⑥问题拓展 现有的输入法有很多，其中五笔输入法中字母的使用频率与我们研究的输入法有较大差异．在今后的研究过程中，我们还可以根据五笔输入法进行新的字母优化排列，然后可以将两种方案综合考虑． ⑦合作经历 电脑键盘优化排列是我们组经过多次讨论最终决定的研究课题．在一次又一次的讨论过程中，我们渐渐有了默契；在完善我们的论文的过程中，我们学会了严谨；当然，还有珍贵的友谊…… ⑧参考文献：http：//zhidao.baidu.com/question/9391911.html. 【例题8】妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你．如图1所示． 模型假设 (1)假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是平行的． (2)假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形． 模型建立　 模型求解　 模型结论　 模型评价　 模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线(无论什么形状)．P是曲线所围成的图形上一点．(如图2) 求证：存在一条过P的直线L，将这个图形的面积二等分． 问题提出 妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你．如图1所示． 模型求解　过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1＝S2，则L即是所要找的直线．现在，我们考虑S1≠S2的情形： 不失一般性，设S1>S2，首先，建立如图3的坐标轴：x轴．设直线L与x轴的初始交角为α0.(如图3) 以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化．即S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数． 令f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)>0. f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)<0. 根据零点定理，存在一点c∈(α0，α0＋π)，使得f(c)＝S1(c)－S2(c)＝0. 即存在一点c∈(α0，α0＋π) 使得S1(c)＝S2(c)． 模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知： 对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线L，使得沿L对切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块． 模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性．但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决． 1.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法．假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据：(胸围指鱼身的最大周长) 身长 (cm) 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量 (g) 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围 (cm) 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数． 解析：对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即w＝k1l3，k1为比例系数． 常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待．如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是w＝k2d2l，k2为比例系数．利用数据估计模型中的系数可得k1＝0.014，k2＝0.032 2. 4 否 0 5 能 2 2 能 2.完成下表 奇点个数 偶点个数 能否一笔画出 ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ 0 3.图中的线段代表一条条小路，有A，B两只蚂蚁，想一想，能够不重复爬遍小路的是A蚂蚁还是B蚂蚁？ 解析：标点：标出双数点和单数点； 判断：有2个单数点可以一次走过，但是只能从一个单数点开始，到另一个单数点结束，所以只有B处的蚂蚁才可以． 4.在“做题”的实践活动中，应当按照数学建模的步骤实施，其中建立恰当的数学模型是特别要关注的．下面是“包扎管道”问题中的两个数学模型，比较它们的优劣． 用W表示带子的宽度，C表示圆管的周长，θ表示带子的倾斜方向与管道母线垂线的方向之间的夹角．设想将带子已经缠绕在管道上使它包住管道且带子间互不重叠，并且从带子的一角的A点沿圆管母线的方向画一条辅助线l，再在辅助线与带子边缘的交点处画出圆管的横截面的切口线c.将画有辅助线的带子截下一段展开，平放在平面上(如图所示)． 模型一　注意只有在带子覆盖圆管且又互不重叠的情况下母线和截口线将相交于带子的边缘．这时A，B和D，E分别表示管道上的同一个点．直线AB和DE是圆管的截口，而BD和EF是圆管的母线，且有AO⊥OB.因此容易得出带子的宽度W、圆管截面周长C和带子的倾斜角度θ这三个变量之间的关系式为W＝Csin θ. 模型二　考虑组建线段OB的模型，因为由前面的分析我们知道，当用带子包住圆管且又互不重叠时的充分必要条件是直线AB与端口的截面周长C重合，A点和B点在管道上要重合为一点．而线段AB的长度就可以用来确定点B的准确的位置．这样一来，使用|OB|＝eq \r(C2－W2)作为管道包扎的数学模型． 解析：这就是我们所需要的管道包扎的两个数学模型．对于熟悉数学的人来说前者组建这个模型是一个正常的思维过程，所得到的模型也是完美的，无懈可击的．但是认真思考一下，我们很容易发现这个模型并不实用．因为它牵涉到了角度的计算和测量，这在实际操作当中是不太容易实现的． 要使得模型在实际操作过程中更加实用就需要尽量避免涉及角度的计算和测量．为此我们从另外一个角度出发，考虑组建的线段OB的模型较之前者就有更强的可操作性． 5.下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据 表　一些动物的体重和脉搏率 动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min－1) 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2 000 205 小狗 5 000 120 大狗 30 000 85 羊 50 000 70 马 450 000 38 回答下面的问题： (1)请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型； (2)从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高．请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型． 解析：建模过程如下： (1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，可以表示为E＝p1S.又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，可以表示为E＝p2Q.因此得到Q＝pS，其中p1，p2和p均为正的比例系数．另一方面，因为体积V与体重W成正比，可以表示为V＝r1W；又因为表面积S大约与体积V的eq \f(2,3)次方成正比．可以表示为S＝r2V ，因此得到S＝rW ，其中r1，r2，r为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q＝k1W ，其中k1为正的比例系数． (2)根据脉搏率的定义f＝eq \f(Q,q)，再根据生物学假设q＝cW(c为正的比例系数)，最后得到f＝eq \f(Q,q)＝eq \f(k1W\f(2,3),cW)，也就是f＝kW ，其中k为正的待定系数．脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的eq \f(1,3)次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系，如图是以ln W 和ln f为坐标的散点图．可以看出，数据取 对数之后基本满足线性关系，因此得到体重 和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型 表达为ln f＝ln k－eq \f(ln W,3). 6.超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图．两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？ 解析：合算就是纸的量多。因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算．为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算． 证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝R2－r2，当D＝d时，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S无芯．当D>d时，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2<πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S无芯．当D<d时，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))2>πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))2＝S无芯． $$