专题02 函数（期末复习课件）高一数学上学期北师大版

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题02 函数 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 12大常考点：知识梳理 23个题型典例剖析+技巧点拨 精选18道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1. 变量间的依赖关系 考点透视 考点2. 变量间的函数关系 考点透视 考点3　函数概念 考点透视 考点4.　同一函数 考点透视 考点5. 函数的表示法 考点透视 考点6.分段函数 考点透视 考点7.增函数与减函数的定义 考点透视 考点8.单调性与单调区间 考点透视 考点9.函数最大(小)值 考点透视 考点10.偶函数与奇函数 考点透视 考点10.偶函数与奇函数 考点透视 考点11.幂函数的概念 考点透视 考点12. 幂函数的图象和性质 考点透视 考点12. 幂函数的图象和性质 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1依赖关系与函数关系的判断 题型剖析 题型2.根据表格分析两个变量之间的关系 题型剖析 题型3. 根据图象分析两个变量之间的关系 题型剖析 题型4.　函数的概念 题型剖析 题型5.判断两个函数是否为同一函数 题型剖析 题型6.求函数的定义域 题型剖析 题型7.求函数的值域 题型剖析 题型7.求函数的值域 题型剖析 题型7.求函数的值域 题型剖析 题型8.函数的表示法 题型剖析 题型8.函数的表示法 题型剖析 题型9.已知函数类型求函数解析式 题型剖析 题型9.已知函数类型求函数解析式 题型剖析 题型10.解分段函数不等式 题型剖析 题型11.利用函数图象求单调区间 题型剖析 题型12. 函数的单调性判断与证明 题型剖析 题型13.函数单调性的应用 题型剖析 题型14. 利用图象求函数的最值 题型剖析 题型15. 利用单调性求函数的最值 题型剖析 题型16. 二次函数在闭区间上的最值 题型剖析 题型17.判断函数的奇偶性 题型剖析 题型17.判断函数的奇偶性 题型剖析 题型18.函数奇偶性的图象特征 题型剖析 题型19.函数奇偶性的应用 题型剖析 题型20.函数的奇偶性和单调性的综合应用 题型剖析 题型21.幂函数的概念 题型剖析 题型22.幂函数的图象及应用 题型剖析 题型23.幂函数的性质及其应用 押题预测 03 PART 1.(2024·湖北荆州中学高一上月考)幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：由图象可得函数在第一象限为减函数，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0，1，2，代入知，当m＝1时为偶函数，满足题意．故选C. 答案 解析 2．设f(x)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝(　　) A．x3＋1 B．x3－1 C．－x3＋1 D．－x3－1 解析：当x<0时，－x>0，得f(－x)＝－x3＋1，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x3－1. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 5．(2024·重庆八中高一上阶段考试)若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增，且有最大值－5 B．单调递增，且有最小值－5 C．单调递减，且有最大值－5 D．单调递减，且有最小值－5 解析：因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5. 答案 解析 6．(2024·湖北黄冈高一上期末)若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 解析 7．若函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围为(　　) A．[1，2] B．[2，3] C．[1，3] D．[2，4] 解析：f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由函数f(x)的最小值为1，知m≥2.又函数f(x)的最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5，所以2≤m≤4.故选D. 答案 解析 解析：设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，所以必有f(x1)<f(x2)，所以－f(x1)>－f(x2)，A一定成立；其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立；当a≤0时，D不成立．故选A. 答案 解析 9．若函数f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－∞，4] 答案 解析 10.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　　) A．2 B．－2 C．0 D．1 解析：由题图知f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝－1＋0＋1＝0. 答案 解析 11．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝(　　) A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析：因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，故g(x)＝2x－1. 答案 解析 答案 解析 答案 解析 14．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))＝_______，f(x)的值域是__________． 解析：∵f(2)＝0，∴f(f(2))＝f(0)＝4，∴f(f(f(2)))＝f(4)＝2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4]． 答案 解析 2 [0，4] 15．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m. 答案 解析 3 答案 解析 －3 解：(1)函数f(x)在R上单调递减． 证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0， 因为当x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0. 又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)<f(x1)． 所以函数f(x)在R上单调递减． 解 18．已知函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求关于m的不等式f(1－m)＋f(1－m2)≥0的解集． 解 题型剖析 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有________． 依赖关系 每一个值 唯一确定的 1．并非有依赖关系的两个变量都有________关系． 2．函数关系是指满足对于其中一个变量的________，另一个变量都有____________值与之对应． 函数 y＝f(x)，x∈A 函数概念：给定实数集中的两个________数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作____________． 2．函数的定义域和值域 函数y＝f(x)中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． 显然，值域是集合B的子集． 非空 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 图象 表格 数学表达式 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数． f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 f(x1)<f(x2) 单调区间 　 如果函数y＝f(x)在区间I上是单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在这一区间I上具有________，区间I为y＝f(x)的________． 单调性 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤(≥)M； (2)∃x∈D，使得f(x)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． eq \x(状元随笔)　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0. 　1．奇函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数． 2．偶函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果∀x∈A，都有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数． y轴 3．奇、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于________对称；反之亦然． (2)偶函数的图象关于________对称；反之亦然． 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 原点 一般地，形如________(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． y＝xα {x|x≠0} {y|y≥0}　 {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数 奇函数　 奇函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝eq \f(1,x) 定义域 R R R ________ ________ 值域 R ________ R ________ ________ 奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非 偶函数 ________ {x|x≥0} (0，＋∞) R (0，＋∞) (0,0)，(1,1) (1,1) 单调性 在R上 递增 在________ 上递减， 在________ 上递增 在____上 递增 在________ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减 图象 过定点 ________ ________ (－∞，0) 【例题1】下列各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)人的身高与体重的关系； (2)一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关系； (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解析：(1)人的身高与体重之间具有依赖关系，但不具有函数关系．人的身高越高，其体重不一定越重． (2)炮弹的飞行高度与时间具有依赖关系，也是函数关系．因为对于任一给定的时间的值，都有炮弹的唯一的飞行高度与之对应． (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系． 【例题2】以下是某电视台的广告价格表(2020年1月报价，单位：元) 播出时长 价格 播出时间段 10 s 15 s 20 s 30 s 40 s 50 s 60 s 19：30～22：00 900 950 1 000 1 500 2 000 2 500 4 000 22：00～23：00 800 850 900 1 200 1 600 2 000 3 000 23：00～0：00 700 800 850 900 1 000 1 500 2 000 试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？ 解析：不是函数关系，因为广告价格既与播出时间段有关，也与播出时长有关． 【例题3】如图所示为2019年我国某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份，纵轴为降雨量(单位：cm)． 由图中曲线判断该地降雨量与月份是否具有函数关系？ 解析：因为对于2019年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，所以可得该地的降雨量与月份具有函数关系，且自变量是月份，因变量是降雨量． 【例题4】[多选题]已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|. 其中不能构成从M到N的函数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：①中，当x＝4时，y＝42＝16∉N，故不能构成函数．②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，故不能构成函数；③中，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2∉N，故不能构成函数；④中，当x＝±1时，y＝|x|＝1∈N，当x＝2时，y＝|x|＝2∈N，当x＝4时，y＝|x|＝4∈N，故构成函数．故选ABC. 答案：ABC 【例题5】[多选题]下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x) B．f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2) C．f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0) D．f(x)＝x2－x＋1与g(t)＝t2－t＋1 解析：A中，定义域都是x<0，但解析式不相同；B中，g(x)＝eq \r(x2)＝|x|与f(x)＝x解析式不同；C、D是同一函数． 答案：CD f(\r(x－3),|x＋1|－5)【例题6】　函数f(x)＝的定义域是(　　) A．[3，＋∞) B．[3,4)∪(4，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3,4) 解析：要使函数f(x)有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3≥0,|x＋1|≠5))，解得x≥3且x≠4，所以函数f(x)的定义域是[3,4)∪(4，＋∞)． 答案：B 【例题7】求下列函数的值域． (1)y＝3－4x，x∈(－1,3]； (2)y＝x2－4x＋5； (3)y＝eq \f(2x,x＋1)； (4)y＝x－eq \r(1－2x). 解析：(1)因为x∈(－1,3]，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7， 所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)． (2)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时， ∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2＋1≥1， 所以函数y＝x2－4x＋5的值域为[1，＋∞)． (3)因为y＝eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(2x＋1－2,x＋1)＝2－eq \f(2,x＋1)≠2， 所以函数y＝eq \f(2x,x＋1)的值域为{y|y≠2}． (4)设eq \r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝eq \f(1－t2,2)， 所以y＝eq \f(1－t2,2)－t＝eq \f(1,2)(－t2－2t＋1)＝－eq \f(1,2)(t＋1)2＋1， 因为t≥0，所以y≤eq \f(1,2)， 所以函数y＝x－eq \r(1－2x)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))). 【例题8】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式． 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))所以f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，f(x)＝－x. 所以f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.)) 答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.)) 【例题9】求函数的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)． 解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1. 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1.)) 所以f(x)＝2x－eq \f(1,3)或f(x)＝－2x＋1. (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 由f(0)＝f(4)及eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝c，,f4＝16a＋4b＋c，)) 得4a＋b＝0　① 又图象过点(0,3)，所以c＝3　② 设f(x)＝0的两实根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)， 所以xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))2－2×eq \f(c,a)＝10. 即b2－2ac＝10a2　③ 由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3. 所以f(x)＝x2－4x＋3. 【例题10】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－4，x≥2，,x2－4x＋3，x<2，))不等式f(x)<0的解集是________． 解析：当x≥2时，x－4<0，解得2≤x<4.当x<2时，x2－4x＋3<0解得1<x<2.综上，f(x)<0的解集为(1,4)． 答案：(1,4) 【例题11】函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是________，递减区间是________． 解析：y＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.)) 画出函数图象如图，由图可知函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是：(－∞，－1]，(0,1]．递减区间是：[－1,0]，[1，＋∞)． 答案：(－∞，－1]，(0,1]　[－1,0]，[1，＋∞) f(x,x2＋4)【例题12】已知函数f(x)＝，判断并定义证明f(x)在(0，＋∞)的单调性． 解析：f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减． 证明如下：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 有f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x\o\al(2,1)＋4)－eq \f(x2,x\o\al(2,2)＋4)＝eq \f(x1x\o\al(2,2)＋4－x2x\o\al(2,1)＋4,x\o\al(2,1)＋4x\o\al(2,2)＋4)＝eq \f(x2－x1x1x2－4,x\o\al(2,1)＋4x\o\al(2,2)＋4)， 因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，(xeq \o\al(2,1)＋4)(xeq \o\al(2,2)＋4)>0. 当x>2时，x1x2－4>0，eq \f(x2－x1x1x2－4,x\o\al(2,1)＋4x\o\al(2,2)＋4)>0，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时f(x)单调递减． 【例题13】f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是(　　) A．m>0 B．0<m<eq \f(3,2) C．－1<m<3 D．－eq \f(1,2)<m<eq \f(3,2) 解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2<m－1<2，,－2<2m－1<2，,m－1<2m－1，))解得0<m<eq \f(3,2). 答案：B 【例题14】已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．2，无最小值 B．无最大值，2 C．2,1 D．2,0 解析：y＝－|x－1|＋2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，))图象如图所示． 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值． 答案：A 已知函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)，求函数f(x)在[1,5]上的最值． 解析：先证明函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)的单调性，设x1，x2是区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq \f(1,2)，f(x1)－f(x2)＝eq \f(3,2x1－1)－eq \f(3,2x2－1)＝eq \f(6x2－x1,2x1－12x2－1).由于x2>x1>eq \f(1,2)，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq \f(1,3). 【例题16】求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值． 解析：∵f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2， ∴函数图象的对称轴是直线x＝a，且图象开口向上． ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a； 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a； 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， ∴f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.)) 【例题17】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)； (2)f(x)＝2－|x|； (3)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (4)f(x)＝eq \f(x,x－1). 解析：(1)∵函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)的定义域是{x|x≠0}关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)2＋eq \f(1,－x2)＝x2＋eq \f(1,x2)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)为偶函数． (2)∵函数f(x)＝2－|x|的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)＝2－|x|为偶函数． (3)∵函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，∴f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)既是奇函数，又是偶函数． (4)∵函数f(x)＝eq \f(x,x－1)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)＝eq \f(x,x－1)为非奇非偶函数． 【例题18】设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________． 解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}． 答案：{x|－2<x<0或2<x≤5} f(x＋2a＋3,x2＋8)【例题19】函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2) 解析：由题意f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，∴a＝－eq \f(3,2).此时f(x)＝eq \f(x,x2＋8)为奇函数． 答案：C 【例20】已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． 解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)． ∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)， ∴f(1－a2)<f(a－1)． 又f(x)在[－1,1]上单调递减， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,1－a2>a－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,－2<a<1.)) ∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)． 【例题21】若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　) A．1 B．－3 C．－1 D．3 解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1. 答案：A 【例题22】幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________． 解析：(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0， 当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p. 答案：(2)n<q<m<p 【例题23】列两个数的大小正确的是(　　) A. < B. < C．0.20.6>0.30.6 D．9 > 解析：A中： ∵函数y＝x 在(0，＋∞)上单调递增，又eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，∴>，A错；B中：∵函数y＝x 在(0，＋∞)上为减函数，又eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，∴<，B正确；C中，由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6，C错；D中：9 ＝<<，∴9 <，D错．故选B. 答案：B　 3．(2024·山东济南一中高一上月考)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x＋1)))＝x2－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(　　) A．－eq \f(8,9) B．－eq \f(3,4) C．8 D．－8 解析：令eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(1,2)，得x＝eq \f(1,3)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(8,9).故选A. 4．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))eq \s\up12(－2)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up12(－2)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a 解析：∵a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))eq \s\up12(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq \s\up12(－2)，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且eq \f(1,6)<eq \f(2,5)<eq \f(3,4)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq \s\up12(－2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq \s\up12(－2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(－2)，即a>b>c.故选A. 解析因为函数f(x)是定义在[2－2a，a]上的偶函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2a＋a＝0，,2b－a＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以a－b＝2－1＝1.故选A. 8．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝eq \f(1,f（x）)在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 解析：由题意知，函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,4)，且图象开口向上，由f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，得eq \f(a,4)≤1，即a≤4. 12．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1) B．f(x)＝－eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1) C．f(x)＝eq \f(x,1＋x2)(x≠－1) D．f(x)＝－eq \f(x,1＋x2)(x≠－1) 解析：令t＝eq \f(1－x,1＋x)，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，所以f(t)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))\s\up12(2))＝eq \f(2t,t2＋1)(t≠－1)，所以f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)(x≠－1)．故选A. 13．函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)(x∈R)的值域是(　　) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1) 解析：因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<eq \f(1,x2＋1)≤1，所以函数f(x)的值域为(0，1]．故选C. 解析：设隔墙长度为x(0<x<6) m，场地面积为S m2，则S＝x·eq \f(24－4x,2)＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值． 16．(2024·湖南郴州高一上期末教学质量监测)已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,16)))，则k＋α＝______． 解析：∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,16)))，∴k＝1，f(2)＝2α＝eq \f(1,16)，即α＝－4，∴k＋α＝－3. 17．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq \f(2,3). (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)在[－3，3]上的最小值． (2)由(1)可知f(x)在R上单调递减， 所以f(x)在[－3，3]上也单调递减， 所以f(x)在[－3，3]上的最小值为f(3)． 而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－2. 所以函数f(x)在[－3，3]上的最小值是－2. 解：(1)根据题意，函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，则f(0)＝0，当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)， 又f(x)为奇函数， 则f(x)＝－f(－x)＝x(x－1)， 则f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（x＋1），0≤x≤3，,x（x－1），－3≤x<0.)) (2)由(1)知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x（x＋1），0≤x≤3，,x（x－1），－3≤x<0，)) 结合函数图象可知f(x)在[－3，3]上为减函数， 则f(1－m)＋f(1－m2)≥0⇒f(1－m) ≥－f(1－m2)⇒f(1－m)≥f(m2－1) ⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤m2－1，,－3≤1－m≤3，,－3≤1－m2≤3，)) 解得m＝－2或1≤m≤2， 即不等式的解集为{m|m＝－2，或1≤m≤2}． $$