第五章 计数原理（知识归纳与题型突破，4考点7题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第五章 计数原理（题型清单） 01 考点归纳 考点一、基本计数原理 考点二、排列问题 考点三、组合问题 考点四、二项式定理 02 知识速记 1、 基本计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分步乘2.法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 2、 排列问题 1．排列与全排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 2．排列数及其公式 (1)排列数定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． (2)排列数公式 A＝ ＝n(n－1)…(n－m＋1)，这个公式称为排列数公式．特别地，当m＝n时，A＝n×(n－1)×…×2×1＝n! 3、 组合问题 1．组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 2．组合数的定义、公式 组合数定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 4、 二项式定理 1．二项式定理 (1)定理 ． (2)通项 为展开式的第项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数 二项展开式中各项的系数叫做二项式系数． (2)项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 3．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即. 增减性 二项式系数 当 时，是递增的． 当时，是递减的． 最大值 当为偶数时，第项的二项式系数取得最大值． 当为奇数时，第项和项的二项式系数 与取最大值. 4．各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于， 即 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即． 03 题型归纳 题型一、基本计数原理 例题：1-1．某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 【答案】C 【分析】相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类，再分别计算每一类的方法数，可求得结论. 【详解】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类； 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻， 分别有种选择，所以共计种； 第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法． 故选：C. 1-2．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案. 【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况. 故选：C. 巩固训练 1-1．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【分析】应用分步乘法原理计算即可. 【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C 1-2．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 1-3．某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【答案】D 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 题型二、排列问题 例题：2-1．有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 2-2．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【分析】利用不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 巩固训练 2-1．为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 【答案】C 【分析】由排列的概念求解即可. 【详解】甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同， 则选法共有种． 故选：C 2-2．从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是（    ） A．18 B．21 C．30 D．36 【答案】C 【分析】依题意可得这6个数两两互质，由排列数的定义计算可得结果. 【详解】因为这6个数两两互质，从中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其结果互不相等； 所以其商的个数共有． 故选：C 2-3．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 题型三、组合问题 例题：3-1．从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理直接计算可得结果. 【详解】从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法， 从2，4，6，8中任取两个数有种方法， 再把取出的5个数全排列共有种， 故一共可以组成数字不重复的五位数的个数是. 故选：C. 3-2．6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（    ） A．65 B．1560 C．2640 D．4560 【答案】B 【分析】先将6名大学生分四组，再将四组对应到四个学校，计算可得最后方案种数. 【详解】分两种情况： 把6名大学生分为3，1，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校， 有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法； 把6名大学生分为2，2，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校， 有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法； 综上，不同的分配方案共有种. 故选：B. 巩固训练 3-1．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（    ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，二是在三个城市各投资1个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案． 【详解】该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目，另外1个城市投资1个项目，有种投资方案； 若3个城市各投资1个项目，共有种投资方案， 由分类计数原理知，共有120种不同的投资方案． 故选：C． 3-2．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 3-3．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 题型四　排列、组合综合应用 例题：4-1．寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 4-2．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 【详解】解：第一步先排音乐节目，有种排法； 第二步再排曲艺节目，有种排法； 第三步再排舞蹈节目，把舞蹈放到曲艺节目之间，有种排法， 所以共有种排法． 巩固训练 4-1．小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 【详解】（1）若不买苹果，共有种买法． （2）若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有种买法． （3）当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法； 当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法； 当香橙和圣女果都买时，有种买法. 故买法总数为种． 4-2．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 4-3．现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 【详解】（1）从9件产品中抽取3件产品共有种； （2）从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有种； （3）“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”， 因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有种. 题型五　二项式展开式 例题5-1：的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 【答案】D 【分析】由二项式展开式通项公式可得答案. 【详解】的展开式中的第项为：. 令，则常数项为. 故选：D 5-2．二项式的展开式中的常数项为（    ） A．480 B．240 C．120 D．15 【答案】B 【分析】运用通项公式计算即可. 【详解】因为得到常数项，则．. 故选:B． 巩固训练 5-1在的展开式中，项的系数为（   ） A． B．10 C． D．80 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由， 令，解得， 所以，即项的系数为. 故选：C 5-2．的展开式中含的项的系数为（    ） A．20 B． C．40 D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 由，解得，则含的项的系数为． 故选：B 5-3．的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 【答案】D 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由于，则其展开式的通项为，， 令，则，所以项的系数为． 故选：D 题型六　二项式系数的性质 例题：6-1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，先求得的值，再赋值，即可出现所求式子，进而求解即可. 【详解】令，则， 易知皆为负值，皆为正值， 令，则， 故． 故选：C 6-2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用赋值法计算与，即可得解. 【详解】， 令，则， 令，则， 则. 故选：D. 巩固训练 6-1．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】B 【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解． 【详解】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项． 故选：B. 6-2．设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 6-3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【分析】变形，然后根据题意，计算即可得解． 【详解】． 故选：C． 题型七　二项式定理综合应用 例题：7-1．已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【详解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 7-2．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 巩固训练 7-1．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. (1)求展开式的通项公式和中间一项; (2)设，求. 【详解】（1）因为， 所以，解得 所以的展开式的通项 ， 令，展开式的中间一项为. （2）因为， 所以 所以的展开式的通项， 令， 令 则. 7-2．已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）由题意得且，故且， ， 故，解得； （2）中， 令，得， 令，得， 故. 7-3．（1）求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 【详解】（1）因为， 又的展开式的通项公式为： ，， 令，则，令，则（舍去）， 所以的展开式中常数项为. （2）因为展开式的通项为（且）， 根据题意得，即①. 的展开式中的系数为. 将①变形为代入上式得， 解得或， 所以或，则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 计数原理（题型清单） 01 考点归纳 考点一、基本计数原理 考点二、排列问题 考点三、组合问题 考点四、二项式定理 02 知识速记 1、 基本计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分步乘2.法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 2、 排列问题 1．排列与全排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 2．排列数及其公式 (1)排列数定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． (2)排列数公式 A＝ ＝n(n－1)…(n－m＋1)，这个公式称为排列数公式．特别地，当m＝n时，A＝n×(n－1)×…×2×1＝n! 3、 组合问题 1．组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 2．组合数的定义、公式 组合数定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 4、 二项式定理 1．二项式定理 (1)定理 ． (2)通项 为展开式的第项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数 二项展开式中各项的系数叫做二项式系数． (2)项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 3．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即. 增减性 二项式系数 当 时，是递增的． 当时，是递减的． 最大值 当为偶数时，第项的二项式系数取得最大值． 当为奇数时，第项和项的二项式系数 与取最大值. 4．各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于， 即 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即． 03 题型归纳 题型一、基本计数原理 例题：1-1．某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 1-2．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 巩固训练 1-1．现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 1-2．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 1-3．某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 题型二、排列问题 例题：2-1．有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2-2．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 巩固训练 2-1．为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 2-2．从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是（    ） A．18 B．21 C．30 D．36 2-3．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 题型三、组合问题 例题：3-1．从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（   ） A． B．   C． D． 3-2．6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（    ） A．65 B．1560 C．2640 D．4560 巩固训练 3-1．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（    ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 3-2．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 3-3．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 题型四　排列、组合综合应用 例题：4-1．寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 4-2．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．由于文艺晚会受时间影响，需要分两场演出，若要求4个音乐节目安排在第一个晚上，舞蹈和曲艺节目安排在第二个晚上，并且舞蹈和曲艺节目各自不能相邻，原来第一个和最后一个节目位置不变，有多少种不同的排法？ 巩固训练 4-1．小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 4-2．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 4-3．现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 题型五　二项式展开式 例题5-1：的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 5-2．二项式的展开式中的常数项为（    ） A．480 B．240 C．120 D．15 巩固训练 5-1在的展开式中，项的系数为（   ） A． B．10 C． D．80 5-2．的展开式中含的项的系数为（    ） A．20 B． C．40 D． 5-3．的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 题型六　二项式系数的性质 例题：6-1．设，则（    ） A． B． C． D． 6-2．若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 6-1．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 6-2．设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 6-3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 题型七　二项式定理综合应用 例题：7-1．已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 7-2．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 巩固训练 7-1．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. (1)求展开式的通项公式和中间一项; (2)设，求. 7-2．已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 7-3．（1）求展开式中的常数项； （2）已知，，的展开式中含项的系数为，含项的系数为，求的近似值.（精确到0.01） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$