第二十九章 29.4 切线长定理_-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.4 切线长定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 切线长定理 （第1题图） 1.如图，,为圆的切线，切点分别为,，交 于点 ，的延长线交圆于点 ．下列结论不一定成立的是( ) B A. 为等腰三角形 B.与 互相垂直平分 C.点,都在以 为直径的圆上 D.为的边 上的中线 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】,为圆的切线，， 是等腰三角形，故A选项不 符合题意.由圆的对称性可知，垂直平分，但不一定平分 ,故B选项符 合题意.连接,,为圆的切线， ， 点A,B, 在以为直径的圆上，故C选项不符合题意.是等腰三角形， ， 为的边 上的中线，故D选项不符合题意．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.【2024河南新乡期中】如图，已知为的直径，，分别与 相切 于点，，经过上一点，，若，，则 的长为 ___. 9 （第2题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】如图,连接，，过点作，垂足为点 . 是的切线，， .在和 中， ， ， 是的半径，是的切线.是的切线, ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 ，， ， 四边形 是矩 形，，，则是 的 切线，是的切线， ， ， 在 中，，即， .故答案为9． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 连接,,过点作，构造矩形 ，再由全等三角形的判定和性质 得到 ，证明是 的切线，然后由切线长定理得到 ，得出，再由勾股定理即可求得 的长． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 3.【2024山东淄博二模】如图，是的内接三角形，过外一点 作 的两条切线和，点，为切点.点在上，点在上，点在 上， 且，.若 ，则 ____度. 75 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 【解析】连接，，如图.，是 的两条 切线，，， , .又 , , ， ， ， .在和 中， , 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 , .故答 案为75． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 4.如图，，是的切线，切于点， 的周 长为12， ． （1）求 的长； 【解】，都是的切线， ，同理 ，， 的周长为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （2）求 的度数． 【解】 ， ， . ，是的切线，,同理, ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 知识点2 三角形内切圆 5.【2024湖北武汉模拟】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有以下问题:“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有 直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角 形能容纳的圆（内切圆）直径是多少？”该问题的答案是( ) C A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 【解析】根据勾股定理得斜边长为 （步）.设该 直角三角形能容纳的圆（内切圆）半径为 ，则 ，解得 ,则直径为 （步）．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 刷有所得 中，三边长分别为，，（其中 为斜边长），则其内切圆半径 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 6.【2023四川攀枝花中考】已知的周长为，其内切圆的面积为 ，则 的面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，设内切圆的圆心为,与 的三边相切 于点D、点、点，连接，，，，， 切 于，的内切圆的面积为,， ， ，同理, ， ， ， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 7.如图，中， ，，，为内心，过点 的直线分别 与,边相交于点,．若，则线段 的长为___. 2 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】如图，过点的直线分别与,边相交于点,，连接， 为 的内心，平分，平分， ， .当时，，， ， ，，则.设 ， .在中， , ,即解得 ，故答案为2． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 关键点拨 连接,,结合内心的性质和平行线的判定可得当时， , 利用相似三角形的判定和性质即可求解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 8.如图，在中， ， ， ，半径为2的分别与，相切于点, ． （1）求证：是 的切线； 【证明】如图，连接，，，过点作 于 点 半径为2的分别与,相切于点, ， ， , , 在 中， ， ，,为 半径， 是 的切线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （2）求图中阴影部分的面积． 【解】,与分别相切于点,， ,， ， , 四边形是正方形， ， .由（1）易得是的内切圆, 易得 ， ， .由（1）得 , ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 提升 1.【2024江苏苏州质检,中】如图，在矩形中， ， ，以为直径在矩形内作半圆，过点作半圆的切线 交半 圆于点，则 ( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】如图，取的中点，则为圆心，连接，， 与 交于点，都为半圆 的切线， ，， ， ，.在 中， ，， .易证明 ，，, , .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （第2题图） 2.【2024内蒙古模拟，中】如图，已知 中， ，，内切圆 半径为3，则图中阴影部分 面积是( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】设与交于,与交于是 的内 切圆，,分别平分,， ， ， ， ， ， ，故选A． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （第3题图） 3.【2024四川泸州模拟，中】如图，中， ，点 为的外心，，，是 的内切圆,则 的长为( ) C A.2 B.3 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解析】过点作，，,垂足分别为D,, 点 是 内切圆的圆心，，，， .又 中, ， 易知四边形是正方形， ， ，.设， ， ，则，得 ， ， 点为 的外心， ，， ．故 选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 4.【2023河北秦皇岛海港区期末，中】如图，点是 的内心， 的延长线和的外接圆相交于点，连接,, .若 ，则 的度数为______. 【解析】 点是的内心，平分 ， ， ， ， 点是的内心， 平分 ，平分，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 5.【2023河北承德平泉期末，中】如图，是外一点， ， 分别和切于，两点，是上任意一点，过作 的 切线分别交，于， . （1）若的周长为10，则 的长为___； 5 【解析】，，分别切于，，， ， ，,, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）连接,，若 ，则 的度数为______. 【解析】连接，，在上取一点，连接，，如图., 分别切 于,, , , , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷有所得 与切线长定理有关的求角的度数的常见方法： （1）利用圆心和圆外一点的连线平分从这点出发的与圆相切的两条切线的夹角求 角的度数. （2）连接圆心和圆外一点，与从这点出发的与圆相切的切线和圆的半径构造直角 三角形，在直角三角形中求角的度数. （3）利用过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，构造等腰三角形，利用等边对 等角和三角形内角和定理求角的度数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 6.【2023河北承德质检，中】如图，是 的切线，切点 为，是的直径，连接交于,过点作 于点，交于，连接， . （1）求证：是 的切线； 【证明】连接为的直径，， ， ，，， . 在和中， ， 为的切线， ， .又 为的半径,是 的切线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）求证：为 的内心； 【证明】连接为的切线， ， ，， , ，即平分.又,为的切线，平分 , 为 的内心. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （3）若，，求 的长. 【解】 ， ， ， .在中，， ， . 易得， ， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力【2023北京西城区期末，中】如图，中，内切圆圆 与，，分别切于，，，连接，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 （1）若 ，求与 的度数. 【解】 圆是的内切圆， ， ， ， ， .如图，连接， 圆 分别与,切于点,， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 （2）若 , ，试猜想 ， 的关系，并证明你的结论. 【解】 .证明:由（1）知 ， ， ，即 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 $$