第一章 4 解直角三角形-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 解直角三角形 1.【2024黑龙江哈尔滨呼兰区一模】在中， ， ， ，则 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】在中， ， ，， ， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （第2题图） 2.【2023四川巴中期末】如图，在中， ， 于点，若，，则线段 的长为 ( ) D A.10 B.4 C. D. 【解析】， ， ， ，，,，即 ， 解得 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 线段既在中，也在中，而在这两个三角形中只有 的长已知， 所以在中求解 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （第3题图） 3.【2023江西吉安调研】如图，在中， ， 于，，，则__， ___. 【解析】， ， ， ， ，，， , .在中， ， .故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 4.【2024甘肃武威凉州区一模】如图，在中， ， 是边上的中线，过点作，垂足为点 ，若 ， . （1）求 的长； 【解】， ,. ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）求 的正切值. 【解】如图，过点作于点，是的中点， 是 的中位线，，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 知识点2 解简单的非直角三角形 （第5题图） 5.【2024江苏南通期末】如图，在中， ， ，，则 的长为( ) D A. B. C.4 D.5 【解析】如图，过点C作于D.在 中， ，，， . 在中，，， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 6.如图，在中，，垂足为，如果，， ， 那么 的值为( ) （第6题图） A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 【解析】在中，，，， ， ，则 四边形 是平行 四边形，，.又 ， , .在中， ， ， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 7.【2023北京房山区期末】如图，在中，， . （1）求 的长； 【解】如图（1），过点作 ，垂足为 ，， . 在中， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）若是边上的高，请你补全图形，并求 的长. 【解】补全图形如图（2）. ,， .在 中， ， . 添加辅助线 构造直角三角形的一般方法 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 技巧点拨 构造直角三角形时，不要分割已知角，尽量作垂线，构造更多跟已知条件有关的 直角三角形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 提升 （第1题图） 1.【2023山东淄博张店区期中，中】如图，在 中， ， ，，平分交 于点 ，则线段 的长为( ) B A. B.12 C. D.6 添加辅助线 本题中的三角形不是直角三角形，故过点作于点 ，这样既构造出 和，又没有破坏特殊角和 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解析】如图，过点C作于点.在 中， ， ， . 在中， ， . 关键点拨 根据本题的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键. 平分， ， ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第2题图） 2.【2024山东青岛期中，中】如图， 是边长为6的等边三 角形，点，在边上，若 ， ，则 的长度是( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 【解析】过点A作于，如图. 是边长为6的 等边三角形，， ， , ， ， ， ， . ， ， ， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3. 【2023江苏南通调研，较难】如图，在平面直角坐标系 中， ，延长至，连接，与轴所夹锐角为 ，若 ， ，则点 的坐标为( ) C （第3题图） A. B. C.， D.， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】如图，过点C作 轴，垂足为 ， . ， ， ， ，， .在 中，，， ， .在中， ， ，， ， ，，，，， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 思路分析 过点作轴，垂足为.根据已知易证 ，从而可得 ，然后在中求出与 的长，最后证明 ，利用相似三角形的性质即可解答 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （第4题图） 4.【2024四川成都武侯区调研，中】如图，在四边形 中， ，，，对角线平分 ， ，则 的面积为___. 9 【解析】过点作，垂足为，如图. 对角线平分 , ，. ， ，，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 5.【2024北京东城区质检，中】如图（1）是一本厚度为 的字典，封面是硬的， 翻开时不会发生弯曲.如图（2），把这本字典放在桌面上，将上面的封面 打开 角到位置时，点到的距离.现将封面打开 角 到 位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （1）求字典的封面宽 ； 【解】依题意得 ，， .在 中， ，,即字典的封面宽是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）求点到桌面的距离 . 【解】延长交于，如图.依题意得 ， ， ，，， ， .在中， ， ， , 点到桌面的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 刷素养 走向重高 6.核心素养 几何直观如图，中，，，点从点 出发，沿线段以的速度向终点运动，点从点出发，沿着 的方向以的速度向终点运动，，同时出发，设点运动的时间为 ， 的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （1）求 的值； 图（1） 【解】如图（1）,过点作，垂足为 . ，， .在 中，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围. 【解】，，.分两种情况：当 时，如图（2），过点作，垂足为.由题意得，， ， .在中， ， . 当时，如图（3）,过点作,垂足为 .由题意得, ，， ， .在 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ， . 综上, 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 （1）过点作，垂足为，利用等腰三角形三线合一的性质求出 的长， 再利用勾股定理求出 的长即可； （2）应分两种情况讨论：当时和当 时. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 $$