5.5 课时2 抛物线形问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 九年级下册 苏科版 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.5 用二次函数解决问题 课时2 抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决抛物线形物体问题 1.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高 为14的奖杯，杯体轴截面是抛物线 的一部分，则 杯口的直径 为( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 思路分析 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】令,得，解得，， ， .故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2023河北保定期末】某游乐园有一 个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的 周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物 线，在距水池中心3米处达到最高，高度 为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水 7 池中心的装饰物处汇合.如图所示，以喷水池中心为原点，水平方向为 轴，建立 直角坐标系.王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿， 身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心___米以内. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解析】由题意可知，第二象限抛物线的顶点坐标为 .设水柱所在抛物线 （第二象限部分）的函数表达式为.将 代入 ，得，解得， 水柱所在抛物线（第二象限 部分）的函数表达式为.当 时， ，解得，（舍去）， 为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.故答案为7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 知识点2 利用二次函数解决车过隧道问题 3.如图（1），一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽为，拱高为 ， 该隧道为双向车道，且两车道之间有的隔离带，一辆宽为 的货车要安全 通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于 的空隙.按如图（2）建立平 面直角坐标系，则通过该隧道的车辆高度限制应为______ . 2.29 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【解析】如图，，，设抛物线表达式为 . 由题意得 解得 抛物线表达式为 . ， 当时，, . 故答案为2.29. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 知识点3 利用二次函数解决抛物线形运动问题 4.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平 处投篮，球沿一条 抛物线运动，当球运动的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面的高度为 ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( ) A A.此抛物线的表达式是 B.篮圈中心的坐标是 C.此抛物线的顶点坐标是 D.篮球出手时离地面的高度是 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】A选项， 抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的表达式为 .由题图知篮圈中心 在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 ，， ，故本选项正确;B选项，由 题图知，篮圈中心的坐标是 ，故本选项错误；C选项，由题图知，此抛物 线的顶点坐标是 ，故本选项错误；D选项，设这次投篮时，篮球出手处离地 面的高度为.， 当 时， , 篮球出手时离地面的高度是 ，故本选项 错误.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 知识拓展 同一个抛体运动，建立的平面直角坐标系的位置不同，得到的抛物线表达式也不 同，但实际上最高点距地面的高度、落地最远距离等相同. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 5.【2024江苏南京玄武区质检】如图，某跳水运动员在10米跳 台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为 ，运动员 （将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点 的抛物 线.在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处 点的坐标为 , ，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的动作，并调 整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点 的坐标. 【解】 运动员在空中最高处点的坐标为，，点为抛物线的顶点， 设 该抛物线的表达式为. 该抛物线经过点， ， 解得， 运动员在空中运动时对应抛物线的表达式为 跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练， 令 ，即，解得或（舍去）， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 的水平距离为4米，问该运动 员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由. 【解】该运动员此次跳水不会失误.理由： 运动员在空中调整好入水姿势时，恰 好距点的水平距离为4米，点的坐标为， 运动员在空中调整好入水 姿势时的点的横坐标为3.当时， ，此时，运动员距水 面的高度为（米）， 该运动员此次跳水不会失误. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 提升 1.【2022浙江台州中考，较难】如图（1），灌溉车 沿着平行于绿化带底部边线 的方向行驶，为绿化带 浇水．喷水口离地竖直高度为（单位： ）．如 图（2），可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线 的部分图像；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度 ，竖直高 度为 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高 点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为 （单位： ）． 刷提升 返回目录 1 2 1 2 19 （1）若， ． ①求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程 ； 【解】由题意得是上边缘抛物线的顶点，设其表达式为 抛物线过点，，， 上边缘抛物线的函数表达式为 .当时，，解得， （舍去）， 喷出水的最大射程为 . ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点 的坐标； 【解】 上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移 得到的， 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 20 ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围． 【解】， 点的纵坐标为， ，解得 . ，.由抛物线的性质可知，当时，随 的增大而减小， 当时，要使，则 当时，随 的增 大而增大，且时，， 当时，要使 ，则 . ，且要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化 带，的最大值为 .对于下边缘抛物线，喷出的水能浇灌 到绿化带底部的条件是，的最小值为2.综上所述， 的取值范围是 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 21 （2）若 ．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出 的最小值． 【解】的最小值为.当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 ， 恰好分别在两条抛物线上，故设点，， ， ，则有 ，解得， 代入 得点的纵坐标为.，的最小值为 ． 刷提升 返回目录 1 2 1 2 22 思路分析 （1）③根据，求出点的坐标，利用抛物线的增减性可得 的最大值，结 合点坐标可得 的最小值； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点， 恰好分别在两 条抛物线上，故设点的横坐标为，则点的横坐标为 ,再代入函数表达式， 分别用 表示出纵坐标，然后再进行计算. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 23 刷素养 走向重高 2.核心素养 模型观念【2023浙江温州洞头区期末，较难】根据以下素材，探索完 成任务. 如何确定隧道中警示灯带的安装方案 素 材 1 隧道顶部横截面可视为抛物线，如图（1），隧道底部 宽为，高为 ______________________________________ 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 24 如何确定隧道中警示灯带的安装方案 素 材 2 拟在隧道顶部安装上下长度为 的警示灯带，沿抛 物线安装（如图（2））.为了实效，相邻两条灯带的 水平间距均为 （灯带宽度可忽略）；普通货车的 高度大约为 （载货后高度），货车顶部与警示灯 带底部的距离应不少于 .灯带安装好后成轴对称 分布 ______________________________________________ 图（2） 续表 刷提升 返回目录 1 2 1 2 25 问题解决 任务1 确定隧道形状 在图（1）中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式 图（1） 【解】以为原点，以所在直线为轴，以所在的直线为 轴建立如图（1）所示的直角坐标系. 顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为.把 代入表达式，得 ，解得， 抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 26 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围 【解】 普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ， 安装点的纵坐标当 时， ，， 安装点的横坐标的取值范围是 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 27 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有安装条件的灯带数量，并根据你所建立的坐标系，求出最右边 一条灯带安装点的横坐标 【解】方案一：如图（2）（坐标系的横轴），从顶点处开始安装灯带. ，相邻两条灯带安装点的水平间距均为， 顶点一侧安装4条 灯带时，，顶点一侧安装3条灯带时，， 顶点一侧 最多安装3条灯带. 灯带安装后成轴对称分布， 共可安装7条灯带， 最右边一 条灯带的横坐标为 . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 28 方案二：如图（3）（坐标系的横轴） 顶点一侧安装5条灯带时， ，顶点一侧安装4条灯带时，， 顶 点一侧最多安装4条灯带. 灯带安装后成轴对称分布， 共可安装8条灯带， 最 右边一条灯带的横坐标为 .（由于（1）中建立坐标系方法不唯 一，故（2）（3）答案不唯一） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 29 关键点拨 任务2：根据普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不 少于 ，计算安装点的纵坐标大于等于3.2. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 30 $$