第26章 26.2.1 二次函数y=ax^2的图象与性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第26章 二次函数 4 26.2 二次函数的图象与性质 1.二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象 1.【2024湖北荆州沙市区期中】二次函数 的图象是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 抛物线的对称轴是轴，顶点为 .由 可知，抛物线开口向下，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2023广东珠海质检】抛物线，，， 中，开 口最大的是抛物线( ) A A. B. C. D. 【解析】二次函数中， 的值越小，函数图象的开口越大. ， 抛物线，，， 中，开口最大的是抛物线 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 技巧点拨 二次函数中，决定抛物线的开口大小，越大，开口越小； 越小，开口越大. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 3. 开放性试题【2023四川乐山期中】若二次函数 的图象开口向上， 则实数 的值可能是_________________________________. 5（答案不唯一，只要是正数即可） 【解析】 二次函数的图象开口向上，， 的值可能是5. （答案不唯一，只要是正数即可） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.【2023福建厦门思明区调研】在如图的平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 【解】列表： … 0 1 3 … … 3 0 3 … 描点、连线，函数图象如下： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 知识点2 二次函数 的性质 5.若二次函数的图象经过点 ，则该图象必经过点( ) A A. B. C. D. 【解析】 二次函数的图象的对称轴为轴， 若图象经过点 ， 则该图象必经过点 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 思路分析 先确定出二次函数图象的对称轴为 轴，再根据二次函数图象的对称性进行解答. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 6.【2023北京昌平区期末】关于四个函数，， ， 的共同点，下列说法正确的是( ) C A.图象开口向上 B.图象都有最高点 C.图象对称轴都是轴 D.随 增大而增大 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 【解析】 A ，图象开口向上，，图象开口向下，则与 的图 象开口向下，A选项错误 B 开口向上时，图象有最低点，开口向下时，图象有最高点， 与 的图象有最低点，B选项错误 C 的图象的对称轴是 轴，C选项正确 D 开口向上时，在对称轴右侧，随 增大而增大；开口向下时，在对称轴左 侧，随 增大而增大，D选项错误 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 7.【2023重庆万州区质检】已知抛物线过， 两点， 则下列关系一定正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】关于轴的对称点的坐标为，且, ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 8.【2023四川成都金牛区调研】已知点,是函数 的图 象上的两点，且当时，有，则 的取值范围是_______. 【解析】 当时，有，，.故 的取值范围 是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 9.【2023山东烟台栖霞期末】如图，圆的半径为2， 是函数 的图象，是函数 的图象，则阴影部分的面积是 ____. 【解析】是函数的图象，是函数 的图象，且 当的值相等时，两个函数的函数值互为相反数， 函数 的图象与函数 的图象关于轴对称， 阴影部分面积即是半圆面积， 阴影部分的面 积为 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 10.【2024河南开封质检】已知函数是关于 的二次函数. （1）求 的值. 【解】 函数是关于的二次函数， 解 得，.故的值为 或1. （2）当 为何值时，该函数图象的开口向下？ 【解】 函数图象的开口向下，，， 当 时，该函 数图象的开口向下. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 （3）当 为何值时，该函数有最小值？ 【解】当抛物线有最低点时，函数有最小值，，， 当 时，该函数有最小值. （4）试说明函数图象的增减性. 【解】当时，,时，随的增大而增大，时，随 的 增大而减小； 当时，,时，随的增大而减小，时，随 的增大 而增大. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 刷易错 易错点 求最值时，忽略自变量的取值范围致错 11.【2023四川攀枝花调研】已知二次函数，当自变量在 范围内 时，函数的最大值和最小值分别是______. 25,4 【解析】 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 在 范围内，当时，取最小值，为4，当时， 取最大值，为 .故答案为25,4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 易错警示 本题容易忽视自变量在范围内这一条件，直接误认为 时，函数取 最小值致错. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 提升 1.【2023四川成都质检，中】已知是二次函数，且当 时， 随的增大而减小，则 的值为( ) B A.1 B. C.1或 D. 或2 【解析】是二次函数， 解得 或 当时，随的增大而减小， 抛物线开口向下，即 ， ， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 2.【2024重庆渝中区期中,中】如图，下列选项中，函数与 的 图象可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】当时， 的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数 的图象是一条直线，经过第一、二、三象限；当时， 的图 象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数 的图象是一条直线，经过 第二、三、四象限，故选项A正确，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 3.【2023陕西延安一模，中】如图是四个二次函数的图象，则,,, 的大小关系 为______________.（用“ ”连接） （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】 如图，作直线.因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为 ， ，，，所以.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 关键点拨 当 时，函数值分别等于各函数的二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐 标的大小即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 4. 开放性试题【2023浙江舟山质检，中】在平面直角坐标系 中，点 ，，的图象如图所示，则 的值可以为_________________. 1（答案不唯一） （第4题图） 【解析】因为当时，，即；当时，，即 ，解 得，所以 .故答案为1（答案不唯一）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 5.【2024江苏苏州校级期中，中】如图，正方形的边长为4，与 轴负半 轴的夹角为 ，点在抛物线上，则 的值为_ ____. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （第5题图） 【解析】如图，作轴，垂足为点，连结 四边形 是边长为4的正方形， ， . ， ， ， ，.将点 坐标代入抛物线表达 式，得，解得 .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 关键点拨 要想确定的值，只需确定抛物线上 点的坐标即可.根据已知条件和正方形的性 质求出长和长即可求出点的坐标，代入即可求出 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （第6题图） 6. 【2023吉林长春九台区一模，中】如图，抛物线 的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点， （点在点左侧），根据对称性知 恒为等腰三角形.我们 规定：当为直角三角形时，就称 为该抛物线的“完 美三角形”，则抛物线的“完美三角形”的斜边 的长为 ___. 2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （第6题图） 【解析】过点作轴于，如图所示.由题意得 为等腰直角三角形， 轴， ，是等腰直角三角形.设点 坐标为 点在抛物线上，，或 （不合题意， 舍去）， 点坐标为， 点坐标为， .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7.【2023广东惠州惠阳区质检，较难】如图，点，，， ， 在抛物线 上，点，，，， ，在轴上，若， ， ，都为等腰直角三角形（点 是坐标原点），则 的腰长等于_________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 如图，作轴，轴，轴，垂足分别为， ， ，都是等腰直角三角形， ， ， 设.将点的坐标代入得，解得 （不符合题意）或.由勾股定理得，则.过作 轴， 过作.设点，可得，.又 点在抛物线上，，即，解得或 （不合题意， 舍去），则.同理可得，， ， ，的腰长为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 关键点拨 利用等腰直角三角形和点的坐标关系求出第一、二个等腰直角三角形的腰长，观 察规律可得结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 刷素养 走向重高 8.思想方法 数形结合【2024江苏常州质检，难】规定：如果一个凸四边形有一组 对边平行，一组邻边相等，那么称此凸四边形为广义菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 39 （1）下列图形是广义菱形的有：______. ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形. ③④ 【解析】根据广义菱形的定义进行判断：①平行四边形符合一组对边平行，不符 合一组邻边相等，不是广义菱形；②矩形符合一组对边平行，不符合一组邻边相 等，不是广义菱形；③菱形符合一组对边平行，且一组邻边相等，是广义菱形； ④正方形符合一组对边平行，且一组邻边相等，是广义菱形.故答案为③④. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 40 （2）若，的坐标分别为，，是二次函数 在第一象限内的 图象上的任意一点，垂直直线于点，试说明四边形 是广义菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 41 【解】如图（1），由题意，设点,，则 ， ， ，.又与直线 垂直， ， 四边形 是广义菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 42 （3）如图，在反比例函数的图象上有一点，在 轴上有一点 ，请你在轴和反比例函数的图象上分别找出两点， ，使 得四边形是广义菱形且，请求出， 的坐标. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 43 【解】由题意，设， ， ， ., ， 解得，.四边形是广义菱形时，有两种情况：当 时，如 图（2），作垂直于轴，垂直于轴，与交于点 ， ，轴，， ， .设,.，，， ， 解得或（此时与重合，舍去）， ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 44 当时，如图（3），作垂直于 轴， 垂直于轴，与交于点，作 垂直于 轴于点， ， 轴， ， ，. ， ，，，.设,.， ，， ，解 得或（舍去）， .综上可得， ，或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 45 思路分析（2）设点，则.根据两点间距离公式求出, ,得 出 ,即可得结论. （3）设.用表示出,,由求出 的值.根据广义菱形的定义结 合,分和 两种情况讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 46 $$