第24章 24.6 课时2 正多边形的性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第24章 圆 4 24.6 正多边形与圆 课时2 正多边形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的性质 1.【2023福建龙岩期末】将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形.例 如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形.下列图形：①正方 形；②长方形；③正五边形；④六边形.其中是双心多边形的有( ) B A.①②④ B.①③ C.①④ D.②③④ 【解析】根据正多边形既有外接圆又有内切圆可知正方形、正五边形都是双心多 边形， 双心多边形有①③，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 归纳总结 任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但正多边形一定有外接圆和内切圆. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.一个正多边形绕它的中心旋转 后，就与原正多边形第一次重合，那么这个 正多边形( ) C A.是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.既是轴对称图形，又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【解析】 一个正多边形绕着它的中心旋转 后，与原正多边形第一次重合， ， 这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中 心对称图形．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 正多边形的计算 3.如图，螺母的外围可以看作是正六边形 ，已知这个正六边 形的半径是2，则它的周长是( ) C A. B. C.12 D.24 【解析】设正六边形的中心为，连接，，如图所示. 是正 六边形的中心， ， ，， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为 ．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2024安徽安庆期末】下列说法正确的是( ) C A.等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为 B.正方形的内切圆与外接圆半径之比为 C.正六边形的内切圆与外接圆半径之比为 D.以上说法都不正确 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】如图（1），正三角形的外接圆半径为，内切圆半径为 ， ，所以 ，因此A选项不符合题意；如图 （2），正方形的外接圆半径为，内切圆半径为 ， ，所以 ，因此B选项不符合题意；如图 （3），正六边形的外接圆半径为，内切圆半径为 ， ，所以 ，因此选项C符合题意.故选C. 图（1） 图（2） 图（3） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 5.【2024安徽合肥蜀山区期末】如图，正五边形内接于 ， 点在弧上.若 ，则 度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，连接， 五边形 是正五边形， ， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 关键点拨 根据正五边形的性质得出 的度数是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 6. 传统文化【2024湖北黄冈期末】斛是中国古代的一种量器. 据《汉书·律历志》记载：“斛底，方而圜 其外，旁有庣 焉.”意思是说：“斛的底面为正方形外接一个圆，此圆外是 一个同心圆.”问题：如图，现有一斛，其底面正方形外接圆的同心 【解析】如图，由题意知四边形为正方形， ， ，为内圆直径， .由题意得 ， ，.故答案为 . 圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆 的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为____尺.（注：尺、寸为古 代长度单位） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 7.如图，已知正六边形内接于 ，图中阴影部分的面积 为，则 的半径为___. 4 【解析】阴影部分的面积等于一个正三角形的面积，设正三角形边 长是，则其面积.由题意得 , 解得 （负值已舍去）,则正三角形的高 ,所以的半径 .故答 案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 8.万佛塔位于安徽省亳州市蒙城县城内东南隅， 始建于宋崇宁元年（1102年），又名插花塔、 兴化寺塔、慈氏寺塔，整座塔为八角十三层楼 阁式砖塔，高，塔底直径为 ，因塔体 内外镶嵌佛像八千余尊而得名，如图（1）.其 正八边形的地基 的示意图如图 （2）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （1）求地基的中心到边缘的距离 的长； 【解】连接,由正八边形的性质得 ， . 又， 在中， 故地基的中心到边缘的距离的长约为 . （2）已知塔的墙体宽为 ，现要在塔的底层中心建一圆柱体，四周雕刻佛像， 并且留出最窄处为 的观光通道，问圆柱体的底面半径最大是多少？ （参考数据： 22.，结果精确到 ） 【解】 ． 圆柱体的底面半径最大为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 提升 （第1题图） 1.［中］如图，，分别为 的内接正三角形和内接正四边 形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则 的值 为( ) C A.8 B.10 C.12 D.15 【解析】如图，连接，，，分别为 的内接正三 角形与内接正四边形的一边， ， ， ， ．故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （第3题图） 2.［中］半径为4，以 的内接正三角形、正方形、正六 边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】如图（1），为的内接正三角形，作于 ，连接 ，.如图（2），四边形 为 的内接正方形，作于，连接 ， .如图（3），六边形为 的内接正六边形， 作于，连接 ， ， ，， 半径为4的圆内接正三角形、正方形、 正六边形的边心距分别为2，，.， 以三条边心 距为边所作的三角形为直角三角形， 该三角形的面积为 ．故 选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 关键点拨 分别求出 的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.【2023安徽亳州质检，较难】已知四个正六边形如图所示摆放在圆中，顶点 ， ，，，， 在圆上.若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长均 是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，连接交于，则点是圆心，过点 作 于，连接，易知，,,C共线，取的中点 ， 连接，.由对称性可知， ，由正 六边形的性质可得 ， ， .由正六边形的性质可知， ， 都是正三角形， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 4.【2024黑龙江绥化期末，中】如图，正六边形 的边长为2，正六边 形的外接圆与正六边形 的各边相切，正六边形 的外接圆与正六边形 的各边相切……按这样的规律进 行下去， 的边长为_ ____． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 【解析】连接，， ，如图所示. 六边形为正六边形， ， ,为等边三角形. 正六边形 的外接圆与正六边形 的各边相切， ，， 正六边形 的边长为 ，同理可得正六边形 的边长为， 正六边形 的边长为.故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 5.【2024四川泸州一模，较难】如图，正方形内接于 ，线段 在对角线上运动，若的面积为 ，，则 周长 的最小值为___. 4 【解析】如图，连接，的面积为 ，则的半径为 ，则 .由正方形的性质知，点是点关于的对称点，过点 作，且使，连接交于点，连接 ， 且， 四边形为平行四边形，则，故 的 周长为，此时周长最小. 易得 ,， 的周长的最小值为 ，故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.［较难］小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心 的正多边形，使其 边长最大且能在正方形内自由旋转.如图（1），若这个正多边形为正六边形，此 时___；如图（2），若这个正多边形为正三角形，当正三角形 可以绕着 点在正方形内自由旋转时， 的取值范围为______________. 5 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】如图（1），连接，，作正方形的内切圆 ，由正六边形 可得，是等边三角形，.由作图可得， 的直径为10， 即，.如图（2），作正方形的内切圆，作 的 内接正三角形，此时最大，连接，， ， .延长交于点，则， ， ，，，的取值范围为 . 故答案为5， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力［较难］如图，在正九边形中，过顶点 作对 角线，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （1）求证：平分 ； 【证明】如图，设为正九边形的中心，连接 ， ，，， ，则 ， . ， . 易知 .又， ， ， ，即 ，平分 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）求 的度数； 【解】 ，且 ， .易知 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （3）求证： . 【证明】如图，在上截取，连接,,由（2）得 ， ,是等边三角形， ， . ， ， . 又 ， ， . 又， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 技巧点拨 正多边形中常见的辅助线有两种：一种是添加正多边形中心与顶点的连线和边心距， 通过构造直角三角形解题；另一种是添加辅助圆，利用正多边形和圆的关系解题． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 $$