第26章 反比例函数（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第26章 反比例函数（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山西太原·期末）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且，则下列说法错误的是（　　） A．存在一个m，使得 B． C．m的值不可能为2 D．当时，则 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若反比例函数的图象上有三点，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当且时， 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过，则下列说法不正确的是（    ） A． B．函数图象位于第一、三象限 C．已知点，连接OB，BD，则 D．若，则 8．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为（    ） A．3 B． C． D．6 9．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 10．（2022·山东滨州·二模）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·上海普陀·三模）构造函数，建系法是解决数学问题的常用方法，不等式：的解集为 12．（23-24九年级上·四川成都·期末）若有六张完全一样的卡片正面分别写有，，0，1，2，3，现背面向上，其上面的数字能使关于x的分式方程的解为正数，且使反比例函数的图象过第一、三象限的概率为 ． 13．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 14．（2023·山东临沂·中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 15．（2024八年级·全国·竞赛）如图，点P是反比例函数图象上一个动点，矩形的面积为a，直线分别交y轴、，x轴于点C，D，E，F，则 ．    16．（23-24九年级下·山东烟台·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点E，若四边形是矩形，且点C在反比例函数的图象上，点A在直线上，连接交于点F，则k的值为 ． 17．（2024·安徽池州·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标是，O是坐标原点，点C是的中点，过点C作交反比例函数图象于点D，分别过点C，D作x轴的垂线，分别交x轴于F，E两点．则 （1） ； （2） ． 18．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，，点E是的中点，连接，点P是线段上的一动点，从E向B运动，连接，点M是的中点，连接，反比例函数的图像经过点M，当取得最小值时，k的值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，，都是等腰直角三角形，点在的图象上，斜边都在x轴上，求点的坐标． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．   (1)点O到直线的距离为 ； (2)求y与x的函数解析式． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． (1)求反比例函数的表达式 (2)请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ (3)点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D A A D D C B 1．C 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 【详解】解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合． 先画出函数图象，根据函数的图象即可得． 【详解】解：如图所示， 根据函数图象得，； 故选：A． 4．D 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合，勾股定理的运用，根据正比例函数与反比例函数的图象和性质结合已知条件一一判断即可． 【详解】解：A、当时，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，，则，故说法正确； B、正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则A、B关于原点对称，所以，故正确； C、反比例函数y的图象在二、四象限，而正比例函数在一、三象限，两函数图象不会相交，所以m的值不可能为2，故正确； D、由题意可知A在第二象限，点B在第四象限，当时，则，故错误， 故选：D．    5．A 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 【详解】∵，， ∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵三点在双曲线上， ∴当时，，则：，故A选项正确，符合题意； 当且时，，当且时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，则：，故C选项错误，不符合题意； 当且时，则： ；当且时，则：，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．根据一次函数与反比例函数的图象，得到，，，从而得到二次函数的开口方向、对称轴以及与轴交点，再根据当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，得出，即可确定图象． 【详解】解：由函数图象可知，，，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴， 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时，，即， A选项图象符合题意， 故选：A． 7．D 【分析】结合题意，根据反比例函数的性质，通过列一元一次方程，得，根据反比例函数图像的性质，得反比例函数的图象位于第一、三象限；根据反比例函数的递增性分析，即可完成求解． 【详解】∵反比例函数的图象经过 ∴ ∴，即选项A正确； ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，即选项B正确； ∵反比例函数的图象经过 ∴ ∴ ∵， ∴轴，， ∴，即选项C正确； 当时，则；当时，则，即选项D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解． 8．D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E，推出为反比例函数图象的对称轴，通过证明，得出，的面积，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点C，过带你B作轴于点D，过点O作于点E， 由旋转可知， ∵， ∴点A和点B关于对称，， ∴为反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴的面积， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算． 设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ∴， 点，在反比例函数的图象上， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 10．B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 11．或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．令，，画出函数图象，根据函数图象在函数图象上方部分的自变量取值范围，即可解不等式． 【详解】解：令，， 函数图象如下： 当或时，函数图象在函数图象上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或 12．/0.5 【详解】本题主要考查了概率公式；求出使分式方程有正数解的情况是解决本题的关键． 依据题意，由关于x的分式方程的解为正数，从而，且，故可得k的范围，再由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出k的可能值，然后由概率公式进行计算可以得解． 【解答】解：∵关于x的分式方程的解为正数， ∴且． ∴，且． ∴，0，2，3． 又∵反比例函数图象过第一，三象限， ∴，即． ∴，0，2． 综上，k的取值共有6种等可能情形， ∴满足题意的概率为：． 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，根据题意，作图分析，设，则，由此可得，由此即可求解，掌握反比例函数，一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 设，则， ∴， 当时，，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，点的坐标为， 故答案为：或 ． 14．②③④ 【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可． 【详解】解：列表， x 1 2 y 3 3 5 描点、连线，图象如下，        根据图象知： ①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型． 15． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，先求出反比例函数关系式，再根据等腰直角三角形的性质，可得，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，平行于轴直线上的点的纵坐标相等，可得，，根据勾股定理，可得、的长，再求解即可 【详解】解：设点坐标为，由，即， 所以反比例函数解析式为； 一次函数中， 当时，，当时，， ∴ 即， ， 设横坐标为，纵坐标为， 则有，， 则，， 故答案为： 16． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，求反比例函数解析式，先求出得到，再由矩形的性质得到，则；设，由勾股定理得到，解方程求出，再由点F为中点，得到，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，交于点F， ∴， ∴ 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵点F为中点， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，两点间距离公式，勾股定理等： （1）将代入和，求出a，k的值，即可求解； （2）联立一次函数和反比例函数解析式，求出点B的坐标，根据中点公式求出点C的坐标，设点D的坐标为，利用两点间距离公式表示出，，，根据勾股定理可得，求出点D的坐标，则． 【详解】解：（1）将代入，得：，解得， 将代入，得：，解得， ； （2）由（1）知直线的解析式为，反比例函数解析式为， 联立， 解得或， ， 点C是的中点， ，即， 如图，连接， 设点D的坐标为， 则，，， ， ， ， 解得：（负值舍去）， 点D的坐标为， ． 故答案为：（1）；（2）． 18． 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，二次函数的最值，矩形的性质，构建二次函数确定点的坐标是解题的关键． 先用待定系数法求直线的解析式，再设点P的坐标为：，用含的代数式表示点的坐标，建立关于的二次函数，求出当AM取得最小值时的值，再写出点的坐标，用待定系数法求k的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， ∵点P是线段上的一动点， ∴设点P的坐标为：， ∵点M是的中点， ∴ ， ∵， ∴时，取得最小值，即取得最小值， 此时，， ∵反比例函数的图像经过点M， ∴， 故答案为：． 19．(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 20．点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，因而，因而可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， 是等腰直角三角形， ∴， ， 设点的坐标是， 把代入解析式得到， 的坐标是， 则， 是等腰直角三角形，过点作轴于， 设的纵坐标是， 横坐标是， 把的坐标代入解析式， ， （负值已舍）， 点的横坐标为， 点的横坐标是， 点的坐标是． 21．(1)3 (2) 【分析】（1）连接，与相切于点E，推导出半径，即点O到直线的距离即为圆的半径，据此解答； （2）首先作交于F，可得四边形是矩形；然后根据切线长定理得到，，则；在直角中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】（1）解：如图1，连接，      ∵与相切于点E， ∴半径， ∴即为点O到直线的距离， ∵， ∴， （2）作交于F．如图2，    ∵、与切于点定A、B， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∵切于E， ∴， ， 则， 在中，由勾股定理得：， 整理为， ∴y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长的定理的应用，圆周角定理以及直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，反比例函数的应用等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题． 22．(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）有（1）得点， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 则得解集为：或，； （3）∵点是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵且， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 故答案：. 23．(1) (2)这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为 （2）解：当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 24．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式求出，，根据，得出点P的横坐标为，把代入得出点P的纵坐标为，即，根据，求出，得出，代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数解析式； （2）先求出一次函数图象与反比例函数图象的另外一个交点的坐标，然后根据函数图象得出x的取值范围即可； （3）根据菱形的性质得出，，说明点N为的中点，根据，，得出，根据轴，得出轴，说明点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的纵坐标为，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：． （2）解：根据解析（1）可知：， ∴一次函数的解析式为：， 令， 解得：或， 把代入得：， ∴反比例函数图象与一次函数图象的另外一个交点的坐标为， ∴根据函数图象可知：当或时，一次函数的值不大于反比例函数的值； （3）解：设交于点N； ∵四边形为菱形， ∴，， 即点N为的中点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，菱形的性质，求一次函数解析式，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$