专题10 三角计算-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题10 三角计算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握两角和差的计算公式 · 掌握二倍角公式 · 了解正弦型函数的图像与性质 · 理解正余弦定理 · 掌握三角形面积公式 考点预测 · 和差角公式 · 二倍角公式 · 正弦型函数的图像与性质 · 正余弦定理在解三角形中的应用 · 理解三角计算在实际问题中的应用 要点自测 （一）三角恒等变换 和差角公式 （1） . （2） . （3） . 二倍角公式 （1） . （2） = = . （3） . 辅助角公式 . . a满足： a≠0 。 （二）的图像和性质 作图 五点法，依次取＝ 0 周期 T＝ 概念 振幅 A ；周期T＝ ；初相 ；相位 。 图象 函数的图象与图象间的关系 ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向 左右平移 个单位得到的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得到函数的图象； ③函数图象的 横 坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向 上下平移 ，得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位 （三）解三角形 要点 定义 正弦定理 （其中为外接圆的半径） 余弦定理 三角形面积公式 考点突破 考点1 两角差公式 【例1】的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两角和的正弦公式即可求解. 【详解】， 故选：B. 【例2】 ． 【答案】/ 【解析】逆用余弦差角公式可求. 【详解】； 故答案为：. 【例3】已知，是方程的两根，则 ． 【答案】2 【分析】根据韦达定理及两角和的正切公式求解. 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴. 故答案为：2. 【突破训练】下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正余弦公式即可求解. 【详解】对A，，故A错误. 对B，，故B错误. 对C，，故C错误. 对D，，故D正确. 故选：D. 考点2 二倍角公式 【例4】计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二倍角的余弦公式计算. 【详解】. 故选：B. 【突破训练】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正切公式求值即可. 【详解】． 故选：C. 考点3 正弦型函数的图像与性质 【例5】 的振幅、频率和初相分别为 （    ） A．2， ， B．2， ， C．2， ， D．2，， 【答案】C 【解析】根据函数解析式中参数的意义即可得解. 【详解】根据函数， 可得振幅为2，最小正周期，频率为，初相为. 故选：C. 【突破训练】把函数的图像经过______的操作可以得到的图像．（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦型函数图像的变化规律，结合题意即可求解. 【详解】因为函数， 所以把该函数图像经过向右平移个单位的操作可以得到的图像． 故选：B． 考点4 三角形面积公式 【例6】在中，若，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据三角形面积公式进行计算. 【详解】在中，若，，， . 故选：D. 【突破训练】在中，，，，则的面积是（    ） A．200 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式即可求解. 【详解】如图所示，    过点B作. 因为，.所以 所以 所以. 故选：C. 考点5 正弦定理 【例5】已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件，利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以. 故选：B. 【突破训练】海上两个小岛相距千米，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则间的距离是（ ） A．5千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】根据三角形内角之间的关系和正弦定理即可解得. 【详解】由题意得，在中，， 由正弦定理得，所以（千米）. 故选：B 考点6 余弦定理 【例8】已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大. 所以. 故选：B. 【突破训练】已知的内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求值即可. 【详解】已知，，， 由余弦定理得， ，所以. 故选：B. 考点7 三角计算在实际问题中的应用 【例9】如图，已知点A位于点B的右上方，若从点B位置观察点A位置的仰角为40°，则从点A位置观察点B位置的俯角为（    ） A．40° B．50° C．130° D．140° 【答案】A 【分析】通过俯角和仰角的概念即可得出两角的位置，再利用内错角相等求出俯角. 【详解】从点B位置观察点A位置的仰角与从点A位置观察点B位置的俯角互为内错角，大小相等. 所以从点A位置观察点B位置的俯角为40°. 故选：A 【突破训练】如图所示，海岛在海岛南偏西35°方向，测得、两岛之距离为2.5海里；海岛在海岛南偏东55°方向，测得、两岛之距离为6海里，则、两岛之距离（    ）    A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】由题可知，在中，，利用勾股定理可求解. 【详解】由题意， 在中，，（海里），（海里）， 所以（海里）. 故选：A 模拟演练 一、选择题 1．（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由两角和的正弦公式可求解. 【详解】由两角和的正弦公式可知 . 故选：C 2．若，则在第______________象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】由诱导公式化简，再由三角函数的符号判断在第几象限即可. 【详解】因为， 由诱导公式可得，得， ，得，则在第二象限， 故选：B． 3．下列函数中，与有相同最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的最小正周期即可判断. 【详解】的最小正周期为， A选项，的最小正周期为， B选项，的最小正周期为， C选项，的最小正周期为， D选项，的最小正周期为. 故选：D. 4．已知点是角的终边上一点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可求得、的值，再利用二倍角公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 所以，. 故选：A. 5．已知在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为,，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先通过余弦定理对已知条件化简整理，得出之间的关系，然后再对化简整理，结合正弦定理和之间的关系即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， 从而可得，，化简得， 即，所以，故， 又因为， 由正弦定理可知，. 故选：A 6．已知在中，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据角的范围，特殊角的三角函数值求解. 【详解】在中， ， . 故选：A 7．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】解： . 故选：B. 8．若，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】代两角差的正切公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 9．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图。由题意得，从而可得，给等式两边平方化简后得，从而可求出，而，进而可求得答案 【详解】由题意得，因为， ， 所以，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 故选：D 10．把函数的图像经过______的操作可以得到的图像．（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦型函数图像的变化规律，结合题意即可求解. 【详解】因为函数， 所以把该函数图像经过向右平移个单位的操作可以得到的图像． 故选：B． 11．在中，，，，则的面积是（    ） A．200 B． C．100 D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式即可求解. 【详解】如图所示，    过点B作. 因为，.所以 所以 所以. 故选：C. 12．在中，若，，，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理解三角形，三角形内角和为的特点求解即可. 【详解】由正弦定理可知，所以， 由此可得或， 当时，，显然不符合题意，故舍去； 即. 故选：D. 13．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理直接求解. 【详解】由余弦定理可得， . 故选：A. 二、填空题 14．求值： ． 【答案】0 【分析】根据二倍角的余弦公式即可解得. 【详解】解： 故答案为：0. 15．已知θ为第三象限的角，且，则 . 【答案】 【分析】由余弦的二倍角公式直接得解. 【详解】根据余弦的二倍角公式==. 故答案为：. 16．已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则 . 【答案】 【分析】根据已知可以得到三条边的比例关系，再利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以，可设 利用余弦定理： . 故答案为： 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是 （填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）． 【答案】直角三角形 【分析】利用正弦定理或余弦定理化简即可. 【详解】方法一： 所以的形状是直角三角形. 方法二： 又 又 即 所以的形状是直角三角形. 故答案为：直角三角形. 18．若是方程的解，其中，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】得到，结合，从而列出方程，求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 故或，解得或. 故答案为： 19．求值： ． 【答案】/ 【分析】根据条件，逆用正切的和角公式即可求出结果. 【详解】因为 ， 故答案：. 20．如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝ ． 【答案】 【分析】结合题意得到,所以周期,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN的高为2， ∵△MPN为直角三角形，∴根据对称性知△MPN为等腰直角三角形，即MN＝4， 即三角函数的周期T＝8，由T8，得ω， 故答案为:. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题. 21．函数的最小值是 . 【答案】/ 【分析】将函数中进行换元，再根据的值域确定自变量的定义域，根据一元二次函数求最值即可解得. 【详解】由题， 其中， 则令， 则， 函数图像为开口向下的抛物线，且对称轴为， 则时最小值为， 即函数最小值为. 故答案为：. 三、解答题 22．已知，求和的值. 【答案】答案见解析 【详解】分析：本题没有指出角的范围，但可以根据角的正弦值为正，判断角为第一、二象限角. 解：因为，所以角可能为第一、二象限角， （1）当为第一象限角时，，. （2）当为第二象限角时，当时，，. 评注：对于角的终边不确定的情况，要根据已知条件讨论. 23．利用“五点法”作出函数的图象. 【答案】作图见解析 【分析】利用五点作图法即可得解. 【详解】列表： 则函数的图象如下图所示： . 24．在中，，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】由正弦定理边化角即可证明. 【详解】因为，所以 ， 根据正弦定理，得，即， 所以， 同理可证，， 所以， 所以是等边三角形. 25．三角形三角，，所对三条边为，，，若，，，求 (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，结合题干条件即可求解. （2）根据同角三角函数基本关系式求得，结合已知条件与正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为. 所以由余弦定理得：. 所以. 所以. （2）因为,为三角形的内角. 所以. 因为. 所以由正弦定理得：. 26．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且． (1)求∠A； (2)若，△ABC的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：，结合，可得的值，结合是锐角，可求的值． （2）由三角形的面积公式可求的值，由余弦定理即可解得的值． 【详解】（1）由得， ∴， 由∠A为锐角得． （2）， ∴， 由得． $$专题10 三角计算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握两角和差的计算公式 · 掌握二倍角公式 · 了解正弦型函数的图像与性质 · 理解正余弦定理 · 掌握三角形面积公式 考点预测 · 和差角公式 · 二倍角公式 · 正弦型函数的图像与性质 · 正余弦定理在解三角形中的应用 · 理解三角计算在实际问题中的应用 要点自测 （一）三角恒等变换 和差角公式 （1） . （2） . （3） . 二倍角公式 （1） . （2） = = . （3） . 辅助角公式 . . a满足： 。 （二）的图像和性质 作图 五点法，依次取＝ 周期 T＝ 概念 振幅 ；周期T＝ ；初相 ；相位 。 图象 函数的图象与图象间的关系 ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向 个单位得到的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得到函数的图象； ③函数图象的 坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向 ，得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位 （三）解三角形 要点 定义 正弦定理 . 余弦定理 . 三角形面积公式 . 考点突破 考点1 两角差公式 【例1】的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两角和的正弦公式即可求解. 【详解】， 故选：B. 【例2】 ． 【答案】/ 【解析】逆用余弦差角公式可求. 【详解】； 故答案为：. 【例3】已知，是方程的两根，则 ． 【答案】2 【分析】根据韦达定理及两角和的正切公式求解. 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴. 故答案为：2. 【突破训练】下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点2 二倍角公式 【例4】计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二倍角的余弦公式计算. 【详解】. 故选：B. 【突破训练】若，则（ ） A． B． C． D． 考点3 正弦型函数的图像与性质 【例5】 的振幅、频率和初相分别为 （    ） A．2， ， B．2， ， C．2， ， D．2，， 【答案】C 【解析】根据函数解析式中参数的意义即可得解. 【详解】根据函数， 可得振幅为2，最小正周期，频率为，初相为. 故选：C. 【突破训练】把函数的图像经过______的操作可以得到的图像．（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 考点4 三角形面积公式 【例6】在中，若，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据三角形面积公式进行计算. 【详解】在中，若，，， . 故选：D. 【突破训练】在中，，，，则的面积是（    ） A．200 B． C．100 D． 考点5 正弦定理 【例5】已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件，利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以. 故选：B. 【突破训练】海上两个小岛相距千米，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则间的距离是（ ） A．5千米 B．千米 C．千米 D．千米 考点6 余弦定理 【例8】已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大. 所以. 故选：B. 【突破训练】已知的内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 考点7 三角计算在实际问题中的应用 【例9】如图，已知点A位于点B的右上方，若从点B位置观察点A位置的仰角为40°，则从点A位置观察点B位置的俯角为（    ） A．40° B．50° C．130° D．140° 【答案】A 【分析】通过俯角和仰角的概念即可得出两角的位置，再利用内错角相等求出俯角. 【详解】从点B位置观察点A位置的仰角与从点A位置观察点B位置的俯角互为内错角，大小相等. 所以从点A位置观察点B位置的俯角为40°. 故选：A 【突破训练】如图所示，海岛在海岛南偏西35°方向，测得、两岛之距离为2.5海里；海岛在海岛南偏东55°方向，测得、两岛之距离为6海里，则、两岛之距离（    ）    A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 模拟演练 一、选择题 1．（    ） A． B． C． D．1 2．若，则在第______________象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 3．下列函数中，与有相同最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点是角的终边上一点，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为,，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知在中，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．若，，则（    ） A．3 B． C． D． 9．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 10．把函数的图像经过______的操作可以得到的图像．（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 11．在中，，，，则的面积是（    ） A．200 B． C．100 D． 12．在中，若，，，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 13．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．求值： ． 15．已知θ为第三象限的角，且，则 . 16．已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则 . 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是 （填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）． 18．若是方程的解，其中，则的取值集合是 . 19．求值： ． 20．如图，点P是函数y＝2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若△MPN为直角三角形，则ω＝ ． 21．函数的最小值是 . 三、解答题 22．已知，求和的值. 23．利用“五点法”作出函数的图象. 24．在中，，求证：是等边三角形． 25．三角形三角，，所对三条边为，，，若，，，求 (1)， (2) 26．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且． (1)求∠A； (2)若，△ABC的面积为，求的值． $$