专题02 二次函数（3种经典基础练+5种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题02 二次函数（3种经典基础练+5种优选提升练） 二次函数的图象和性质（共19题） 1．（2023秋•莲池区期末）下列函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：．是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； ．函数关系式不是整式，不是二次函数，故不符合题意； ．，的最高次数是3，不是二次函数，故不符合题意； ．是二次函数，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如、、是常数，且的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 2．（2023秋•梨树县期末）抛物线的顶点坐标和对称轴分别为　　 A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 3．（2023秋•双阳区期末）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：，即． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 4．（2023秋•长春期末）将二次函数化成的形式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 5．（2023秋•靖宇县期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②方程的两个根是，； ③； ④当时，的取值范围是； ⑤当时，随增大而增大； 其中结论正确的个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【解答】解：抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， 方程的两个根是，，所以②正确； ，即， 而时，，即， ，所以③错误； 抛物线与轴的两点坐标为，， 当时，，所以④错误； 抛物线的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，所以⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 6．（2023秋•靖宇县期末）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧， ，， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点， 故错误； 、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧， ，， 一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点， 故错误； 、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧， ，， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点， 故正确； 、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧， ，， 一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点， 故错误； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 7．（2023秋•南关区校级期末）二次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以解答本题． 【解答】解：二次函数， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．（2023秋•南关区校级期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象判断出，，的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，当时，，故项正确，不符合题意； 抛物线开口向下，，与轴的交点为， ，，， ，，故、项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在原点和点之间， 另一个交点在与之间， 当时，，故项错误，符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 9．（2023秋•西安区期末）若是关于的二次函数，则的值为 　2　． 【分析】根据二次函数定义可得且，再解即可． 【解答】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 10．（2023秋•伊通县期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 　　（用“”连接）． 【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小． 【解答】解：， 开口向上，二次函数的对称轴为直线， 距离对称轴越远，函数值越大， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数关系式找出对称轴． 11．（2023秋•南关区校级期末）已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线　　． 【分析】直接利用对称轴公式求即可． 【解答】解：二次函数的表达式为， 对称轴为直线． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，记住对称轴公式是解题的关键． 12．（2023秋•靖宇县期末）已知抛物线过、、三点，则、、的大小关系是　　（用“”连接）． 【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可用分别表示出、、的值，比较大小即可． 【解答】解： 过、、三点， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 13．（2023秋•蛟河市期末）抛物线的图象如图所示，点，，，，在抛物线第一象限的图象上．点，，，，在轴的正半轴上，△，、△、、△都是等腰直角三角形，则　　． 【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为，表示出点的坐标，代入二次函数的解析式，求出；设第二个等腰直角三角形的直角边长为，表示出的坐标，代入二次函数的解析式，求出，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边． 【解答】解：设， △ 是等腰直角三角形， ， 则的坐标为，代入二次函数， 得， 解得或（舍， 设， △是等腰直角三角形， ， 的坐标为， 代入二次函数，得， 解得或（舍， 同理可求出， ， ，根据勾股定理，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键． 14．（2023秋•东丰县期末）已知实数、满足，则代数式的最小值是 　6　． 【分析】根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：， ， 原式 ， ， 又， ， ， 当时，原式的值随着的增大而增大， 当时，原式取最小值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解． 15．（2023秋•东丰县期末）抛物线，，为常数）的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 　　． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后将代入解析式求解． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线经过， ， 抛物线经过， ， ，， ， ， 当时，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 16．（2023秋•双辽市期末）已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）当为何值时，函数随的增大而增大． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而增大． 【解答】解：（1）把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而增大． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． 17．（2023秋•东辽县期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是抛物线上一动点，连接，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）根据是以为底边的等腰三角形知点的纵坐标为1，即可得，解之可得其横坐标． 【解答】解：（1）将点，代入， 得：， 解得：， 这条抛物线的解析式为； （2）是以为底边的等腰三角形，且， 点的纵坐标为1， 当时，， 解得：，， 点的坐标为，或，． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 18．（2023秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）求顶点的坐标． （3）当时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）把点和点坐标代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． （3）根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）抛物线经过点和点， ， 解得， 这条抛物线所对应的二次函数的表达式为； （2）， 顶点的坐标为； （3）时，或4， 根据图象得当时，． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 19．（2023秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求、的值． （2）当时，，则的取值范围是 　　． （3）当点在轴下方时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值． （4）点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）运用抛物线的顶点式即可求得答案； （2）先求出函数值等于1对应的的值，再结合图象求解即可； （3）先求出，，，，根据最高点与最低点的纵坐标之差是，建立方程求解即可得出答案； （4）根据函数值随的增大而增大或随的增大而减小，列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为， ， ，． （2）抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 解得：，， 当时，， ， 故答案为：． （3）点的横坐标为， ， 当时，，， ，，，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：， 综上所述，或2． （4）设矩形为， ，， ，， 当点在轴上方，轴左侧时，如图， 则， 则这个不等式组无解， 当点在轴下方，轴左侧时，如图， 则， 解得：； 当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大； 当点在轴下方，轴右侧时，如图， 在第四象限时，只要在右侧就行，四分之一， 则， 解得：， 当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当点在轴上方，轴右侧时，如图， 则． 此不等式组无解； 综上所述，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小． 【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，分类讨论思想，数形结合思想都是解题的关键． 二次函数与一元二次方程（共6题） 1．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　或　． 【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与轴的两个交点坐标． 2．（2023秋•丰满区期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点，若，，则线段的长为 　8　． 【分析】由题意得出点与点是抛物线上的对称点，得出，即可得出结果． 【解答】解：对称轴平行于轴的抛物线与轴交于点、，轴， 点与点是抛物线上的对称点， ， ，， ， ； 故答案为：8． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、抛物线的对称性质；根据题意得出是解决问题的关键． 3．（2023秋•宁江区期末）在平面直角坐标系中，抛物线，，是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是 　　． 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【解答】解：抛物线与轴的一个交点在2到3之间， 一个根， 对称轴为直线， 一元二次方程的一个根的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键． 4．（2023秋•船营区校级期末）已知抛物线与轴交于、两点，若点的坐标为，则线段的长为 　8　． 【分析】将点的坐标代入抛物线解析式可求得，再令，可求得点的坐标，即可求得答案． 【解答】解：把代入，得：， 解得：， ， 令，得， ， ， 解得：，， ，， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法，二次函数图象与轴的交点等，利用二次函数与一元二次方程的关系求点的坐标是解题关键． 5．（2023秋•榆树市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，设该图象上任意两点的坐标分别是，，，，其中，为时的最大值与最小值的差．若，则的取值范围是 　　． 【分析】由题意得：、只能在对称轴的两侧，即，，即抛物线在处取得最小值，在顶点处取得最大值，即可求解． 【解答】解：将代入抛物线表达式得：． 解得：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ，， 则、只能在对称轴的两侧， 即，， 即抛物线在处取得最小值，在顶点处取得最大值， 而时，函数，时，， 当时，则，此时，， 当时，则，此时，， 故， 故答案为：． 【点评】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉函数额图象和性质是解题的关键． 6．（2023秋•伊通县期末）如图，已知二次函数的图象，利用图象回答： （1）一元二次方程的解是 　，　； （2）当时，的取值范围是 　　； （3）当时，的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据图象与轴交点可知方程的解， （2）根据图象即可得知的范围； （3）根据图象即可得知的范围． 【解答】解：如图所示． （1）由图象知，的解为，， 故答案为：，； （2）当或时，函数值大于0， 故答案为：或； （3）当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及函数性质，是基础题型，熟记二次函数的各种性质是解题的关键． 实际问题与二次函数（共12题） 1．（2023秋•浑江区期末）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是．则他将铅球推出的距离是　　． A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值． 【解答】解：令函数式中，， 即， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是． 故选：． 【点评】本题考查了函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解． 2．（2023秋•德惠市期末）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为　　 A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【解答】解：当时，则， 解得（舍去）或． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 3．（2023秋•延边州期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心点竖直安装一根水管，在水管的顶端处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心点的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心点．则水管的高是　　 A． B． C． D． 【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令，求得相应的函数值，即为所求的答案． 【解答】解：由题意可知点是抛物线的顶点， 设这段抛物线的解析式为． 该抛物线过点， ， 解得：． ． 当时，， 水管应长． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键． 4．（2023秋•德惠市期末）如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花圃面积为，则关于的函数表达式为 　　． 【分析】根据题意表示出花圃的长为，进而利用矩形面积公式得出答案． 【解答】解：由题意可得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出花圃的长是解题关键． 5．（2023秋•绿园区期末）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为　　米． 【分析】根据二次函数图象和性质即可求解． 【解答】解：如图： 以拱顶到水面的距离为2米时的水面为轴，拱顶所在直线为轴建立平面直角坐标系， 根据题意设二次函数解析式为： 把代入，得 ， 所以二次函数解析式为：， 当时， 解得． 所以水面的宽度为． 故答案为． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决． 6．（2023秋•农安县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度为 　9.1　（精确到． 【分析】由题意可知各点的坐标，，，，又由抛物线的顶点在轴上，即可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个门洞的高度． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知各点的坐标，，，． 设抛物线的解析式为：，把，代入，得 ， 解得， 该抛物线的解析式为：， 则． ． 故答案为：9.1． 【点评】此题考查了二次函数在实际生活中的应用．题目难度适中，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析式，注意待定系数法的应用． 7．（2023秋•长春期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①，可以发现数学的研究对象一一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点．点为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，、两点之间的距离是4分米．分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为 　10　分米． 【分析】依据题意，设抛物线解析式为：，，，求出抛物线解析式，然后求出直线解析式，可得与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长． 【解答】解：由题意题意，设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：． 又设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， 直线解析式为：． 联立函数解析式：， 解得：或（不符合题意舍去）， 点坐标为．． 又抛物线的对称轴是轴， 点的坐标为． ． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 8．（2023秋•大安市期末）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元件，每天销售（件与销售单价（元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求解可得． 【解答】解：（1）设， 将、代入，得：， 解得：， 则； （2）设每天获取的利润为， 则 ， 又， ， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质． 9．（2023秋•朝阳区期末）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米． （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，，即可求解． 【解答】解：（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， 球不能射进球门． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 10．（2023秋•龙潭区期末）用长的铁丝围成长方形． （1）如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？ （2）能否围成面积是的长方形？为什么？ （3）能围成的长方形的最大面积是多少？ 【分析】设长方形的宽为 ，而长方形的周长为12，由此得到长为，所以，进一步得． （1）由于长方形的面积为，由此列出方程，解方程即可求解； （2）由于长方形的面积为，由此列出方程，判断方程的根的情况即可求解； （3）设围成的长方形面积为，则有．即，要使该方程有解，必须判别式△，由此即可求出最大的值解决问题． 【解答】解：设长方形的宽为 ，则长为， 即为，则，得， （1）根据题意，得， 即， ，， 此时长方形的长为，宽为； （2）当面积为时，，即， 此时， 故此方程无实数根． 所以这样的长方形不存在． （3）设围成的长方形面积为，则有． 即， 要使该方程有解， 必须，即， 最大的只能是9，即最大的面积为． 此时，，这时所围成的图形是正方形． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 11．（2023秋•江源区期末）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点 ，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可． 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式， 解得：， 二次函数的表达式为， 即； （2）工人不会碰到头，理由如下： 小船距点，小船宽，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距点距离为， 将代入， 解得： ， 此时工人不会碰到头． 【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 12．（2023秋•镇赉县期末）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售量（售价进价），解方程求出在自编量范围内的解即可； （3）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【解答】解：（1）根据题意得：， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， 当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元； （3）根据题意得：， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为2640， 将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 二次函数的应用——图形问题（共4题） 1．（22-23九年级上·吉林白山·期末）康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2）．每个果冻高为6cm，底面直径为4cm，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示． (1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式． (2)为了节省包装成本，康康设计了一种新的包装方案：将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示． ①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心的坐标． ②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将点A，B，C坐标代入求解即可； （2）①根据左侧两条抛物线成中心对称，得到对称中心的纵坐标为3，将代入，求出x值即可得到对称中心的坐标；②计算出原包装盒的长度，及相邻两个果冻对称轴之间的距离，即可得到康康的方案中包装盒的长度，由此得到节省的长度． 【详解】（1）解：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴左侧第一条抛物线的函数表达式为． （2）①∵左侧两条抛物线成中心对称， ∴对称中心的纵坐标为3， 当时，， 解得或（舍去）， ∴对称中心的坐标为； ②原包装盒的长度为， ∵， ∴康康的方案中包装盒的长度为， ∴节省了． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意建立函数关系模型是解题的关键． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直墙的一边长为米． (1)当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x． (2)当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值． 【答案】(1)垂直于墙的边长为10米 (2)垂直于墙的一边长为9米时，这个矩形实践基地的面积最大，最大面积为米2 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）用表示出矩形另一边的长，再利用“矩形实践基地的面积为160平方米”列方程解出即可； （2）列出矩形实践基地的面积与垂直于墙的边长间的函数关系式，即可求出这个基地的面积最大时，垂直于墙的边长，以及这个面积的最大值． 【详解】（1）垂直于墙的一边长为米，三边用长为36米的篱笆围成， 平行于墙的一边长为米， 根据题意，得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：垂直于墙的边长为10米； （2）设矩形实践基地的面积为平方米， 根据题意，得， ， 当时，取最大值，最大值为162米． 答：垂直于墙的一边长为9米时，这个矩形实践基地的面积最大，最大面积是162米． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为12，E是边上一点（与点B、C不重合），连接，G是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若． (1)求证：． (2)若，求的面积． (3)当为何值时，的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)； (3)当时，的面积最大，最大值是18． 【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴，则， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， 由（1）知，， ∴，即， ∴（舍去）， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是18． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，二次函数的性质，判断出是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，在该垂线上点P下方取一点D，使，在该垂线上点C的纵坐标为，以CD为边作矩形CDEF，若点E的横坐标为．    (1)求此抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求矩形CDEF的周长； (3)当矩形CDEF被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值； (4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)，． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得，，，再求得，，即可计算出结果； （3）根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，再进行分类计算即可； （4）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，点横坐标为， ∴ ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， 矩形CDEF的周长为； （3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， 由已知，， ， 当时，， ∴， 解得，，（舍去） 当时，， ∴， 解得，，（舍去）， 故m的值为或； （4）解：∵由已知，， 如图，当点F在抛物线上时，    ， 解得：，， 由已知，，当点E在抛物线上时， 当时，解得，（舍去），    当时，解得，（舍去），    综上所述，，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、二次函数，解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 二次函数的应用——图形的运动问题（共4题） 1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，是的中线，动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，动点Q从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点E，连接，设四边形与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t秒． (1)的长为 　 　（用含t的代数式表示）； (2)四边形的形状是 　 　（不需证明）； (3)求S与t之间的函数关系式； (4)当S的值为时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2)平行四边形 (3) (4)2或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得，再分点Q在上和点Q在上两种情况，分别列代数式； （2）通过证明，，可证四边形是平行四边形； （3）点Q在上时，，当点Q在上时，； （4）把S的值代入（3）的解析式中即可解答． 【详解】（1）解：，，， ， 是的中线， ， 当点Q在上时，， 当点Q在上时，， 故答案为：或； （2）解：如图， 由题意知，， ，， ，， ， ，， ， ， 四边形的形状是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （3）解： ，， ， 又， 是等边三角形， 分两种情况： 当点Q在上时，，如下图所示，作于点M， 则，， ， 由（2）知四边形的形状是平行四边形， ，， ， ，是等边三角形， ，， ； 当点Q在上时，，如下图所示， 同理可得， 综上可知，； （4）解：将代入， 得：， 解得或； 将 代入， 得：， 解得（舍）或（舍）； 综上可知，t的值为2或． 【点睛】本题属于三角形上的动点问题，考查二次函数，直角三角形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·吉林延边·期末）如图，是等腰直角三角形，其中，动点从点出发以的速度向终点运动（动点不与点重合），过点作，交折线于点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．设与重合部分图形的面积为，动点运动的时间为． (1)当点落在边上时，求的值． (2)求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)在动点的整个运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，由旋转的性质得出是等腰直角三角形，可得，，即可得出是等腰直角三角形，，由得出，即可得出答案； （2）分三种情况：①当时，在内部，②当时，在上，在外部，③当时，在上，分别利用等腰直角三角形的性质，得出与之间的关系即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：如图，当点落在边上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， 解得：， 当点落在边上时，的值为； （2）解：①当时，在内部，如图， ， 此时与重合部分即为， ； ②当时，在上，在外部，如图， ， 此时与重合部分为四边形， 由（1）知、是等腰直角三角形， ，， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； ③当时，在上，如图， ， 此时与重合部分为， 同②可得：， ，， ， ； 综上所述：； （3）解：①当时，， 当时，最大为； ②当时，， 当时，最大为； ③当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， , 在点的整个运动过程中，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、二次函数的应用，解题的关键是采用分类讨论的思想． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，在矩形中，，，对角线，交于点点从点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接并延长交于点，过点作，交于点，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形； (2)设五边形的面积为，试确定与的函数关系式； (3)在运动过程中，当：：时直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据矩形的性质和勾股定理得到，当，如图，过作，根据相似三角形的性质得到，当，于是得到结论； （2）过点作交于点，已知，则可求的面积；可证得∽，由相似三角形的面积比可求得的面积，从而可求五边形的面积． （3）根据题意列方程得到或，可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， ， ， 由题意可知：， ∵， ∴，(否则点D与点P重合，，不合题意)， 当时，如图，过作于点， ， ，， ∽， ，即， ； 当时，， 当为或时，是等腰三角形； （2）如图，过点作交于点，则， 由矩形的性质可知，， 又∵， ≌， ， 则， ， ∽，相似比为， ， ， ， ； 与的函数关系式为； （3）， ：：：， 解得，或， 当：：时，或． 4．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为．    (1)当点P与点B重合时，x的值为______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当长度不变时，直接写出x的取值范围及的长度． 【答案】(1)1 (2) (3)； 【分析】（1）当点P与点B重合时，即，再计算出x的值即可； （2）分类讨论：当时、当时和当时，分别画出图形，再根据三角形面积公式计算即可，注意当时利用矩形面积减去三个小三角形面积计算； （3）由题意可知当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化，即讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，过点P作于E．根据矩形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当点P与点B重合时，， ， 故答案为：1； （2）解：分类讨论，当时，如图，    ， ； 当时，如图，    ， ； 当时，如图，    ，，， ， 综上可知：； （3）解：由题意知，当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化， 讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，如图，作于E．    ，，， ， ， 当长度不变时，，长度为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、列二次函数解析式、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，判断出不同时间段内点P和点Q的位置是解题的关键． 二次函数的应用——销售问题（共4题） 1．（22-23九年级上·河南新乡·期中）中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价元，每天所获得的利润为元． (1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ (2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？ 最大的利润是多少？ 【答案】(1)每千克29元 (2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元 【分析】（1）设降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案； （2）设降低元，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设降低元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为（元， 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元； （2）解：设降低元，由题得， ， 当时，最大． 售价为（元， 答：水果的销售价为每千克32元时，超市每天一天获利最大为4000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图．企业经历了从投入到盈利过程，如图的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润（亿元）与销售时间（年）之间的关系（即前（年）的利润总和与之间的关系）． 请根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求累积利润（亿元）与时间（年）之间的函数关系式； (2)求截止到几年末企业累积利润可达到亿元； (3)求第年企业所获利润． 【答案】(1)； (2)截止到年末企业累积利润可达万元； (3)第年企业所获利是万元． 【分析】（）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出与之间的函数关系式； （）把代入累计利润的函数关系式里，求得年份； （）分别，，代入函数解析，再把总利润相减就可得出； 此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，读懂题意，确定变量，建立函数模型是解题的关键． 【详解】（1）由图象可知其顶点坐标为， ∴设其函数关系式为：， ∵图象过， ∴，解得， ∴累积利润（亿元）与时间（年）之间的函数关系式为：； （2）把代入得：， 解得，（舍去）； 答：截止到年末企业累积利润可达万元； （3）把代入关系式，得， 把代入关系式，得， ∴， 答：第年企业所获利是万元． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每个蒸蛋器进价为20元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为40元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为台． (1)请直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是1200元； (3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大，并求最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润是1200元 (3)当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润最大，最大是元 【分析】（1）利用每涨价1元，每星期少卖出2台，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）设该网店每星期的销售利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴， ∵提价销售， ∴， ∴； （2）解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）； ∴当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润是1200元； （3）解：设该网店每星期的销售利润为元， 则：， ∵， ∴当时，有最大值：元； ∴当销售单价是元时，该网店每星期的销售利润最大，最大是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，二次函数解析式，是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年月份是大棚蓝莓成熟的季节．某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应．已知第x天的销售单价y（元/ ）与第x（天）的函数关系如图，每天销售量为． (1)直接写出y与x的函数解析式； (2)求第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式； (3)第几天种植户的销售额w的最大，最大值是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)第35天种植户的销售额w的最大，最大值是8450元 【分析】（1）分当时，当时，用待定系数法求解即可； （2）分当时，当时，分别列出二次函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质，分别求出当时，当时的函数最大值，再比较即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴； 当时，设， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴， 综上，y与x的函数解析式为． （2）解：当时，； 当时，； ∴第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式为：． （3）解：当时，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值，最大值为8100元； 当时，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值，最大值为8450元； ∵， ∴第35天种植户的销售额w的最大，最大值是8450元． 【点睛】本题属二次函数与一次函数综合应用．主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，列二次函数解析式，分段函数的图象，二次函数的性质．熟练掌握函数图象和性质是解题的关键． 二次函数的应用——拱桥、喷水、投球问题（共4题） 1．（22-23九年级上·吉林·期末）综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】（1），最大射程为  （2）点的坐标为  （3） 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时, ，解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为； 对称轴为直线 ∴点的对称点为， 是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为； （3）∵， ∴点的纵坐标为， ， 解得 ， ∵， ， 当时， 随的增大而减小， ∴当时, 要使， 则， ∵当时, 随的增大而增大，且时， ， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为． (1)从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系． 与的几组数据如下表所示： 水平距离（cm） 0 40 80 120 160 180 竖直高度（cm） 18 42 50 42 18 0 根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式． (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上． 【答案】(1) (2)乒乓球再次落下时仍落在球桌上 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）根据题意将代入函数解析式即可得到，再回代函数即可得到本题答案； （2）根据题意将代入中求得的值，再令求出的值与桌面总长比较即可． 【详解】（1）解：∵乒乓球离桌面竖直高度的最大值为， ∴设：，将代入， 即：，解得， ， 故答案为：； （2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： ∵由（1）得 ∵离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系， ∴将代入中， 即：，解得：（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，他的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系， ∴令，即，解得：或（舍去）， ∵， 乒乓球再次落下时仍落在球桌上， 故答案为：乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 3．（23-24九年级上·吉林白城·期末）莲莲和宸宸在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．莲莲在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，宸宸恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______． (2)求出a，c的值． (3)若莲莲在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求出符合条件的n的整数值． ∵当莲莲在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时点A的坐标范围是． 当经过点时，由，解得， 当经过点时，由，解得， ∴n的取值范围是______． ∵n是整数， ∴符合条件的n的整数值为______． 【答案】(1) (2)， (3)，4和5 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确分析题意是解题的关键． （1）利用顶点式即可得到最高点坐标； （2）点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （3）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， 故答案为：； （2）∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则； （3）解：∵当莲莲在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时点A的坐标范围是． 当经过点时，由，解得， 当经过点时，由，解得， ∴n的取值范围是 ∵n是整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：，4和5． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达式为 (2)拱桥顶面离水面的最大高度为4米 (3)该游船能安全通过，理由见解析 【分析】(1) 设抛物线解析式为，将，代入上式，确定a、b的值即可． (2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可． (3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离米的大小，大于则安全通过，小于或等于，都不安全． 【详解】（1）设，将，代入上式， 得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）， 当时，． ∴拱桥顶面离水面的最大高度为4米． （3）∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过， ∴船离点A的距离为米． 把代入中， ． ∵， ∴该游船能安全通过． 【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键． 二次函数与几何综合题（共6题） 1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标； (3)当的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标； (4)设，探索之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1)； (2)； (3)当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44； (4)． 【分析】 （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出抛物线的顶点为，对称轴为直线，根据点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，知，故，在中，令得； （3）分两种情况：当轴时，由A，D关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线，可得；即知，故，，在中，令求出y值即得E，F的纵坐标；当轴时，同理可得答案； （4）根据点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，，，，可得，，，，而，，，可求出，，，观察即可得答案． 【详解】（1）解：把代入得： 解得 ∴； （2）解：， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线， ∵点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上， 横坐标分别为，， ， ， 在中， 令得： ， ； （3）解：当轴时，如图： ∴A，D关于抛物线的对称轴对称， ，抛物线的对称轴为直线， ； ∵D在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 在中，令， 得， ， 在中，令， 得， ； 当轴时，如图： 同理可得， ， ， 在中，令， 得， ； 在中，令， 得， ； 综上所述，当的边与y轴垂直时， E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44； （4）解：，理由如下： ∵点C，D，E，F在抛物线上， 其横坐标分别为m，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上坐标的特征，整式的加减等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和分类讨论思想的应用． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）已知直线与交于点，把代入可得点D的坐标；如图抛物线经过、两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可； （2）由可得，设，则，由勾股定理得，从而可求出，即可得圆的半径； （3）证明以及后推出得出符合条件的坐标． 【详解】（1）由题知，线与交于点， 把代入中得，， ∴； ∵抛物线经过、两点， ，分别代入中，得 解得 ． ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设与切于H，则，如图， 设则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴当直线OD与相切时，． （3）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点，符合条件． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该点坐标为． 过点O作的垂线交抛物线的对称轴于点， ∵对称轴平行于y轴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵点位于第四象限， ∴． 因此，符合条件的点有两个，分别是，． 【点睛】本题考查函数性质与坐标关系，待定系数法，切线的性质，三角函数以及勾股定理等知识，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为，连接． (1)直接写出点的坐标______（用含的式子表示）； (2)求点的坐标； (3)以为边，在边的右下方作正方形，设点的坐标为． ①当时，求点的坐标； ②当时，直接写出点的坐标； ③直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】（1）根据抛物线顶点为，直接可得； （2）在中，令得：，即可得； （3）①过作轴平行线交轴于，过作于，由，可得，又得，根据四边形是正方形，可得，即知，，从而求得；②过作轴平行线交轴于，过作于，同①的方法可得；③过作轴平行线交轴于，过作于，根据，和可得，，又的坐标为，即知，，消去得，，又在边的右下方作正方形，故． 【详解】（1）抛物线顶点为， ， 故答案为：； （2）在中，令得：， ， ，解得或， 而点在点的左侧， ； （3）①过作轴平行线交轴于，过作于，如图： ，； ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ； ②过作轴平行线交轴于，过作于，如图： ，； ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ； ③过作轴平行线交轴于，过作于，如图： ，； ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 在边的右下方作正方形， ， 答：． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，正方形性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线解析式，再将抛物线解析式化成顶点式，即可求解； （2）①先根据等腰三角形的性质求出A、B、C三点坐标，再根据三角形面积公式和三点共线，求解即可； （3）分情况分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：， ∵， ∴顶点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴, 当是以为底的等腰三角形时， 则， 又∵点C在抛物线对称轴上， ∴点A、点B关于直线对称， ∴， ∵点A的横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点都在直线上， ∴三点共线， ∴的面积即为的面积， ∴的面积为； （3）解：①当时，则，，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ②当时时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ③当时时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ④当时有时，则，，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； ⑤当时有时，则-，如图， 此时矩形与抛物线有3个交点； ⑥当时有时，则，如图， 此时矩形与抛物线只有2个交点； 综上，当或时，抛物线与矩形有3个交点． 5．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与双曲线相交于点A、B．已知点B的坐标为，点A在第一象限内，且点A的横坐标为1． 过点A作直线轴，交抛物线于另一点C． (1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算的面积； (3)在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式为；抛物线的解析式为 (2) (3)存在，符合条件的点D的坐标为或或. 【分析】（1）将B点的坐标代入双曲线表达式求得双曲线的解析式，从而求得点A的坐标，再将A、B两点的坐标代入抛物线的关系式，即可求得抛物线的解析式； （2）由轴可知点C的纵坐标为4，代入抛物线的解析式，可求得点C的坐标，从而得到，点B到的距离为6，利用三角形面积公式即可得到答案； （3）设点D纵坐标为n，根据的面积等于的面积，可知，解得或，再将n的值分别代入抛物线的解析式，即可求得答案． 【详解】（1）把点代入， 得， 解得， 即双曲线的解析式为：， 当时，， ， 把A、B点的坐标代入， 得， 解得， 即抛物线的解析式为：； （2）轴， 点C的纵坐标， 代入，得， 解得，（舍去）， 点的坐标为， ， ； （3）存在，符合条件的点D的坐标为或或． 理由如下：                                        设点D纵坐标为n， 的面积等于的面积， ， 解得或， 当时，，解得，， 点D坐标为或， 当时，，解得，， 点D坐标为， 符合条件的点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求双曲线和抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与三角形的面积等知识，熟练掌握掌握相关知识是解答本题的关键． 6．（23-24九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线经过，点两点，点D在该抛物线上运动，设点D的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，过点D作轴，交直线于E点，求线段的最大值． (3)当时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值． (4)设抛物线与线段围成的封闭图形记作图形P，点C为直线上的一个动点（点C不与点A重合），设点C的横坐标为n，以为边向下作正方形，当M、N两点中只有一个点在图形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)当，有最大值为4 (3)的值为或者 (4)或 【分析】（1）将点，点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则点，可得出，据此即可求解； （3）分类讨论当时，当时，当时三种情况，即可求解； （4）分类讨论若点在点的左侧若点在点的右侧两种情况，分别求出点的坐标，根据图示建立不等式组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴此抛物线的解析式为． （2）解：如图①， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ∴． ∵， ∴当，有最大值为4． （3）解：当时，不存在最高点和最低点的纵坐标的差为3． 当时，如图②， ∵最高点和最低点的纵坐标的差为3， ∴，解得， ，（符合题意，舍去）． 当时，如图③， ∵最高点和最低点的纵坐标的差为3， ∴，解得， （不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或者． （4）解：由题意可得：， 若点在点的左侧，如图所示： 由直线的解析式为可得： ∵为正方形， ∴ ∴轴， ∴ 同理可得： 由可得： ∴ 由图可得：点的横坐标在的横坐标之间，点在抛物线之上，点在抛物线之下， 解得： 若点在点的右侧，如图所示： 同理可得： 由图可得：点的横坐标在的横坐标之间，点在抛物线之上，点在抛物线之下， 解得： 综上所述：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，难度较大，涉及了解析式的求解，二次函数与线段问题、增减性与最值等知识点，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数（3种经典基础练+5种优选提升练） 二次函数的图象和性质（共19题） 1．（2023秋•莲池区期末）下列函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•梨树县期末）抛物线的顶点坐标和对称轴分别为　　 A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 3．（2023秋•双阳区期末）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•长春期末）将二次函数化成的形式为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•靖宇县期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①； ②方程的两个根是，； ③； ④当时，的取值范围是； ⑤当时，随增大而增大； 其中结论正确的个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2023秋•靖宇县期末）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•南关区校级期末）二次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•南关区校级期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•西安区期末）若是关于的二次函数，则的值为 　 　． 10．（2023秋•伊通县期末）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 　 　（用“”连接）． 11．（2023秋•南关区校级期末）已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线　 　． 12．（2023秋•靖宇县期末）已知抛物线过、、三点，则、、的大小关系是　 　（用“”连接）． 13．（2023秋•蛟河市期末）抛物线的图象如图所示，点，，，，在抛物线第一象限的图象上．点，，，，在轴的正半轴上，△，、△、、△都是等腰直角三角形，则　 　． 14．（2023秋•东丰县期末）已知实数、满足，则代数式的最小值是 　 　． 15．（2023秋•东丰县期末）抛物线，，为常数）的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 　 　． 16．（2023秋•双辽市期末）已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）当为何值时，函数随的增大而增大． 17．（2023秋•东辽县期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是抛物线上一动点，连接，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 18．（2023秋•长春期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）求顶点的坐标． （3）当时，直接写出的取值范围． 19．（2023秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求、的值． （2）当时，，则的取值范围是 　 　． （3）当点在轴下方时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值． （4）点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 二次函数与一元二次方程（共6题） 1．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　 　． 2．（2023秋•丰满区期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点，若，，则线段的长为 　 　． 3．（2023秋•宁江区期末）在平面直角坐标系中，抛物线，，是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是 　 　． 4．（2023秋•船营区校级期末）已知抛物线与轴交于、两点，若点的坐标为，则线段的长为 　　． 5．（2023秋•榆树市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，设该图象上任意两点的坐标分别是，，，，其中，为时的最大值与最小值的差．若，则的取值范围是 　 　． 6．（2023秋•伊通县期末）如图，已知二次函数的图象，利用图象回答： （1）一元二次方程的解是 　 　； （2）当时，的取值范围是 　　 ； （3）当时，的取值范围是 　　 ． 实际问题与二次函数（共12题） 1．（2023秋•浑江区期末）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：与水平距离（单位：之间的关系是．则他将铅球推出的距离是　　． A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2023秋•德惠市期末）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（单位：米）与飞行的水平距离（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为　　 A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 3．（2023秋•延边州期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心点竖直安装一根水管，在水管的顶端处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心点的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心点．则水管的高是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•德惠市期末）如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花圃面积为，则关于的函数表达式为 　 　． 5．（2023秋•绿园区期末）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为　 　米． 6． （2023秋•农安县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度为 　 　 （精确到． 7．（2023秋•长春期末）雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①，可以发现数学的研究对象一一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点．点为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，、两点之间的距离是4分米．分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为 　　 分米． 8．（2023秋•大安市期末）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元件，每天销售（件与销售单价（元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 9．（2023秋•朝阳区期末）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米． （1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门． 10．（2023秋•龙潭区期末）用长的铁丝围成长方形． （1）如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？ （2）能否围成面积是的长方形？为什么？ （3）能围成的长方形的最大面积是多少？ 11．（2023秋•江源区期末）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 12．（2023秋•镇赉县期末）“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至．某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 二次函数的应用——图形问题（共4题） 1．（22-23九年级上·吉林白山·期末）康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2）．每个果冻高为6cm，底面直径为4cm，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示． (1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式． (2)为了节省包装成本，康康设计了一种新的包装方案：将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示． ①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心的坐标． ②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？ 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直墙的一边长为米． (1)当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x． (2)当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为12，E是边上一点（与点B、C不重合），连接，G是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若． (1)求证：． (2)若，求的面积． (3)当为何值时，的面积最大，最大值是多少？ 4．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，在该垂线上点P下方取一点D，使，在该垂线上点C的纵坐标为，以CD为边作矩形CDEF，若点E的横坐标为．    (1)求此抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求矩形CDEF的周长； (3)当矩形CDEF被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值； (4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 二次函数的应用——图形的运动问题（共4题） 1．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，是的中线，动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，动点Q从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点E，连接，设四边形与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t秒． (1)的长为 　 　（用含t的代数式表示）； (2)四边形的形状是 　 　（不需证明）； (3)求S与t之间的函数关系式； (4)当S的值为时，直接写出t的值． 2．（23-24九年级上·吉林延边·期末）如图，是等腰直角三角形，其中，动点从点出发以的速度向终点运动（动点不与点重合），过点作，交折线于点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．设与重合部分图形的面积为，动点运动的时间为． (1)当点落在边上时，求的值． (2)求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)在动点的整个运动过程中，直接写出的最大值． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，在矩形中，，，对角线，交于点点从点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接并延长交于点，过点作，交于点，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形； (2)设五边形的面积为，试确定与的函数关系式； (3)在运动过程中，当：：时直接写出的值． 4．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为．    (1)当点P与点B重合时，x的值为______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当长度不变时，直接写出x的取值范围及的长度． 二次函数的应用——销售问题（共4题） 1．（22-23九年级上·河南新乡·期中）中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价元，每天所获得的利润为元． (1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ (2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？ 最大的利润是多少？ 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图是某企业投入了一种高效环保型新能源电动车示意图．企业经历了从投入到盈利过程，如图的二次函数的图象描述了该企业年初以来累积利润（亿元）与销售时间（年）之间的关系（即前（年）的利润总和与之间的关系）． 请根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求累积利润（亿元）与时间（年）之间的函数关系式； (2)求截止到几年末企业累积利润可达到亿元； (3)求第年企业所获利润． 3．（22-23九年级上·吉林·期末）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每个蒸蛋器进价为20元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为40元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为台． (1)请直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是1200元； (3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大，并求最大利润． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年月份是大棚蓝莓成熟的季节．某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应．已知第x天的销售单价y（元/ ）与第x（天）的函数关系如图，每天销售量为． (1)直接写出y与x的函数解析式； (2)求第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式； (3)第几天种植户的销售额w的最大，最大值是多少元？ 二次函数的应用——拱桥、喷水、投球问题（共4题） 1．（22-23九年级上·吉林·期末）综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为． (1)从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系． 与的几组数据如下表所示： 水平距离（cm） 0 40 80 120 160 180 竖直高度（cm） 18 42 50 42 18 0 根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式． (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上． 3．（23-24九年级上·吉林白城·期末）莲莲和宸宸在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．莲莲在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，宸宸恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______． (2)求出a，c的值． (3)若莲莲在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求出符合条件的n的整数值． ∵当莲莲在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时点A的坐标范围是． 当经过点时，由，解得， 当经过点时，由，解得， ∴n的取值范围是______． ∵n是整数， ∴符合条件的n的整数值为______． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 二次函数与几何综合题（共6题） 1．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E与抛物线顶点重合时，求点F的坐标； (3)当的边与y轴垂直时，求点E与点F的纵坐标； (4)设，探索之间的关系，请直接写出结论． 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）矩形在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为、，直线与边相交于点D． (1)若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心的与直线相切，试求的半径； (3)设（1）中抛物线的对称轴与直线交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似．若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由． 3．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为，连接． (1)直接写出点的坐标______（用含的式子表示）； (2)求点的坐标； (3)以为边，在边的右下方作正方形，设点的坐标为． ①当时，求点的坐标； ②当时，直接写出点的坐标； ③直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标． (2)点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．当是以为底的等腰三角形时，求的面积． (3)设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围． 5．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与双曲线相交于点A、B．已知点B的坐标为，点A在第一象限内，且点A的横坐标为1． 过点A作直线轴，交抛物线于另一点C． (1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算的面积； (3)在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由． 6．（23-24九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线经过，点两点，点D在该抛物线上运动，设点D的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，过点D作轴，交直线于E点，求线段的最大值． (3)当时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差为3时，求m的值． (4)设抛物线与线段围成的封闭图形记作图形P，点C为直线上的一个动点（点C不与点A重合），设点C的横坐标为n，以为边向下作正方形，当M、N两点中只有一个点在图形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$