第四章整合练习 幂函数、指数函数、对数函数的综合应用练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

单元整合练习　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用 1.(2023福建莆田第一中学月考)若对任意的x∈R,函数f(x)=a|x|始终满足0<f(x)≤1,则函数g(x)=loga的图象大致为(　　) A　　　B C　　　D 2.(2024辽宁沈阳第二中学段考)已知 f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,且∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >0,则不等式f(log2x)<8的解集为(　　) A.(0,4)　　　　B.(4,+∞)　　　　C.　　　　D. 3.(2024江西上饶中学期中)已知函数f(x)=,若对任意的正数a,b,满足f(a)+f(2b-2)=0,则的最小值为(　　) A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 4.(多选题)(2024河南南阳六校期中)已知2a=3b=6,则(　　) A.ab=a+b　　　B.a+b>4 C.4a<8b　　　D.log2a+log2b>2 5.(多选题)(2024辽宁丹东质量监测)下列各式的大小关系正确的是(　　) A.24.1>4.12　　　B.23.9>3.92 C.>log34　　　D.log45>log34 6.(2023湖北武汉期末)若对任意的x∈[2,8],总存在y∈[1,2],使得(y+2y+m)[(log2x)2+4]=log2x成立,则m的最小值是(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.- 7.(2024湖北襄阳五中月考)已知函数f(x)=-ln|x|,则满足不等式f(log2x)<的x的取值范围是　　　　　　　　.  8.已知f(x)=ex-是奇函数. (1)求实数a的值; (2)求函数y=e2x+e-2x-2λf(x)在[0,+∞)上的值域; (3)令g(x)=f(x)+x,求不等式g((log2x)2)+g(2log2x-3)≥0的解集. 答案与分层梯度式解析 单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用 1.B　因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<f(x)≤1,且|x|≥0,所以0<a<1. g(2)=loga=-loga2>0,排除A,D; g=loga|2|=loga2<0,排除C.故选B. 2.A　因为f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 又∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >0,所以f(x)是单调递增函数, 当m=2时,f(x)=x6,该函数在R上不单调,不符合题意; 当m=-1时,f(x)=x3,该函数在R上为增函数. 所以f(log2x)<8等价于f(log2x)<f(2),所以log2x<2,解得0<x<4. 3.B　函数f(x)的定义域为R, 因为f(-x)==-f(x), 所以f(x)为奇函数,故f(a)=-f(2b-2)=f(2-2b), 因为f(x)=,且y=ex+1在R上为增函数,所以f(x)在R上为增函数, 所以a=2-2b,即a+2b=2, 则≥=4, 当且仅当即时等号成立, 故的最小值为4.故选B. 4.ABD　由题意可知a>0,b>0, 对于A,因为2a=3b=6,所以(2a)b=6b,(3b)a=6a,即2ab=6b,3ab=6a,则2ab·3ab=6b·6a,即6ab=6a+b,所以ab=a+b,故A正确; 对于B,ab=a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立, 因为a≠b,所以ab>2,解得ab>4,所以a+b=ab>4,故B正确; 对于C,因为2a=3b,所以4a=22a=32b=9b>8b,故C错误; 对于D,设log2a+log2b=log2(ab)=t,则2t=ab>4,所以t>2,故D正确.故选ABD. 5.AC　对于A,B,由指数函数y=2x与幂函数y=x2可知,当x∈(4,+∞)时,有2x>x2,因为4.1∈(4,+∞),所以24.1>4.12,故A正确; 当x∈(2,4)时,有2x<x2,因为3.9∈(2,4),所以23.9<3.92,故B错误; 对于C,要比较与log34的大小,只需比较与4的大小,因为()3=81>43,所以>4,即>log34,故C正确; 对于D,因为log45>0,log34>0,所以<1,所以<1,即log45<log34,故D错误.故选AC. 6.B　(y+2y+m)[(log2x)2+4]=log2x即为y+2y+m=,令t=log2x,因为x∈[2,8],所以t∈[1,3],设h(t)=t+,t∈[1,3],则h(t)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以h(t)min=2+=4, 又因为h(1)=1+4=5,h(3)=3+, 所以log2x+∈[4,5],则∈. 又当y∈[1,2]时,函数f(y)=y+2y+m单调递增,所以y+2y+m∈[m+3,m+6], 由题意得所以m∈. 故选B. 7.答案　∪(2,+∞) 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 因为f(-x)=-ln|x|=f(x),所以f(x)为偶函数. 当x>0时,f(x)=-ln x, 因为y=和y=-ln x在(0,+∞)上均单调递减, 所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减, 因为f(1)=,且函数f(x)为偶函数, 所以f(log2x)<等价于f(|log2x|)<f(1), 所以|log2x|>1,则log2x<-1或log2x>1, 所以0<x<或x>2, 所以x的取值范围为∪(2,+∞). 8.解析　(1)因为f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,所以f(0)=0,故1-a=0,即a=1.经检验,满足题意. (2)设ex-=t(t≥0),则e2x+=t2+2, 设y=h(t)=t2-2λt+2=(t-λ)2+2-λ2,t∈[0,+∞). ①当λ≤0时,h(t)≥h(0)=2,所以函数的值域为[2,+∞); ②当λ>0时,h(t)≥h(λ)=2-λ2,所以函数的值域为[2-λ2,+∞). (3)因为g(x)的定义域为R,f(x)为奇函数, 所以g(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),故g(x)为奇函数. 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=(+(x1-x2), 因为x1<x2,所以(<0,x1-x2<0, 所以g(x1)-g(x2)<0, 所以g(x1)<g(x2),故g(x)在R上单调递增. 由g((log2x)2)+g(2log2x-3)≥0, 得g((log2x)2)≥-g(2log2x-3), 即g((log2x)2)≥g(-2log2x+3), 所以(log2x)2≥-2log2x+3, 所以(log2x)2+2log2x-3≥0,解得log2x≥1或log2x≤-3,故x≥2或0<x≤. 故原不等式的解集为∪[2,+∞). 2 学科网（北京）股份有限公司 $$