专题03 一元一次方程的实际应用重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） ：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） ：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） ：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） ：根据这个相等关系列出方程。 （5） ：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） ：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） ：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）一艘轮船在静水中的速度为，水流速度为，在某两地之间顺流航行比逆流航行少用，则两地之间的路程为多少？ 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【经典例题二 配套问题】 【例2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 6．（23-24八年级下·重庆潼南·期中）2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】9．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 8．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 9．（24-25六年级上·上海·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 11．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划辆车都要装运．每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的车有辆，根据下面提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 每吨水果利润（元） (1)求这辆汽车共装运水果的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这辆汽车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值． 12．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖． (1)当购买数量超过10本时，请用含的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用． (2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由． (3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2023七年级上·江苏·专题练习）表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛过程中没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 8 4 20 C 12 7 5 19 D 11 5 6 16 E 10 … … 15 (1)观察积分榜，请写出球队胜一场积 　　分，负一场积 　　分． (2)根据积分规则，请求出E队已经进行的10场比赛中，胜、负各是多少场？ (3)若此次篮球比赛每个球队各有16场比赛，D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 14．（23-24七年级下·吉林·开学考试）某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 15．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 16．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 17．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 18．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 20．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）请阅读下列材料： 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． 根据上述材料，解决下列问题： (1)如图1的三阶幻方中，的值为______； (2)如图2的三阶幻方中， ①幻和=______； ②在①的条件下，若，求的值； (3)如图3的三阶幻方中，， ①若，求中心数（用含的式子表示）； ②若中心数是定值1，求整式（用含的式子表示）． 21．（2024七年级上·江苏·专题练习）探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题： (1)将下表填写完整； 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 (2)在第个图形中有______个三角形；（用含的式子表示） (3)按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出；如果不能，请简述理由． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）现有一个类似于圆柱，并且装有若干牛奶的玻璃瓶，测得其底面直径为，高为，当如图①放置时，测得液面高度为；当如图②放置时，测得液面高度为，求该玻璃瓶的总容积．（结果保留） 23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）长为2，宽为a的长方形纸片，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当时，求a的值． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，点C表示数5，点A到点B的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．例如：． (1)求线段的长； (2)以数轴上某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且，求点D表示的数； (3)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过t秒时，．求出t的值． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）中国2019年国际专利申请量居全世界第一．其中，国内企业高度重视高新技术的研发．在单独的企业申请专利排行榜中，我国的华为以4411份申请排在了全球第一位，比美国的高通申请专利数量的2倍多157份．美国的高通申请专利数是多少份？ (1)把上边的线段图补画完整； (2)列式或方程解答． 25．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 27．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）袋子里装有若干个红黑白三种颜色的彩球，已知红球的数量是总数的，增加了6个同样的红球后，红球的数量占总数的，原来黑球数量为8个，则原来白球的数量为多少个？ 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 28．（2024七年级上·全国·专题练习）我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 29．（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 30．（2024七年级上·全国·专题练习）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是多少钱？ (2)该市每立方米水费的“调节价”是多少钱？ (3)若该户居民6月份水费是26.4元，该户6月份用水多少立方米？ (4)根据该市的这一规定，请你从环保角度说说你的想法． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（23-24六年级下·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 31．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 32．（23-24七年级上·云南昭通·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 33．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 34．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征． (1)若设这5个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理； (2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由． 35．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 36．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将两个边长为的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为，已知重合部分是一个长为的长方形，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商品标价元，现在打6折出售仍可获利元，则这件商品的进价是 元． 7．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了，则圆的面积是 ．（取） 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，，点E是上的一点，且.点P从点C出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点E，设点P运动时间为. （1）当点P运动到的中点时，三角形的面积为 . （2）若三角形的面积为，则t的值为 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 10．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）六六乘船由源头甲地顺流而下到乙地，马上又逆流而上到距甲地2千米的丙地，已知他共乘船3小时，船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，则甲乙两地相距千米． 12．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习），，三点在数轴上的相对位置如图所示，已知点，之间的距离为，点，之间的距离为，且，满足，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动． (1)若以点为数轴原点，求，两点对应的有理数； (2)若以点为数轴原点，设运动时间为秒； ①用含的式子分别表示，两点所对应的有理数； ②数轴上一点到原点的距离是，当点到，两点的距离相等时，求此时，两点间的距离． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． (1)求每套运动服的进价？ (2)运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ (3)最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为，求3年后取出的本息和为多少元？ 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数． (1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为2024时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？ (2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为、，则A，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空： ①A、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 【答案】，两地之间的距离是千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，两地之间的距离是千米，根据题意列出方程，然后求解即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设，两地之间的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 答：，两地之间的距离是千米． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）一艘轮船在静水中的速度为，水流速度为，在某两地之间顺流航行比逆流航行少用，则两地之间的路程为多少？ 【答案】两地之间的路程为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．设两地之间的路程为，利用在某两地之间顺流航行比逆流航行少用，列出方程，求出答案． 【详解】解：设两地之间的路程为，根据题意可得： 2， 解得：， 答：两地之间的路程为． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【答案】(1)两人的行进速度分别是， (2)相遇后经过小强到达A地 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程； （1）可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从而列出方程求出解； （2）利用路程÷速度=时间即可解答； 【详解】（1）解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了， 由题意得，， 解得：， 则小强的速度为：， 答：两人的行进速度分别是，； （2）． 答：相遇后经过小强到达A地． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 【答案】安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件 【分析】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解． 设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件，然后列方程计算即可． 【详解】解：设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件， 根据题意得：， 解得：， ， 答：安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受大众关注．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒B的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人． (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产， 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 6．（23-24八年级下·重庆潼南·期中）2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？ 【答案】分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配x人生产花生米，则分配人做罐头，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设分配x人生产花生米，则分配人做罐头， 由题意得：， 解得：， ． 答：分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装． 【经典例题三 工程问题】 【例3】9．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 【答案】乙中途休息了1天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设乙中途休息了x天，则乙施工了天，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设乙中途休息了x天， 由题意可得：， 解得：． 答：乙中途休息了1天． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 8．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 9．（24-25六年级上·上海·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 【答案】(1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的 (2)乙还需要10天才能完成 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时由甲、乙的工作量之和等于总工作量建立方程是关键． （1）设工作量为1，根据甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，即可求出甲乙的工作效率，再求和即可； （2）设乙还需要x天才能完成，由甲、乙的工作量之和再加上乙单独做的工作量等于总工作量建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 答：两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的； （2）解：设乙还需要x天才能完成，根据题意： 解得：， 答：乙还需要10天才能完成． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【答案】(1) (2)店长说法正确 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据销售额等于卖出个摆件的销售额加上卖出个毛线玩具的销售额，即可代数式； （2）设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据利润为1400元，列出方程求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， （不符合实际）， 店长说法正确． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)的值为200 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个． 则， 解得：， ， 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得：， 答：的值为200． 11．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划辆车都要装运．每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的车有辆，根据下面提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 每吨水果利润（元） (1)求这辆汽车共装运水果的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这辆汽车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【答案】(1)这辆汽车共装运水果的数量为吨 (2)销售光这批水果后所获得的总利润为元 (3) 【分析】本题考查根据题目所给条件列代数式，一元一次方程的应用， （1）由装运甲种水果的车有辆，得出装运乙种水果的车有辆，再结合表格内的数据，可表示出辆汽车装运水果的数量； （2）用装运甲、乙水果的量分别乘以它们每吨的利润即可； （3）先表示出总利润的表达式，再根据“无论装运甲的汽车为多少辆，这辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变”可解决问题； 正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：设装运甲种水果的车有辆，则装运乙种水果的车有辆， ∴装运的总量为：， ∴这辆汽车共装运水果的数量为吨； （2）根据题意，得：． ∴销售光这批水果后所获得的总利润为元； （3）根据题意，得：， 又∵无论装运甲水果的汽车为多少辆，这辆车装运的水果销售光后，总利润都保持不变，即利润的表达式的取值与的值无关， ∴， 解得：， ∴的值为． 12．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖． (1)当购买数量超过10本时，请用含的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用． (2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由． (3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？ 【答案】(1)元；元 (2)在甲商店购买较省钱，见解析 (3)小明现有30元，最多可买43本练习本 【分析】本题考查了列代数式，涉及到解一元一次方程，关键是解方程时不能出错，最后的结果要取整数． （1）根据题意，分别列出在甲乙两个商店购买本子的费用的代数式； （2）购买25本练习本，分别把代入表示甲、乙两个商店的费用的代数式，即可得到结果； （3）现有30元钱，得到两个方程，分别解方程，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意， 在甲商店购买需花费：（元， 在乙商店购买需花费：（元， 答：在甲、乙两商店购买本子的费用分别为：元；元． （2）解：要买25本练习本， 在甲商店需花费：（元， 在乙商店需花费：（元， ， 在甲商店购买较省钱； （3）解：小明现有30元， ①若在甲商店购买本子，可得到：， 即， 解得：， 故在甲店最多可购买43本， ②若在乙店购买本子，可得到：， 解得：， 故在乙店最多可购买37本， 小明现有30元，最多可买43本练习本． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2023七年级上·江苏·专题练习）表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛过程中没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 8 4 20 C 12 7 5 19 D 11 5 6 16 E 10 … … 15 (1)观察积分榜，请写出球队胜一场积 　　分，负一场积 　　分． (2)根据积分规则，请求出E队已经进行的10场比赛中，胜、负各是多少场？ (3)若此次篮球比赛每个球队各有16场比赛，D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2，1 (2)E队胜了5场，负了5场 (3)D队的最终积分不可能达到28分，理由见解析 【分析】（1）观察积分榜即可求解； （2）设E队胜x场，则负场，根据等量关系：E队积分是15分列出方程求解即可； （3）设后5场比赛全胜，求出最终积分即可得出答案． 【详解】（1）观察积分榜得，球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2，1； （2）设E队胜x场，则负场， ， 解得， 所以E队负了（场）． 答：E队胜了5场，负了5场； （3）不可能实现． 理由如下： 因为由积分榜可知，D队已经进行了11场比赛， 所以还剩下（场）比赛， 若剩下的5场比赛全胜，则可积10分， 因为（分）， 所以D队的最终积分不会超过26分， 所以D队的最终积分不可能达到28分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)17 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题扣分， 故答案为：5，； （2）解：设答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得， 解得， 答：答对了17道题． 14．（23-24七年级下·吉林·开学考试）某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 【答案】(1)； (2)分； (3)该队为前进队或东方队． 【分析】（）根据钢铁队即可求解； （）设胜一场积分，根据其中一个球队列出方程即可求解； （）设该队胜场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由钢铁队可知，负一场积分， 故答案为：； （2）解：设胜一场积分， 由前进队得，， 解得， 答：胜一场的积分； （3）解：设该队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜场，负场， ∴该队为前进队或东方队． 15．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 16．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 【答案】问题一：；问题二：（1）甲、乙两地间里程数为12公里；（）两位顾客的里程数为5或30公里． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 问题一：根据出租车的收费标准解答； 问题二：（1）设甲、乙两地间里程数为x公里，分和两种情况列出方程并解答； （2）设两位顾客的里程数为x公里，分和两种情况，分别列出方程并解答． 【详解】解：问题一：（元）． 故答案为：30.8； 问题二：（1）解：设甲、乙两地间里程数为x公里， ①若，， 解得（舍）． ②若，． 解得． 答：甲、乙两地间里程数为12公里； （2）解：设两位顾客的里程数为x公里 ①若时，； 解得； ②若时，， 解得； 答：两位顾客的里程数为5或30公里． 17．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． (2)按方案二购买更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 18．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 【答案】(1) (2)按方案1购买较为合算 (3)当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）根据题意确定出两种方案需付款的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式，求出结果后比较即可； （3）由客户按两种方案付款相同，列出方程，可求解． 【详解】（1）解：方案1需付款：元； 方案2需付款：元； 故答案为：； （2）解：当时， 方案1需付款：（元）； 方案2需付款：（元）； ， ∴按方案1购买较为合算； （3）解：由题意可得：， 解得：， 答：当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】(1) (2)嘉嘉把“8”错写成了3 (3)淇淇的计算结果比原题的正确结果大10 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意，得：， 解得， 即嘉嘉把“8”错写成了3； （3）解：淇淇的结果为：， ， 淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数． 【答案】这个两位数是45 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程． 首先设十位数字为x，则个位数字为，根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为，这个两位数是，再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，可得方程，解方程可得x的值，进而得到答案． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，由题意得： ， 解得， 故十位数字为4，个位数字为5，这个两位数字是45， 答：这个两位数是45． 20．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）请阅读下列材料： 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． 根据上述材料，解决下列问题： (1)如图1的三阶幻方中，的值为______； (2)如图2的三阶幻方中， ①幻和=______； ②在①的条件下，若，求的值； (3)如图3的三阶幻方中，， ①若，求中心数（用含的式子表示）； ②若中心数是定值1，求整式（用含的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)①6；② (3)（3）①，② 【分析】此题重点考查数学常识-三价幻方、一元一次方程的应用等知识，正确地求出幻和及中心数是解题的关键． （1）由，求得，于是得到问题的答案； （2）①由幻和等于中心数的3倍，且中心数为2，求得幻和，于是得到问题的答案； ②设第一行中间的数为x，则，求得，由，求得； （3）①由，，求得； ②由中心数，求得幻和，则，所以，由，求得，于是得，求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 故答案为：2． （2）解：①∵幻和等于中心数的3倍，且中心数为2， ∴幻和， 故答案为：6． ②设第一行中间的数为x， ∵，且， ∴， 解得， 则， 解得， ∴c的值为． （3）解：①， ∴， ∴中心数E为． ②∵中心数， ∴幻和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴整式D为． 21．（2024七年级上·江苏·专题练习）探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 【答案】（1），；（2）无限循环小数；（3）无限循环小数如何将其化成分数的形式；（4）；（5）①1；②；③；（6）整数部分为0的无限循环小数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式． （1）根据进行计算即可， （2）根据（1）可得出还有无限循环小数， （3）根据（1）（2）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， （4）根据例题可直接得出， （5）根据（4）的计算方法，设出未知数，进行计算即可， （6）根据（5）的计算过程即可得出归纳结论． 【详解】解：（1）①②， 故答案为：，； （2）我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是无限循环小数， 故答案为：无限循环小数； （3）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， 故答案为：无限循环小数如何将其化成分数的形式； （4）， 故答案为：； （5）①假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ②假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ③假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， 故答案为：1，，； （6）归纳结论：整数部分为0的无限循环小数， 故答案为：整数部分为0的无限循环小数． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题： (1)将下表填写完整； 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 (2)在第个图形中有______个三角形；（用含的式子表示） (3)按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出；如果不能，请简述理由． 【答案】(1)填空表见解析 (2) (3)能得到个三角形，此时 【分析】本题考查图形的变化规律，一元一次方程的应用， （1）结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的倍少个三角形由此可计算出答案； （2）根据（1）中的规律可直接写出答案； （3）根据（2）的结论得到关于的一元一次方程，求解即可； 解题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的运算规律解决问题． 【详解】（1）解：填表如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 （2）由（1）知： 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， …… ∴第个图形的三角形个数为（个）， 故答案为：； （3）依题意，得：， 解得：， ∴按照上述方法，能得到个三角形，此时． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）现有一个类似于圆柱，并且装有若干牛奶的玻璃瓶，测得其底面直径为，高为，当如图①放置时，测得液面高度为；当如图②放置时，测得液面高度为，求该玻璃瓶的总容积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．根据圆柱的体积公式，以及题图①和题图②的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设该玻璃瓶总容积为， 可列方程， 解得. 答：该玻璃瓶的总容积为． 23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）长为2，宽为a的长方形纸片，用如图所示的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第一次操作）；再把剩下的长方形用同样的方法折叠，剪下折叠所得的正方形纸片（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的纸片为正方形，则操作终止．当时，求a的值． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据操作的程序找出“若第n次操作后剩下纸片为正方形，则第次操作后剩余纸片相邻两边存在2倍关系”是解题的关键． 【详解】解：第一次操作后，剩下的长方形纸片长为a，宽为，第二次操作后，剩下的长方形的相邻两边长为和， ∵第三次操作后，剩下的纸片为正方形， ∴或， 解得：或． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，点C表示数5，点A到点B的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．例如：． (1)求线段的长； (2)以数轴上某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且，求点D表示的数； (3)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过t秒时，．求出t的值． 【答案】(1)8 (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和数轴． （1）用点C表示的数减去点A表示的数就是线段的长； （2）根据对折后的长度和点C表示的数求出对折后的点A表示的数，然后根据对折的性质求出折点D所表示的数； （3）分两种情况：①点C在点A右边；②点A在点C右边．每种情况下根据与之间的数量关系分别求出t值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点C表示数5， ∴； （2）解：∵点A以点D为折点向右对折后点A在点C的右边，且， ∴对折后的点A表示的数为， ∴点D表示的数为； （3）解：∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发， ∴t秒时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， ①当点C在点A右边时，， ∵， ∴， 解得：； ①当点A在点C右边时，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：t的值为或． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）中国2019年国际专利申请量居全世界第一．其中，国内企业高度重视高新技术的研发．在单独的企业申请专利排行榜中，我国的华为以4411份申请排在了全球第一位，比美国的高通申请专利数量的2倍多157份．美国的高通申请专利数是多少份？ (1)把上边的线段图补画完整； (2)列式或方程解答． 【答案】(1)见详解 (2)美国的高通申请专利数是2127份 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． （1）根据题意画图即可； （2）设美国申请份，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：设美国申请份， ， 解得：(份) ． 答：美国的高通申请专利数是2127份． 25．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)240人 (2)B街路：144人；C街路：216人 (3)72人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）直接将计算即可； （2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可； （3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴参加A街路清冰雪劳动共有240人； （2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人， ， ， ∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人； （3）设参加清冰雪劳动的居民有y人， ， ， ∴参加清冰雪劳动的居民有72人． 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 【答案】656人 【分析】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个工厂原有男工x人， 根据题意得：， 解得， 答：这个工厂原有男工656人． 27．（24-25七年级上·河南安阳·开学考试）袋子里装有若干个红黑白三种颜色的彩球，已知红球的数量是总数的，增加了6个同样的红球后，红球的数量占总数的，原来黑球数量为8个，则原来白球的数量为多少个？ 【答案】4个 【分析】本题考查一元一次方程，红球的数量及球的总数都发生了变化，但是黑、白两种球的数量没有变，所以关键是抓住不变量解决问题． 【详解】解：设原来共有x个彩球， 白球：（个） 答：原来白球的数量为4个． 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 【答案】(1)小丽家全年需缴水费1040元 (2)小明家全年应缴水费元 (3)该年的用水量为320吨 【分析】（1）根据水价要按两级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加； （2）根据水价要按三级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加，最后进行化简即可． （3）先得出全年缴水费2000元，用水量大于260吨，由题意列出方程，进行求解． 此题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∴小丽家全年需缴水费1040元； （2）根据题意得：（元）， 答：小明家全年应缴水费元； （3）解：∵用水量为260吨，需缴水费：（元）， ∴全年缴水费2000元，用水量大于260吨， 设该年的用水量为x吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴该年的用水量为320吨． 29．（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1) (2)上交水费元 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 【详解】（1）解：当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月用水不超过6立方米时，水费按“基本价”收费；超过6立方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年3、4月份用水量和水费如表： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 5 12.00 4 7.5 20.40 (1)该市每立方米水费的“基本价”是多少钱？ (2)该市每立方米水费的“调节价”是多少钱？ (3)若该户居民6月份水费是26.4元，该户6月份用水多少立方米？ (4)根据该市的这一规定，请你从环保角度说说你的想法． 【答案】(1)该市每立方米水费的“基本价”是2.4元 (2)该市每立方米水费的“调节价”是4元 (3)该户6月份用水9立方米 (4)节约用水，人人有责．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． （1）依据题意，设该市每立方米水费的“基本价”是x元，从而可得，解方程即可得解； （2）依据题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元，从而，进而计算可以得解； （3）依据题意，设该户6月份用水m立方米，又，求出，故，计算即可得解； （4）依据题意，从节约用水的角度回答．（答案不唯一） 【详解】（1）解：设该市每立方米水费的“基本价”是x元， ∴． ∴． 答：该市每立方米水费的“基本价”是2.4元． （2）解：由题意，设该市每立方米水费的“调节价”是y元， ∴． ∴． 答：该市每立方米水费的“调节价”是4元． （3）解：由题意，设该户6月份用水m立方米， ∵， ∴． ∴． ∴． 答：该户6月份用水9立方米． （4）解：节约用水，人人有责．（答案不唯一） 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（23-24六年级下·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 31．（2024七年级上·全国·专题练习）曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 32．（23-24七年级上·云南昭通·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 33．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作镜架，女工负责制作镜片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，那么要调多少名女工帮男工制作镜架？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，女工52人； (2)12名女工． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，确定等量关系列方程是解题的关键． （1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作镜架，利用镜片是镜架的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人． 由题意得， 解得， 所以女工有（人）． 答：该工厂有男工36人，女工52人． （2）设调名女工帮男工制作镜架． 由题意得， 解得． 答：如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套，要调12名女工帮男工制作镜架． 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 34．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征． (1)若设这5个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理； (2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减，培养学生观察归纳找出规律的能力，关键是通过观察找出各数间的关系． （1）由已知，通过观察得出：左右每个数比前面一个数都大1，上下每个数都比上面一个数都大7，因此设中间数为，则根据以上规律可写出其它5个数．然后求和． （2）由（1）求得的和的代数式，试求是整数则可能，否则不可能． 【详解】（1）解：由题意得，其他4个数从小到大依次为，，，， 所以这5个数的和为． 因为为整数，所以能被5整除，即被四边形圈起来的5个数的和是5的倍数． （2）解：不能． 理由：由（1）知，若中间的数为，则，所以， 所以下面那个数为37，不符合实际意义，故这5个数的和不能为150． 35．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 36．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 【答案】(1)65；50；位置C上的数的5倍 (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据题意可得最小的数为，最大的数为，根据最小数与最大数的和为40，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∴“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为：“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍， 故答案为：65；50；位置C上的数的5倍； （2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为， ∵， ∴“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）解：∵中间的数为c， ∴最小的数为，最大的数为， ∵最小数与最大数的和为40， ∴， ∴， 故答案为：20． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【答案】绳索长为20尺，竿长15尺． 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解∶设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 （尺）， 答：绳索长为20尺，竿长15尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可． 【详解】设一共有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：一共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 【答案】(1) (2)元 (3)次 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用， （1）由表格可知：每乘一次车，就用去元，进一步利用总金额减去乘车消费的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式得出答案即可； （3）由（1）中的代数式，令余额为，建立方程求得即可； 根据题意，得出余额的表示方法是解题的关键． 【详解】（1）解：用乘车的次数表示余额的式子为； （2）解：当时，（元）， ∴余额为元； （3）解：依题意得：， 解得：， ∵乘车的次数是非负整数， ∴小华最多乘坐次． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律题， （1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】（1）解：∵第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， ∴第次可得正方形：（个）， 第次可得正方形：（个）， 故答案为：； （2）由（1）得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）不能， 理由：依题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴当时不符合题意， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【答案】(1)或； (2)一张卡片克，一根吸管克； (3)成立，卡片4张． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式表达式： （1）根据记录1和2，天平平衡，则天平左右两边的重量相同，据此列式求解即可； （2）由（1）得一根吸管重克或克，列式进行计算，即可作答． （3）先设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，由（2）得出一张卡片克，一根吸管克，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由记录1得4张卡个砝码等于16根吸管，且设一张卡片重x克， ∴根吸管， ∴一根吸管重克； 由记录2得8张卡根吸管等于5根吸管个砝码， ∴根吸管根吸管， ∴一根吸管重克； 则一根吸管重克或克； （2）解：由（1）得一根吸管重克或克， ∴， 解得， 把代入， 得（克） ∴一张卡片克，一根吸管克； （3）解：成立，过程如下： 设卡片的数量是张，则吸管的数量是根， 由（2）得出一张卡片克，一根吸管克； ∴卡片重克，吸管重（克）， ∵为正整数， ∴， ∴把卡片与砝码一同放入天平左边，吸管放入天平右边， ∴， 解得， ∴假设成立，卡片4张． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 【答案】(1)，，； (2)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； (3)当或秒时，线段的长度等于的两倍． 【分析】本题考查非负性的应用，解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）由，得到，，则点表示的数是，点表示的数是，由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； （2）根据点的运动速度和方向，直接表示出点、所表示的数，再根据、相遇时所表示的数相等列出方程求解即可； （3）先利用中点坐标公式求出，的坐标，再用两点间的距离公式列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴线段的中点表示的数为：， 故答案为：，，； （2）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，则、表示的数相等， 解得： ∴当时，、相遇， 此时，， ∴相遇点表示的数为， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解：∵秒后，点表示的数，点表示的数为 ， ∵点表示的数为，点表示的数为， ， 依题意得，， 或， 解得：或， ∴当或秒时，线段的长度等于的两倍． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 【答案】(1)3，5 (2)1或 (3)6 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值及一元一次方程的应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答； （2）利用两点间距离公式列出关于a的方程，即可求解； （3）根据表示数a到点与2两点的距离的和即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； （2）解：根据题意得：， 则， 或， 的值为或； （3）解：若数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【答案】(1)或2 (2)当经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心” 【分析】（1）根据定义，得到点C表示的数为或，解答即可． （2）设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为，分类思考如下： 当点Q在点B的右侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次． 本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分类思想，熟练掌握定义，正确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得点C表示的数为或即或， 故答案为：或2． （2）解：设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为， 当点Q在点B的右侧时，此时，， 根据定义，得到：， 解得； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，， 根据定义，得到， 解得． 故经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心”． 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将两个边长为的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为，已知重合部分是一个长为的长方形，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是本题的关键， 可设它的宽为，根据整个图形的面积为列出方程求出即可． 【详解】解：设它的宽为，根据题意得∶ ， 解得：， 故它的宽为． 故选∶C． 2．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 【答案】B 【分析】设这件冲锋衣的原价是x元，根据明明的妈妈在淘宝“618年中大促”活动中购买一件冲锋衣加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设这件冲锋衣的原价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴这件冲锋衣的原价是240元． 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队， ∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人． 根据题意得：． 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值问题，一元一次方程的整体解法问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键．根据题意，分别列出方程，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形，按…的方向行走．甲从点A出发，以的速度行走；同时，乙从点B出发，以的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（    ） A．边上 B．边上 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为，乙追上甲时，乙比甲多走，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙行走后第一次追上甲，则甲行走的路程为，乙行走的路程为． 当乙第一次追上甲时，， 解得． ∴此时乙行走的路程为 ∵， ∴当乙第一次追上甲时，共走了3圈多90米，即在正方形的点C处乙第一次追上甲， 故选；C． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商品标价元，现在打6折出售仍可获利元，则这件商品的进价是 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 设这件商品的进价是元，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设这件商品的进价是元， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，把圆分成若干等份，然后把它剪开，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了，则圆的面积是 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长和面积公式，设圆的半径是，然后表示出拼成的长方形的长与宽，再根据长方形的周长公式与圆的周长公式列式即可求出圆的半径，再根据圆的面积公式即可求解，掌握长方形的上下两边的长度和为圆的周长，左右两边的长度的和为圆的直径是解题关键． 【详解】解：设圆的半径是， 则， ∴， ∴圆的面积是， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，，点E是上的一点，且.点P从点C出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点E，设点P运动时间为. （1）当点P运动到的中点时，三角形的面积为 . （2）若三角形的面积为，则t的值为 ． 【答案】 12 或5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）分三种情况：当点P在上，当点P在上，当点P在AE上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：（1）当点P运动到的中点时，， ； 故答案为：12． （2）如图，当点P在上，即时， 四边形是长方形， . ， ， ； 如图，当点P在上，即时， ， ， ， ， ， 解得：； 当点P在上，即时，， ， 解得：（舍去）； 综上所述，当或5时的面积会等于． 故答案为：或5． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与90和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数； 【详解】解：（1）M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，先求出点N表示的数，再设点Q运动的时间为t秒，分当点P在点Q左边时，当点P在点Q右边时，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，点N表示的数为， 设点Q运动的时间为t秒， 当点P在点Q左边时，则， 解得， ∴点P表示的数为； 当点P在点Q右边时，则， 解得， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P对应的数为或， 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）六六乘船由源头甲地顺流而下到乙地，马上又逆流而上到距甲地2千米的丙地，已知他共乘船3小时，船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，则甲乙两地相距千米． 【答案】10或12.5千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到合适的等量关系式是解题的关键．分丙地位于甲、乙中间时及甲地位于乙、丙中间时，两种情况讨论，设甲、乙两地的距离为千米，根据“他共乘船3小时”列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：当乙、丙间的距离小于甲、乙间的距离，即丙地位于甲、乙中间时， 设甲、乙两地的距离为千米， 因为船在静水中的速度为每小时8千米，水流速度为每小时2千米， 所以船顺流而下的速度为（千米/时），船逆流而上的速度为（千米/时）， 根据题意，得 解得：， 所以甲、乙两地的距离为12.5千米； 当乙、丙间的距离大于甲、乙间的距离，即甲地位于乙、丙中间时， 根据题意，得 解得： 所以甲、乙两地的距离为10千米； 综上所述，甲、乙两地的距离为10千米或12.5千米． 12．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习），，三点在数轴上的相对位置如图所示，已知点，之间的距离为，点，之间的距离为，且，满足，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动． (1)若以点为数轴原点，求，两点对应的有理数； (2)若以点为数轴原点，设运动时间为秒； ①用含的式子分别表示，两点所对应的有理数； ②数轴上一点到原点的距离是，当点到，两点的距离相等时，求此时，两点间的距离． 【答案】(1)点对应的有理数为，点对应的有理数为 (2)①点对应的有理数为，点对应的有理数为；②当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为或．当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为． 【分析】（1）先根据绝对值和平方的非负性求得，的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）①根据点、的运动方向和速度即可表示，两点所对应的有理数；②根据“点到，两点的距离相等”，利用数轴上两点距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， 设点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∵点为数轴原点，即点对应的有理数为， ∴，， ∴，， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为； （2）①∵以点为数轴原点， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为， 设点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∵动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒， ∴，， ∴，， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为； ②设点对应的有理数为， ∵点到原点的距离是， ∴或， ∵点到，两点的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ①当时，或， ∴或 ∴当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：； 当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：0； ②当时，或， ∴（负值不符合题意，舍去）或 当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：0； 综上所述，当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为或．当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性、列代数式、数轴、数轴上两点的距离、一元一次方程的应用，解答的关键理解题意，正确找出题中的等量关系． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）小明的爸爸开了一家运动品商店，近期商店购进一批运动服，按进价提高后打八折出售，这时每套运动服的售价为140元． (1)求每套运动服的进价？ (2)运动服卖出一半后，正好赶上双十一促销，商店决定将剩下的运动服每3套400元的价格出售，很快销售一空，后一半促销获利5000元，求小明的爸爸共购进多少套运动服？ (3)最后，小明的爸爸决定将整批运动服的利润当做小明的教育基金存入银行，已知该银行3年期的固定储蓄年利率为，求3年后取出的本息和为多少元？ 【答案】(1)每套运动服的进价为125元 (2)小明的爸爸共购进1200套运动服 (3)3年后取出的本息和为15134元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设每套运动服的进价为元，根据打折后每套运动服的售价为140元建立方程，解方程即可得； （2）设小明的爸爸共购进套运动服，根据后一半促销获利5000元建立方程，解方程即可得； （3）根据本息和利润（年利率年限）求解即可得． 【详解】（1）解：设每套运动服的进价为元， 由题意得：， 解得， 答：每套运动服的进价为125元． （2）解：设小明的爸爸共购进套运动服， 由题意得：， 解得， 答：小明的爸爸共购进1200套运动服． （3）解：利润为（元）， 则（元）， 答：3年后取出的本息和为15134元． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数． (1)框出数阵中的五个数中，最大的数字为2024时，求框出数阵中的五个数最小的数是多少？ (2)试判断这五个数的和能否为216，若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)2004 (2)能，为32，42，44，46，52 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出各数是解题关键． （1）设最小数为x，则其余数为：，依据最大数确定最小数即可； （2）设最小数为x，则其余数为：，这五个数的和能否为216，列式解答即可． 【详解】（1）解：设最小数为x，则其余数为：． 当最大的数字为2024时，， 解得：， ∴框出数阵中的五个数最小的数为2004； （2）解：这五个数的和能为216．理由如下： 设最小数为x，则其余数为：． 由题意得，， 解方程得：． ∴这五个数的和能为216， ∴这五个数为32，42，44，46，52． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为、，则A，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空： ①A、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①12，2；②， (2)当t为或时， (3)线段的长不发生变化，，理由见详解 【分析】本题考查了数轴上的动点、绝对值方程及一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）①根据题意求解；②根据在数轴上点的移动规律求解； （2）根据“”列方程求解； （3）根据两点之间的距离公式及中点公式可进行求解． 【详解】（1）解：①由题意得：，C表示的数为：， 故答案为：12，2； ②t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， ， 解得：或， 答：当t为或时，； （3）解：线段的长度不发生变化， 理由：M表示的数为：， N表示的数为：， ， 所以线段的长度不发生变化． 学科网（北京）股份有限公司 $$