24.2 第2课时 垂径分弦-【木牍教育】2024-2025学年九年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级下册 第二十四章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径分弦 前 言 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标及重难点 课时A计划 课程导入 等腰三角形 平行四边形 矩形 等腰三角形、平行四边形、矩形，它们谁具有对称性呢？ 课时A计划 课程导入 菱形 正方形 菱形、正方形也具有对称性，那么圆是否也具有对称性呢？ 圆 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：垂径定理及其推论 　 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 课时A计划 课程讲授 新课推进 B O A C D E 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB， （或 ） 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 证明：连结OA、OB. 则OA＝OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称. B O A C D E 课时A计划 B O A C D E P Q 同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合. 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 · O A B D E C 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AE=BE，AC =BC，AD =BD.(结论) ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 课时A计划 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 课程讲授 新课推进 课时A计划 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 课程讲授 新课推进 课时A计划 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 解：（1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例2 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 垂径定理的逆定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为： ∵ CD是直径，AE=BE，(条件) ∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.(结论) ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ? · O A B D E C 课时A计划 课程讲授 新课推进 垂径定理的本质是: 知二得三 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离. 解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB， 垂足为E，则 又∵OA=5cm， 答：圆心到弦AB的距离是4cm. ∴在Rt△OEA中，有 · O A B E 例3 课时A计划 课程讲授 新课推进 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道 如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 例4 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作的垂线，交 AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2 m. 由垂径定理，得AD= AB= ×37.4=18.7(m) 设⊙O的半径为R m，在Rt △AOD中， AO = R, OD = R -7.2, AD = 18.7. 由勾股定理，得AO2 = OD2 + AD2. ∴ R2 = (R -7.2)2 +18. 72. 解方程， 得R ≈ 27. 9. 答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m. ⌒ A B O C D 37.4 7.2 R 课时A计划 习题解析 习题1 下列说法中,不正确的是(　　) A. 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合 C. 圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D 课时A计划 习题解析 习题2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， 下列结论不成立的是(　　) A．CM＝DM B. CB＝DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB ⌒ ⌒ D 课时A计划 习题3 习题解析 1.如图,AB是☉O的直径,∠BAC=42°,D是AC的中点,则∠DOC的度数是　　.  ⌒ 48° 2.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 14cm或2cm 课时A计划 习题解析 习题4 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD. 方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法． . A C D B O E 课时A计划 习题解析 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . 3≤OP≤5 B A O P 习题5 课时A计划 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. ● O C D E F ┗ 习题解析 解:连接 OC，如图. 设这段弯路的半径为 R m，则OF = (R-90) m. ∵ OE⊥CD，∴ CF= CD=300(m). 根据勾股定理，得 ∴R=545. ∴ 这段弯路的半径约为545m. ∴ 拓展提升 课时A计划 课程总结 小结 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 推论 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”） 内容 两种辅助线： 连半径；作弦心距 辅助线 构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$