专题08 概率与统计初步-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题08 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解随机事件的概念 · 掌握古典概型的判断及概率大小计算 · 了解概率的简单性质 · 理解不同抽样方法之间的关系 · 理解频率分布直方图 考点预测 · 简单古典概型的计算 · 分层抽样的计算 · 频率分布直方图 · 样本集中趋势与离散趋势 · 理解样本均值和标准差的意义 要点自测 （1） 随机事件和确定事件 确定事件 在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件 条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件 必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件 随机事件 条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件 （2） 频率与概率 频率与概率的概念 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率 频率与概率的关系 对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A) 概率基本性质 概率的取值范围： 0≤P(A) ≤1 。 必然事件的概率：P(A)＝ 1 。 不可能事件的概率：P(A)＝ 0 。 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)+ P(B) _。 对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件。 P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝ 1- P(B) 。 （3） 古典概型 定义 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 概率公式 P(A)＝。 （四）事件的关系与运算 事件的关系与计算 定义 符号表示 并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） A∪B（或A+B） 交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） A∩B（或AB） 互斥事件 若A∩B为不可能事件， 则称事件A与事件B互斥 A∩B=∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B=∅且A∪B=Ω （五）抽样方法 抽样方法 步骤 优缺点/适用情况 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 简单随机抽样有 操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的。 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。 系统抽样 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体编号。有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k=，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用简单随机抽样方法确定 l(l≤k)； ④按照一定的规则抽取样本。通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。 当总体中元素个数 较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样。 分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，即是一种分层抽样。分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的。 当总体是由 差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。 （六）频率分布直方图 频率直方图的制作步骤： (1)求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） (2)决定组距与组数 组距是指每个小组的 两个端点之间的距离。为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”。极差、组距、组数有如下关系： 若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。 (3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。 (4)列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。 (5)画频率直方图：画图时，横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。 在频率分布直方图中，纵轴表示频率与组距的比值 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的 面积表示，各小长方形的面积总和等于1。 （七）样本均值和标准差 集中趋势 众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或者最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 平均数 样本数据的算术平均数，即。 离散趋势 标准差 标准差s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数。标准差是反映总体波动大小的特征数 方差 样本方差是样本标准差的平方。通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。 考点突破 考点1 分层抽样 【例1】某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为40，则抽取老年医生的人数为 ． 【答案】18 【解析】根据分层抽样比例计算即得. 【详解】因抽取青年医生的比例为，而该医院老年医生有72人， 则按照分层随机抽样方法抽取样本，抽取老年医生的人数为. 故答案为：18. 【突破训练】某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为 ． 【答案】450 【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可． 【详解】设样本容量为，则，解得， 所以样本容量为450， 故答案为：450． 考点2 【频率分布直方图】 【例2】为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（    ） A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.0030 【答案】B 【解析】根据题意结合频率和为1列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：B. 【突破训练】如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层随机抽样的方法从身高在160～175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165～170cm的人数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图分别求出身高在160～175cm和身高在165～170cm的人数，然后根据分层抽样的定义求解即可 【详解】由频率分布直方图可知，高一年级身高在160～175cm的人数有， 高一年级身高在165～170cm的人数， 设抽取到的身高在165～170cm的人数为，则 ，解得， 故选：C 考点3 平均数、中位数、众数 【例3】在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） A组（蒙特利尔站）：80  80  82  78  93 B组（柏林站）：81  80  86  99  86 (1)请写出这10个分数的众数、极差以及A，B两组各自的平均成绩； (2)请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由. 【答案】(1)众数为80，极差为21，82.6，86.4 (2)蒙特利尔站发挥更稳定，理由见解析 【解析】（1）根据众数、极差和平均数的概念，依次计算即可得出结果； （2）可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定，根据方差公式计算即可. 【详解】（1）易知在这10个分数中，出现最多的是80，所以众数为80， 这10个分数中，最高分为99，最低分为78，所以极差为， A，B两组各自的平均成绩分别为， （2）可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定， 设蒙特利尔站和柏林站的方差分别为，， 易知， ， 因为，所以蒙特利尔站发挥更稳定. 【突破训练】甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据如下（单位：mm）： 甲：99    100    98    100    100    103 乙：99    100    102   99     100    100 若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？ 【答案】平均数为，方差为 【分析】根据题意，分别将数据加十，根据平均数和方差的计算公式，可得答案. 【详解】甲的数据为，，，，，， 即，，，，，， 平均数为， 方差为. 考点4 样本方差、标准差 【例4】给定一组数，，，，，，，，，，则（    ） A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2 D．分位数为5 【答案】AD 【解析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】平均数为，故A正确； ，所以标准差为，故B错误； 根据众数的定义可得众数为和，故C错误； 将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，所以第85百分位数为5，所以D正确. 故选：AD. 【突破训练】为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．如图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数 B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数 C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差 D．这一星期内乙的日步数的第75百分位数是12400 【答案】BC 【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项A；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项B；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项C；把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第六个数为所求，即可判断选项D. 【详解】由题中折线图可得甲这一星期内的日步数从小到大排列为： 11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600； 乙这一星期内的日步数从小到大排列为：11800，12200，12400，12600，13000，13800，14000， 所以中位数为12600．故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，A错误； 这一星期内甲的日步数的平均数为 ， 这一星期内乙的日步数的平均数为 ， 因为，故B正确． 由图知，甲的波动程度较大，故方差、标准差较大，故C正确． ，则由A选项得这一星期内乙的日步数的第75百分位数是13800，故D错误． 故选：BC． 考点5 概率的基本性质 【例5】从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 【答案】AB 【解析】对于A，判断两个事件是否可以同时发生，从而判断是否为互斥事件，接下来判断是否为对立事件；对于BCD，利用与A相同的方法进行分析，从而解答题目. 【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”. 对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确； 对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确； 对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误； 对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生， 故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误. 故选：AB. 【突破训练】对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 考点6 古典概型 【例6】在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是 . 【答案】 【分析】确定基本事件空间为，根据古典概型计算求解，即可. 【详解】满足题意的所有两位数有，共15个. 其中能被4整除的两位数有，共5个. 所以概率 故答案为： 【突破训练】柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是 ． 【答案】 【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解. 【详解】设表示三只左鞋，表示三只右鞋， 则从中有放回取出2只的所有可能为： ，共计36种， 其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种， . 故答案为：. 考点7 频率与概率的关系 【例7】下列结论正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在内 B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D．随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 【答案】BD 【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：任何事件的概率总是在内，例如必然事件的概率为1，故A错误； 对于选项B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率， 但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且随机事件中至少有一个发生的概率为， 中恰有一个发生的的概率为， 所以随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率，故D正确； 故选：BD. 【突破训练】下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】ACD 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 模拟演练 一、选择题 1．在土壤中播种5粒种子，考察其发芽数不多于两粒是（    ）． A．基本事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．复合事件 【答案】D 【分析】根据复合事件的概念判断即可. 【详解】发芽数不多于两粒，包括发芽0粒，发芽1粒，发芽2粒，所以是复合事件. 故选:D. 2．下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）对于实数，若，则是随机事件； （2）在标准大气压下，金属铁加热到100℃变成液态是不可能事件； （3）明天湖北省各地的天气呈现阳光灿烂是必然事件. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据随机事件与确定性事件的定义判断即可. 【详解】（1）对于实数，若，则不一定成立，如，但，故（1）是随机事件，该命题正确； （2）在标准大气压下，金属铁的熔点是1538℃，故加热到100℃变成液态是不可能事件，该命题正确； （3）明天湖北省各地的天气呈现阳光灿烂是随机事件，该命题错误. 故真命题的个数是2个. 故选：B. 3．下列说法正确的个数是（    ） ①不可能事件的概率是0 ②一个对象在试验中出现的次数越多，频率就越大 ③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值 ④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据频率和概率的定义和性质逐项判断即可. 【详解】①不可能事件的概率是0，说法正确； ②在实验总次数一定的情况下，一个对象在实验中出现的次数越多，频率才越大，总数不定时，频率也不定，故说法错误； ③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，说法正确； ④收集数据过程中的“记录结果”这一步，是记录每个对象出现的频数，说法错误. 正确的有2个 故选：B. 4．下列事件中，属于随机事件的是（    ）． A．在只装有5个红球的不透明的袋子中摸出1个球，是红球 B．在标准大气压下，水在1℃结冰 C．打开电视机，正在转播足球比赛 D．地球绕着太阳转 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义求解. 【详解】A项属于必然事件．B项属于不可能事件．C项属于随机事件．D项属于必然事件． 故选：C. 5．连续抛一枚硬币2次，“正面朝上出现1次”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型求出概率即可. 【详解】由题意，连续抛一枚硬币2次，样本空间为：（正反）、（正正）、 （反正）、（反反）4种情况，其中“正面朝上出现1次”的 情况有2种，其概率. 故选：A. 6．已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（   ） A．45 B．55 C．100 D．900 【答案】C 【分析】根据样本容量的定义得到答案. 【详解】因为抽取100人进行调查，所以样本容量是100. 故选：C 7．袋中有2个红球和2个白球，这些球除颜色外，外形、质量等完全相同，现从袋中任取两球，取得两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从袋中任取两球，先利用组合数公式求出基本事件总数，再求出取得两球都是红球的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取得两球都是红球的概率. 【详解】从2个红球和2个白球任取两球有种， 取得两球都是红球有1种情况， 所以取得两球都是红球的概率为. 故选：A. 8．中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合原理，分别求得随机3门课程的总数，再计算出选“御”的种类数，即可求得概率. 【详解】随机选择3门课程的数目为，选“御”的种类数为， 则选中“御”的概率为， 故选：C. 9．下列说法错误的是（    ） A．方差可以衡量一组数据的波动大小 B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 C．一组数据的众数有且只有一个 D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 【答案】C 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题. 【详解】对于，方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A正确； 对于，抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B正确； 对于，一组数据的众数有一个或者几个，故选项C错误； 对于，抛掷一枚图钉,针尖朝上和针尖朝下的可能性不相等，所以针尖朝上不是一个基本事件，所以不能用列举法求得，故选项D正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了一组数据的方差、众数，考查了抽样方式，属于基础题. 10．《河南省电信条例》于2021年1月1日起施行，规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业性信息.某调研小组对某社区居民持有的35部手机在某特定时间段内接收的商业性信息进行统计，绘制了如下所示的茎叶图，现按照接收的商业性信息由少到多对被调查的手机进行编号为1～35号，再用系统抽样方法从中依次抽取7部手机，若被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是133，则第5部手机接收的商业性信息的条数是（    ） 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 A．141 B．145 C．143 D．148 【答案】B 【分析】结合系统抽样以及茎叶图确定正确选项. 【详解】因为被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是133， 结合系统抽样可知，从第二部手机开始，被抽取手机所接收的商业性信息的条数分别为：138、141、143、145、148、153. 所以第5部手机接收商业性信息的条数为145. 故选：B. 11．某商场举办有奖销售活动，购物满100元发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用概率的计算公式即可求解. 【详解】解：在10000张奖券中，一等奖10个， 所以中一等奖的概率是． 故选：C. 12．甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】由题意得，甲、乙两人参加学习小组的情况共有种， 这两位同学参加同一个兴趣小组有种情况. 所以两人参加同一个小组的概率为. 故选：A. 13．抛掷两枚大小相同的骰子，则随机事件A：“点数之和不大于4”的基本事件的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用列举法枚举出所有符合的情况即可求解. 【详解】解：“点数之和不大于4”的基本事件有（1，2）,（1，1）,（2，1）,（2，2），（1，3）,（3，1）共6个. 故选：D. 14．盒中装有5个外形相同的球，其中白球2个，黑球3个，从中任意抽取1个球，取到的恰是黑球的概率是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】 由古典概型的概率公式计算即可 ． 【详解】盒中装有5个外形相同的球，其中白球2个，黑球3个，从中任意抽取1个球，共有5种可能， 出现黑球有3种可能，所以取到的恰是黑球的概率是. 故选：B. 15．有学生在3本语文书、5本数学书、3本英语书中任选一本书，选中数学书的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由选一本书共有11种选法，选中数学书有5种选法，可求解. 【详解】由于选一本书共有11种选法，选中数学书有5种选法. 所以，选中数学书的概率为. 故选：B. 16．如果一组数据的方差为4，那么数据的标准差是（    ） A．2 B．6 C．12 D．4 【答案】D 【分析】利用方差与标准差的关系与性质即可求解. 【详解】依题意，数据的方差为4， 所以数据的方差为， 则新数据的标准差为. 故选：D． 17．对某产品30天内每天的生产数量进行了统计，得到茎叶图如图所示，现将这30天的生产数量由少到多编为1-30号，再用系统抽样方法从中选取5个样本，已知第一个抽中的是83，则第4个抽中的是（    ） A．95 B．99 C．100 D．101 【答案】C 【分析】求出分段间隔，由于为号，根据系统抽样的性质得出第个抽中的号码，即可得出答案. 【详解】，则分段间隔为 由茎叶图可知，为号，则第个抽中的号码为 故第4个抽中的是 故选：C 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，属于基础题. 18．某职业技术学院三个专业共有480名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为24的样本．已知该学院的专业有120名学生，专业有200名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为（    ） A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】A 【分析】先求出该学院的专业的学生人数，再根据分层抽样原理可求解. 【详解】由题意，该学院的专业的学生人数为：（名）， 根据分层抽样原理可得，该学院的专业应抽取的学生人数为： （名） 故选：A 19．某中职学校调查了300名学生每周的自习时间（单位：小时）并制成了如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，这300名学生中每周的自习时间不少于27.5小时的人数是（    ）    A．12 B．15 C．30 D．270 【答案】C 【分析】由频率分布直方图计算出每周的自习时间不少于27.5小时的频率，从而可得这300名学生中每周的自习时间不少于27.5小时的频数，即可求解. 【详解】由频率分布直方图知，每周的自习时间不少于27.5小时的频率为， 所以这300名学生中每周的自习时间不少于27.5小时的人数是：（人）. 故选：C 20．从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为古典概型，由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】记， 从三件正品、两件次品中随机取出两件产品所包含的基本事件的个数为， 事件A包含的基本事件的个数为， 故. 故选:C. 二、填空题 21．某完全高级中学的高一、高二年级的学生人数分别为名和名.用分层抽样方法从全校学生中抽取容量为名学生的样本检测身体质量指数，已知在高一年级中抽取名，则应从高三年级中抽取的学生数为 . 【答案】70 【分析】通过分层抽样各层在总体中的比例与在样本中的比例一样求解即可. 【详解】设高二年级应抽取（人），则高三年级应抽取（人）. 由可得：，则. 即高三年级应抽取（人）. 故答案为：. 22．已知为实数，若数据1，2，，6的平均数为3，则这组数据的标准差为 . 【答案】/ 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意，解得， 所以方差为， 则标准差为. 故答案为： 23．在一个不透明的袋子中装有3个白球，2个红球，个绿球，它们除颜色外完全相同，现从中任意摸出一个球，则摸到绿球的概率是，则 ． 【答案】5 【分析】根据古典概型的概率公式列式求解即可. 【详解】摸出一个球有种，摸出绿球有种. 所以摸到绿球的概率. 解得. 故答案为：5. 24．在一次系统抽样中，样本容量为4，样本的编号分别为04、A、28、B，则 ， ． 【答案】 【分析】根据系统抽样的概念设定样本间的间隔，即可求解. 【详解】题目中采用系统抽样，所以样本之间的间隔是相等的，设样本间隔为， 则，，， 解得. 故答案为：；. 25．某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次10环,3次9环,4次8环,1次脱靶,在这次练习中,这个人中靶的频率是 ,中9环的频率是 . 【答案】 0.9 0.3 【分析】利用频率公式求解即可 【详解】由题意可知，共射击次，所以总的基本事件数是，共有次未中靶， 所以未中靶的概率为， 所以中靶的频率是 共有次中环，所以中环的频率是 故答案为：0.9，0.3 三、解答题 26．某学校为了解新生的身体发育情况，从2000名新生中，利用系统抽样，抽取一个容量为100的样本，请你来完成这个抽样． 【答案】答案见解析 【分析】根据系统抽样的方案求解即可. 【详解】解：将这2000名学生编号（也可以利用新生录取号）， 由于，所以取每段间隔为20，将编号分成100段， 从这20个数字中，用简单随机抽样法任意抽取一个数字， 如“15”（或规定数字15），则可抽取每段中第15个顺序号的学生，得到容量为100的样本． 学生号码依次为15，35，55，75，…，1995． 27．一个地区共有5个乡镇，共3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的抽样方法？写出具体过程． 【答案】应用分层抽样，过程见解析 【分析】根据分层抽样的步骤解决即可. 【详解】应用分层抽样步骤如下： 第一步：分层，由于该疾病与地理位置及水土有关，因此可以按照地理位置划分为5层， 即每个乡镇一层； 第二步：按比例确定每层抽取个体的个数，即每个乡镇按人口比例确定人数， 依次为（人），（人），（人）， （人），（人）； 第三步：在各层中抽样； 第四步：综合每层抽样，组合成样本． 28．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的几率是0.18. (1)问高二年级有多少名女生？ (2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？ 【答案】(1)540 (2)90 【分析】（1）根据随机抽样的等可能性可列式求解； （2）分层抽样即按比例抽样，按比例求解即可. 【详解】（1）由＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生. （2））高三年级人数为：y＋z＝3 000－(487＋513＋540＋560)＝900. ∴×900＝90，故应从高三年级抽取90名学生. 29．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56. (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为， 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数； （2）根据（1）中求得数据代入计算即可得出结果. 【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则， 解得：. 记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得： 所以，抽取的总样本的平均数为. （2）男生样本的平均数为，样本方差为； 女生样本的平均数为，样本方差为； 由（1）知，总样本的平均数为. 记总样本的样本方差为， 则 所以，估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16. 30．为全面学习社会主义核心价值观，近日，某高校积极组织一批学生党员开展学习、践行社会主义核心价值观知识竞赛活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示），且成绩在90分以上（含90分）的学生有2人． (1)从成绩在内的学生中任选2人进行强化补习，求这2人中至少有1人的成绩在内的概率； (2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名参加决赛，所抽取的3名学生中成绩在内的人数记为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用直方图的性质可得x，y，然后利用古典概型的概率公式即得； （2）根据求分布列的一般步骤及期望公式即得. 【详解】（1）由题意可知，． 故成绩在内的人数为， 在内的人数为． 故至少有1人的成绩在内的概率为． （2）易知成绩在80分以上（含80分）的学生共有7人，其中在内的有5人，在内的有2人． 由题意知的所有可能取值为0，1，2． ，，． 故的分布列为 0 1 2 所以． $$专题08 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解随机事件的概念 · 掌握古典概型的判断及概率大小计算 · 了解概率的简单性质 · 理解不同抽样方法之间的关系 · 理解频率分布直方图 考点预测 · 简单古典概型的计算 · 分层抽样的计算 · 频率分布直方图 · 样本集中趋势与离散趋势 · 理解样本均值和标准差的意义 要点自测 （1） 随机事件和确定事件 确定事件 在条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件 条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件 必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件 随机事件 条件S下， 的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件 （2） 频率与概率 频率与概率的概念 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的 频率与概率的关系 对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用 来估计概率P(A) 概率基本性质 概率的取值范围： 。 必然事件的概率：P(A)＝ 。 不可能事件的概率：P(A)＝ 。 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ _。 对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件。 P(A∪B)＝ ，P(A)＝ 。 （3） 古典概型 定义 有限性：试验中所有可能出现的基本事件 。 等可能性：每个基本事件出现的可能性 。 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 概率公式 P(A)＝ 。 （四）事件的关系与运算 事件的关系与计算 定义 符号表示 并事件（和事件） 若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） 交事件（积事件） 若某事件发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 互斥事件 若A∩B为 事件， 则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为 事件，A∪B为 ，则称事件A与事件B互为对立事件 （五）抽样方法 抽样方法 步骤 优缺点/适用情况 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 简单随机抽样有 的优点，在总体个数 的情况下是行之有效的。 抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体 ，把号码写在 上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中 ，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。 系统抽样 一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N个个体 。有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； ②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取 ，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除； ③在第1段用简单随机抽样方法确定 l(l≤k)； ④按照一定的规则 。通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本。 当总体中元素个数 时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用 。 分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的 ，从 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，即是一种分层抽样。分层抽样时，每个个体被抽到的机会是 。 当总体是由 几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。 （六）频率分布直方图 频率直方图的制作步骤： (1)求极差（即一组数据中 与 的差） (2)决定组距与组数 组距是指每个小组的 之间的距离。为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”。极差、组距、组数有如下关系： 若为 ，则 组数；若不为整数，则[]+ =组数。 (3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左 右 区间，最后一组取 区间。 (4)列频率分布表：统计各组数据的 ，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。 (5)画频率直方图：画图时，横轴表示 ，纵轴（小长方形的高）表示 。 在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的 表示，各小长方形的面积总和等于 。 （七）样本均值和标准差 集中趋势 众数 在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数。 中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的 数据（或者最中间两个数据的 ）叫做这组数据的中位数。 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 。 平均数 样本数据的算术平均数，即＝ 。 离散趋势 标准差 标准差s＝ ，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数。标准差是反映总体波动大小的特征数 方差 样本方差是样本标准差的平方。通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。 考点突破 考点1 分层抽样 【例1】某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为40，则抽取老年医生的人数为 ． 【答案】18 【解析】根据分层抽样比例计算即得. 【详解】因抽取青年医生的比例为，而该医院老年医生有72人， 则按照分层随机抽样方法抽取样本，抽取老年医生的人数为. 故答案为：18. 【突破训练】某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为 ． 考点2 【频率分布直方图】 【例2】为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x的值为（    ） A．0.0020 B．0.0025 C．0.0015 D．0.0030 【答案】B 【解析】根据题意结合频率和为1列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：B. 【突破训练】如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层随机抽样的方法从身高在160～175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165～170cm的人数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 考点3 平均数、中位数、众数 【例3】在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） A组（蒙特利尔站）：80  80  82  78  93 B组（柏林站）：81  80  86  99  86 (1)请写出这10个分数的众数、极差以及A，B两组各自的平均成绩； (2)请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由. 【答案】(1)众数为80，极差为21，82.6，86.4 (2)蒙特利尔站发挥更稳定，理由见解析 【解析】（1）根据众数、极差和平均数的概念，依次计算即可得出结果； （2）可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定，根据方差公式计算即可. 【详解】（1）易知在这10个分数中，出现最多的是80，所以众数为80， 这10个分数中，最高分为99，最低分为78，所以极差为， A，B两组各自的平均成绩分别为， （2）可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定， 设蒙特利尔站和柏林站的方差分别为，， 易知， ， 因为，所以蒙特利尔站发挥更稳定. 【突破训练】甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据如下（单位：mm）： 甲：99    100    98    100    100    103 乙：99    100    102   99     100    100 若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？ 考点4 样本方差、标准差 【例4】给定一组数，，，，，，，，，，则（    ） A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2 D．分位数为5 【答案】AD 【解析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】平均数为，故A正确； ，所以标准差为，故B错误； 根据众数的定义可得众数为和，故C错误； 将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，所以第85百分位数为5，所以D正确. 故选：AD. 【突破训练】为倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动．如图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列说法正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数 B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数 C．这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差 D．这一星期内乙的日步数的第75百分位数是12400 考点5 概率的基本性质 【例5】从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（  ） A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球” B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球” C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球” D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 【答案】AB 【解析】对于A，判断两个事件是否可以同时发生，从而判断是否为互斥事件，接下来判断是否为对立事件；对于BCD，利用与A相同的方法进行分析，从而解答题目. 【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”. 对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确； 对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件， 但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确； 对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件， 其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误； 对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生， 故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误. 故选：AB. 【突破训练】对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 考点6 古典概型 【例6】在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是 . 【答案】 【分析】确定基本事件空间为，根据古典概型计算求解，即可. 【详解】满足题意的所有两位数有，共15个. 其中能被4整除的两位数有，共5个. 所以概率 故答案为： 【突破训练】柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是 ． 考点7 频率与概率的关系 【例7】下列结论正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在内 B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D．随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 【答案】BD 【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：任何事件的概率总是在内，例如必然事件的概率为1，故A错误； 对于选项B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率， 但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且随机事件中至少有一个发生的概率为， 中恰有一个发生的的概率为， 所以随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率，故D正确； 故选：BD. 【突破训练】下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 模拟演练 一、选择题 1．在土壤中播种5粒种子，考察其发芽数不多于两粒是（    ）． A．基本事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．复合事件 2．下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）对于实数，若，则是随机事件； （2）在标准大气压下，金属铁加热到100℃变成液态是不可能事件； （3）明天湖北省各地的天气呈现阳光灿烂是必然事件. A．3 B．2 C．1 D．0 3．下列说法正确的个数是（    ） ①不可能事件的概率是0 ②一个对象在试验中出现的次数越多，频率就越大 ③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值 ④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列事件中，属于随机事件的是（    ）． A．在只装有5个红球的不透明的袋子中摸出1个球，是红球 B．在标准大气压下，水在1℃结冰 C．打开电视机，正在转播足球比赛 D．地球绕着太阳转 5．连续抛一枚硬币2次，“正面朝上出现1次”的概率是（　　） A． B． C． D． 6．已知某校高三有900名学生，为了解该年级学生的健康情况，从中随机抽取100人进行调查，抽取的100人中有55名男生和45名女生，则样本容量是（   ） A．45 B．55 C．100 D．900 7．袋中有2个红球和2个白球，这些球除颜色外，外形、质量等完全相同，现从袋中任取两球，取得两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”的概率为（    ） A． B． C． D． 9．下列说法错误的是（    ） A．方差可以衡量一组数据的波动大小 B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度 C．一组数据的众数有且只有一个 D．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 10．《河南省电信条例》于2021年1月1日起施行，规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业性信息.某调研小组对某社区居民持有的35部手机在某特定时间段内接收的商业性信息进行统计，绘制了如下所示的茎叶图，现按照接收的商业性信息由少到多对被调查的手机进行编号为1～35号，再用系统抽样方法从中依次抽取7部手机，若被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是133，则第5部手机接收的商业性信息的条数是（    ） 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 A．141 B．145 C．143 D．148 11．某商场举办有奖销售活动，购物满100元发兑奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖一个，一等奖10个，二等奖100个，若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是（    ） A． B． C． D． 12．甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（    ） A． B． C． D． 13．抛掷两枚大小相同的骰子，则随机事件A：“点数之和不大于4”的基本事件的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．盒中装有5个外形相同的球，其中白球2个，黑球3个，从中任意抽取1个球，取到的恰是黑球的概率是（    ） A． B． C．0 D．1 15．有学生在3本语文书、5本数学书、3本英语书中任选一本书，选中数学书的概率是（    ） A． B． C． D． 16．如果一组数据的方差为4，那么数据的标准差是（    ） A．2 B．6 C．12 D．4 17．对某产品30天内每天的生产数量进行了统计，得到茎叶图如图所示，现将这30天的生产数量由少到多编为1-30号，再用系统抽样方法从中选取5个样本，已知第一个抽中的是83，则第4个抽中的是（    ） A．95 B．99 C．100 D．101 18．某职业技术学院三个专业共有480名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为24的样本．已知该学院的专业有120名学生，专业有200名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为（    ） A．8 B．6 C．12 D．10 19．某中职学校调查了300名学生每周的自习时间（单位：小时）并制成了如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，这300名学生中每周的自习时间不少于27.5小时的人数是（    ）    A．12 B．15 C．30 D．270 20．从三件正品、两件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 21．某完全高级中学的高一、高二年级的学生人数分别为名和名.用分层抽样方法从全校学生中抽取容量为名学生的样本检测身体质量指数，已知在高一年级中抽取名，则应从高三年级中抽取的学生数为 . 22．已知为实数，若数据1，2，，6的平均数为3，则这组数据的标准差为 . 23．在一个不透明的袋子中装有3个白球，2个红球，个绿球，它们除颜色外完全相同，现从中任意摸出一个球，则摸到绿球的概率是，则 ． 24．在一次系统抽样中，样本容量为4，样本的编号分别为04、A、28、B，则 ， ． 25．某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次10环,3次9环,4次8环,1次脱靶,在这次练习中,这个人中靶的频率是 ,中9环的频率是 . 三、解答题 26．某学校为了解新生的身体发育情况，从2000名新生中，利用系统抽样，抽取一个容量为100的样本，请你来完成这个抽样． 27．一个地区共有5个乡镇，共3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的抽样方法？写出具体过程． 28．某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的几率是0.18. (1)问高二年级有多少名女生？ (2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？ 29．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56. (1)求抽取的总样本的平均数； (2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为， 30．为全面学习社会主义核心价值观，近日，某高校积极组织一批学生党员开展学习、践行社会主义核心价值观知识竞赛活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示），且成绩在90分以上（含90分）的学生有2人． (1)从成绩在内的学生中任选2人进行强化补习，求这2人中至少有1人的成绩在内的概率； (2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名参加决赛，所抽取的3名学生中成绩在内的人数记为，求的分布列和数学期望． $$