专题07 简单几何体-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题07 简单几何体 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 观察认识简单空间几何体 · 掌握柱、锥、球的结构特征 · 知道简单几何体的表面积和体积公式 · 运用公式解决简单的实际问题 · 斜二测画法描绘简单空间几何体的直观图 考点预测 · 简单几何体的结构特征及相关性质 · 表面积和体积的计算公式 · 斜二测画法与几何体直观图 · 简单几何体的三视图 · 理解简单几何体的三视图 要点自测 （一）多面体 多面体的定义 由 围成的封闭的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的 ，相邻两个面的公共边称为多面体的 ， 的公共点称为多面体的顶点。 名称 棱柱 棱锥 定义 有两个面 ，其余面都是 的多面体称为棱柱。其中，两个互相平行的面称为棱柱的 面，其余的面称为棱柱的 。两个侧面的公共边称为棱柱的 。侧棱与底面的交点称为棱柱的 。不在同一底面或侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的 。两个底面间的距离称为棱柱的 。侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱称为 棱柱。 一个面是多边形，其余面都是 ，并且这些 形有 的多面体，称为棱锥。 称为棱锥的底面（简称底），其余 称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的 ，各侧面的公共点称为棱锥的 ，从 到 的距离称为棱锥的高。 图形 正多面体 概念 底面为 多边形的直棱柱称为 棱柱。 底面是 多边形，顶点在底面内的投影是底面的 的棱锥，称为正棱锥。正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的 。 性质 （1） 两个底面是 且 的正多边形； （2） 侧面都是 的矩形； （3） 侧棱 于底面，各侧棱都 ，侧棱与高 。 （1）各条侧棱 ，斜高 ，侧面是 三角形； （2）顶点到底面中心的连线 于底面，是正棱锥的高； （3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个 三角形。 表面积 直棱柱的表面积计算公式 正棱锥的表面积计算公式： 。 体积 直棱柱的体积计算公式： 。 对于底面积和高都相等的棱柱与棱锥，棱锥的体积是棱柱体积的 。棱锥体积的计算公式： （二）斜二测画法 （1） 在已知图形中取互相垂直的两条直线作x轴和y轴，两轴相交于点0。画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y‘轴，两轴相交于点0'，且使∠x'O'y'= ，它们确定的平面表示水平面。 （2） 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x'轴和y'轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中的长度 ；平行于y轴的线段，在直观图中的长度 。 （3） 对照平面图，在直观图上找到相应的端点逐一连接，擦去x'轴、y'轴及其他辅助线。 6、用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤： （1） 画底面，这时使用平面图形的 画法即可； （2） 画z’轴，'轴过点O'，且与x'轴的夹角为 ，并画出高线（与原图高线 ，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图； （3） 擦去辅助线，被遮线用 表示或者不画。 （三）旋转体 名称 圆柱 圆锥 球 定义 以 的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体，称为圆柱。 称为圆柱的轴， 于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面。 于轴的高母线边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面，通常用 来表示圆柱。 以 的一条 边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥。 称为圆锥的轴， 旋转形成的圆面称为圆锥的底面， 旋转而成的曲面称为圆锥的侧面， 称为圆锥的母线。母线与轴的交点称为 。顶点到底面圆心的距离称为圆锥的 。 半圆绕着它的 所在直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为半圆绕着它的球面，球面所围成的几何体称为 ，简称 。半圆的圆心称为 ，连接球心和球面上任意一点的线段称为 。通常用 表示球。 图形 结构特征 （1） 两个底面是半径 的圆，平行于底面的横截面是与底面 的圆； （2） 母线 ，并且 圆柱的高； （3） 过轴的截面（ ）是 ，其长为圆柱的 ，宽为底面的 。 （1） 底面以及平行于底面的截面都是圆； （2） 高 于底面圆，且过 ； （3） 轴截面为 ，高是圆锥的高，腰是圆锥的 底边是底面圆的 。 用一个平面截球0，截面是 ，这个圆面称为 。 球心的平面截球所得的圆称为球的大圆， 球心的平面截球所得的圆称为球的小圆。 当球截面是小圆时： （1） 球截面的圆心与球心的连线 于球截面； （2） 设球心O到球截面圆心O'的连线长为d，球的半径为R，球截面的半径为r， 。 表面积 圆柱的侧面积的计算公式： ，表面积的计算公式： 圆锥的侧面积的计算公式： 。 圆锥的表面积的计算公式： 。 对于底面积和高都相等的圆柱与圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的 。圆锥体积的计算公式： 球的表面积公式： ； 体积 圆柱的体积的计算公式： 。 （1） 体积的公式 。 （四）简单几何体的三视图 三视图 概念 规律 主视图 从物体的 向 投影所得到的视图 （1） 位置： （2） 主视图画在 位置， 左视图画在主视图的 ， 俯视图画在主视图的 。（2）投影规律： 1 主视图与俯视图的 相同，即“ ” 2 左视图和主视图的 相同，即“ ” 3 俯视图与左视图的 相同，即“ ” （3）画线规则： ①能看见的轮廓线用 表示； ②看不见的轮廓线用 表示。 左视图 从物体的 向 投影所得到的视图 俯视图 从物体的 向 投影所得到的视图 考点突破 考点1 多面体的结构特征 【例1】以下各种情况中，是长方体的是（    ） A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱 C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱 【答案】D 【解析】根据题目,根据长方体的特征可选出答案. 【详解】A选项是棱柱,但不一定是长方体. B选项底面可能与顶面不同. C选项侧面可能是平行四边形. 由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知,长方体是底面是矩形的直棱柱; 故选:D. 【突破训练】纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是（    ）    A．南 B．北 C．西 D．下 考点2 斜二测画法 【例2】下列关于直观图的说法不正确的是（　　） A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变 B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变 C．画与直角坐标系对应的时，`可以画成 D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同 【答案】A 【解析】根据直观图的画法逐个分析即可. 【详解】平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错误. 平行于x轴的线段，直观图中长度不变，故B正确. 直观图中对应的为或，故C正确. 画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同，故D正确. 故选：A. 【突破训练】如图为水平放置的正方形，在直角坐标系中点B的坐标为，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点到轴的距离为（    ）    A． B． C．1 D． 考点3 多面体的表面积与体积 【例3】已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四面体的各棱长均为，可知四面体的四个面都是等边三角形，利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】因为四面体的各棱长均为， 所以四面体的四个面都是等边三角形， 所以该四面体的表面积为. 故选：D 【例4】正三棱柱的所有棱长均为2，则三棱锥的体积为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】结合图形可知，再根据棱柱和棱锥的体积公式求值即可. 【详解】已知正三棱柱的所有棱长均为2， 所以三棱锥底面积为， 且三棱锥的高为，， 又三棱锥底面积为， 高为，， 如图可直. 故选：D 【突破训练】圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积为（　　） A． B． C．或 D． 考点4 旋转体的结构特征 【例5】如图所示的组合体，其结构特征是（　　） A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱 【答案】D 【解析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断. 【详解】如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体． 故选：D 【突破训练】充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（ ） A． B． C． D． 考点5 旋转体的表面积与体积 【例6】一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是 . 【答案】20 【解析】根据圆柱的轴截面是矩形，求矩形的面积易得答案. 【详解】由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为， 所以面积为. 故答案为：20. 【例7】已知一个圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个等腰直角三角形，且圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和勾股定理求解即可. 【详解】 如图所示，△ABC为轴截面，圆锥母线长度为， 故圆锥侧面积为. 故答案为：. 【突破训练】已知球的大圆周长为，则它的表面积和体积分别是（　　） A． B． C． D． 考点6 简单几何体三视图 【例8】如图是一个物体的三视图，则此几何体的组成为（    ）．    A．上面为棱锥，下面为棱柱 B．上面为圆锥，下面为棱柱 C．上面为棱锥，下面为圆柱 D．上面为圆锥，下面为圆柱 【答案】D 【分析】根据几何体的三视图进行分析. 【详解】由几何体的三视图分析可得该几何体上面为圆锥，下面为圆柱． 故选：D. 【突破训练】如图，网格纸上小正方形的边长为1，画出的是某几何体的三视图，该几何体的侧面积为（    ）．    A． B． C． D． 模拟演练 一、选择题 1．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（    ） A．每个面都是等边三角形 B．每个面都是直角三角形 C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 2．若长方体的棱长为3，4，5，则它的表面积是（    ） A．70 B．94 C．96 D．65 3．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则该圆锥的侧面积（    ） A． B． C． D． 4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为，则此棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥形竹制帽子的母线长为40厘米，底面直径为50厘米，则制作一个这样的竹制帽子所需要的材料至少为（取3.14，结果保留整数）（     ） A．12500平方厘米 B．25000平方厘米 C．3140平方厘米 D．6280平方厘米 7．如图，在长方体中，下列表述错误的是（    ）    A．点平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 8．下列说法中不正确的是（    ） A．球的截面是圆面 B．圆柱的轴截面是矩形 C．三棱锥的侧面是三角形 D．四棱柱的底面是三角形 9．一平面截某几何体得到一个三棱锥，则该几何体不可能是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆锥 10．若两球的表面积之比为，那么这两球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，三棱柱的体积为6，四棱锥的体积为（     ）    A．2 B．3 C．4 D． 12．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 13．将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 15．已知圆锥为底面圆心，为圆锥的母线，且，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 16．半径为3的球的体积是（  　） A．9π B．81π C．27π D．36π 17．正方体的的表面积为96，则正方体的体积为（    ） A．48 B．64 C．16 D．96 18．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（    ）    A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体 19．等底等高的圆柱和圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 20．若圆锥和圆柱的底面半径均为R，高均为3R，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和． （2）棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 S为棱柱的 ，h为棱柱的 棱锥 S为棱锥的 ，h为棱锥的 棱台 ，S分别为棱台的 ，h为棱台的 22．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 23．阿基米德和高斯、牛顿井列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“拾我一个支点，我就能撬起整个地球．”史料表明阿基米德在研究半正多面体方面做出过突出贡献，因此半正多面体也称“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有 个面；若正方体的棱长为2，则该半正多面体的体积为 ． 24．如果直棱柱的底面周长是c，高是h，底面积是s，那么直棱柱的侧面积为 ，体积为 . 25．如图，半径为4cm的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是 .    三、解答题 26．若圆柱底面直径和高都等于球的直径，求圆柱与球的表面积之比. 27．我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积． (1)已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数； (2)若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值． 28．六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示. (1)求该六角螺帽的体积； (2)求该六角螺帽的表面积. 29．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求: (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长； (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积. 30．已知球的半径为5. （1）求球的表面积； （2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离. $$专题07 简单几何体 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 观察认识简单空间几何体 · 掌握柱、锥、球的结构特征 · 知道简单几何体的表面积和体积公式 · 运用公式解决简单的实际问题 · 斜二测画法描绘简单空间几何体的直观图 考点预测 · 简单几何体的结构特征及相关性质 · 表面积和体积的计算公式 · 斜二测画法与几何体直观图 · 简单几何体的三视图 · 理解简单几何体的三视图 要点自测 （一）多面体 多面体的定义 由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱 ，棱的公共点称为多面体的顶点。 名称 棱柱 棱锥 定义 有两个面平行且全等，其余面都是平行四边形的多面体称为棱柱。其中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面。两个侧面的公共边称为棱柱的棱。侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点。不在同一底面或侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线。两个底面间的距离称为棱柱的高。侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱。 一个面是多边形，其余面都是三角形，并且这些三角形有公共顶点的多面体，称为棱锥。多边形称为棱锥的底面（简称底），其余三角形称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的棱，各侧面的公共点称为棱锥的顶点，从顶点到底面的距离称为棱锥的高。 图形 正多面体 概念 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面的中心的棱锥，称为正棱锥。正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高。 性质 （1） 两个底面是平行且相等的正多边形； （2） 侧面都是全等的矩形； （3） 侧棱垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等。 （1）各条侧棱相等，斜高相等，侧面是等腰三角形； （2）顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高； （3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形。 表面积 直棱柱的表面积计算公式S表＝S侧＋2S底。 正棱锥的表面积计算公式：S表＝S侧＋S底。 体积 直棱柱的体积计算公式：V＝Sh。 对于底面积和高都相等的棱柱与棱锥，棱锥的体积是棱柱体积的。棱锥体积的计算公式：V＝Sh。 （二）斜二测画法 （1） 在已知图形中取互相垂直的两条直线作x轴和y轴，两轴相交于点0。画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y‘轴，两轴相交于点0'，且使∠x'O'y'=45°或135°，它们确定的平面表示水平面。 （2） 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中的长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中的长度减半。 （3） 对照平面图，在直观图上找到相应的端点逐一连接，擦去x'轴、y'轴及其他辅助线。 6、用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤： （1） 画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可； （2） 画z’轴，'轴过点O'，且与x'轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线平行，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图； （3） 擦去辅助线，被遮线用虚线表示或者不画。 （三）旋转体 名称 圆柱 圆锥 球 定义 以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体，称为圆柱。直线称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面。平行于轴的高母线边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面，通常用OO’来表示圆柱。 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥。直线称为圆锥的轴，另一直角边旋转形成的圆面称为圆锥的底面，母线旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，斜边称为圆锥的母线。母线与轴的交点称为顶点。顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高。 半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，半圆弧线形成的曲面称为半圆绕着它的球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球。半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为半径。通常用O表示球。 图形 结构特征 （1） 两个底面是半径相等的圆，平行于底面的横截面是与底面相等的圆； （2） 母线平行，并且等于圆柱的高； （3） 过轴的截面（轴截面）是矩形，其长为圆柱的高，宽为底面的直径。 （1） 底面以及平行于底面的截面都是圆； （2） 高垂直于底面圆，且过顶点； （3） 轴截面为等腰三角形，高是圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径。 用一个平面截球0，截面是圆面，这个圆面称为球截面。经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆。 当球截面是小圆时： （1） 球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面； （2） 设球心O到球截面圆心O'的连线长为d，球的半径为R，球截面的半径为r， r2+d2= R2。 表面积 圆柱的侧面积的计算公式：2πrl，表面积的计算公式：2πrl+2πr2 圆锥的侧面积的计算公式：πrl。 圆锥的表面积的计算公式：πrl+πr2。 对于底面积和高都相等的圆柱与圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。圆锥体积的计算公式：V=Sh。 球的表面积公式：S表＝4πR2； 体积 圆柱的体积的计算公式：V=Sh。 （1） 体积的公式V＝πR3。 （四）简单几何体的三视图 三视图 概念 规律 主视图 从物体的前面向后面 投影所得到的视图 （1） 位置： （2） 主视图画在左上位置， 左视图画在主视图的右边， 俯视图画在主视图的下方。（2）投影规律： 1 主视图与俯视图的长相同，即“长对正” 2 左视图和主视图的高相同，即“高平齐” 3 俯视图与左视图的宽相同，即“宽相等” （3）画线规则： ①能看见的轮廓线用实线表示； ②看不见的轮廓线用虚线表示。 左视图 从物体的左面向右面投影所得到的视图 俯视图 从物体的上面向下面投影所得到的视图 考点突破 考点1 多面体的结构特征 【例1】以下各种情况中，是长方体的是（    ） A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱 C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱 【答案】D 【解析】根据题目,根据长方体的特征可选出答案. 【详解】A选项是棱柱,但不一定是长方体. B选项底面可能与顶面不同. C选项侧面可能是平行四边形. 由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知,长方体是底面是矩形的直棱柱; 故选:D. 【突破训练】纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是（    ）    A．南 B．北 C．西 D．下 【答案】A 【分析】根据正方体展开图中相对面的特征结合“上北下南，左西右东”即可得出结论. 【详解】由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形， 再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”， 因此标“△”的面的方位是南， 故选：A.    考点2 斜二测画法 【例2】下列关于直观图的说法不正确的是（　　） A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变 B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变 C．画与直角坐标系对应的时，`可以画成 D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同 【答案】A 【解析】根据直观图的画法逐个分析即可. 【详解】平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错误. 平行于x轴的线段，直观图中长度不变，故B正确. 直观图中对应的为或，故C正确. 画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同，故D正确. 故选：A. 【突破训练】如图为水平放置的正方形，在直角坐标系中点B的坐标为，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点到轴的距离为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据已知结合斜二测画法计算即可解得. 【详解】因为垂直于轴，所以在直观图中的长度是1，且与轴的夹角是， 所以到轴的距离是， 故选：B 考点3 多面体的表面积与体积 【例3】已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四面体的各棱长均为，可知四面体的四个面都是等边三角形，利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】因为四面体的各棱长均为， 所以四面体的四个面都是等边三角形， 所以该四面体的表面积为. 故选：D 【例4】正三棱柱的所有棱长均为2，则三棱锥的体积为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】结合图形可知，再根据棱柱和棱锥的体积公式求值即可. 【详解】已知正三棱柱的所有棱长均为2， 所以三棱锥底面积为， 且三棱锥的高为，， 又三棱锥底面积为， 高为，， 如图可直. 故选：D 【突破训练】圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，则这个圆柱的体积为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由已知圆柱的侧面展开图是长，宽的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为，高为和圆柱的底面周长为，高为，两种情况进行讨论，最后根据圆柱的体积公式综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为,则底面半径,, 此时圆柱的体积; 若圆柱的底面周长为,则底面半径,, 此时圆柱的体积, 所以这个圆柱的体积为或. 故选:. 考点4 旋转体的结构特征 【例5】如图所示的组合体，其结构特征是（　　） A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱 【答案】D 【解析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断. 【详解】如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体． 故选：D 【突破训练】充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合旋转体的形成过程和车轮内胎的形状即可求解. 【详解】对A，旋转后得到的是空心球，故A错误. 对B，C，旋转后得到的是环状几何体，即车轮的形状， 又因为忽略轮胎厚度不计，故B错误，C正确. 对D，旋转后得到的是球，故D错误. 故选：C. 考点5 旋转体的表面积与体积 【例6】一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是 . 【答案】20 【解析】根据圆柱的轴截面是矩形，求矩形的面积易得答案. 【详解】由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为， 所以面积为. 故答案为：20. 【例7】已知一个圆锥的轴截面（过圆锥轴的一个截面）是一个等腰直角三角形，且圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和勾股定理求解即可. 【详解】 如图所示，△ABC为轴截面，圆锥母线长度为， 故圆锥侧面积为. 故答案为：. 【突破训练】已知球的大圆周长为，则它的表面积和体积分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据球的大圆周长得到球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式求解. 【详解】设球的半径为R，则球的大圆周长，∴. 则球的表面积， 球的体积. 故选：B. 考点6 简单几何体三视图 【例8】如图是一个物体的三视图，则此几何体的组成为（    ）．    A．上面为棱锥，下面为棱柱 B．上面为圆锥，下面为棱柱 C．上面为棱锥，下面为圆柱 D．上面为圆锥，下面为圆柱 【答案】D 【分析】根据几何体的三视图进行分析. 【详解】由几何体的三视图分析可得该几何体上面为圆锥，下面为圆柱． 故选：D. 【突破训练】如图，网格纸上小正方形的边长为1，画出的是某几何体的三视图，该几何体的侧面积为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图即可判断该几何体为圆柱，代入侧面积公式即可求解. 【详解】解：由题意可知该几何体是底面半径为1，高为3的圆柱， 如图所示，    该几何体的侧面积. 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（    ） A．每个面都是等边三角形 B．每个面都是直角三角形 C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可. 【详解】如图， 每个面都是等边三角形，A不选； 每个面都是直角三角形，B不选； 三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D． 故选：D. 2．若长方体的棱长为3，4，5，则它的表面积是（    ） A．70 B．94 C．96 D．65 【答案】B 【分析】根据长方体的表面积公式求解即可. 【详解】长方体的表面积. 故选：B. 3．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则该圆锥的侧面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】解：因为圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形， 所以圆锥的底面半径， 则圆锥的侧面积为. 故选：A. 4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和高，再结合圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆柱的底面半径为， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 所以圆柱的高为，即， 所以该圆柱的表面积为， 故选：B. 5．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为，则此棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可把其中一个侧面看作底面，再用体积公式求解即可. 【详解】三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为， 不妨令长度分别为的侧棱所确定的侧面作为底面， 则另一条长度为的侧棱作为高， 则此棱锥的体积为. 故选：A. 6．如图，圆锥形竹制帽子的母线长为40厘米，底面直径为50厘米，则制作一个这样的竹制帽子所需要的材料至少为（取3.14，结果保留整数）（     ） A．12500平方厘米 B．25000平方厘米 C．3140平方厘米 D．6280平方厘米 【答案】C 【分析】利用圆锥侧面积公式可求 【详解】由题可知圆锥母线，底面直径，； 则圆锥侧面积为， 故选：C. 7．如图，在长方体中，下列表述错误的是（    ）    A．点平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】根据正棱柱的性质直接判断答案. 【详解】A:点在平面内,故正确, B:平面平面,故错误, C:由正方体的性质得底面和侧面垂直,故正确, D:由正方体的性质得两个相对侧面平行,故正确. 故选:B. 8．下列说法中不正确的是（    ） A．球的截面是圆面 B．圆柱的轴截面是矩形 C．三棱锥的侧面是三角形 D．四棱柱的底面是三角形 【答案】D 【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项 【详解】A中球的截面是圆面，故A正确； B中圆柱的轴截面是矩形，故B正确； C中三棱锥的侧面是三角形，故C正确； D中四棱柱的底面应该是四边形，故D错误. 故选：D. 9．一平面截某几何体得到一个三棱锥，则该几何体不可能是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据多面体与旋转体的特征即可求解. 【详解】解：由多面体与旋转体的特征可得， 因为三棱锥是多面体， 又因为圆锥是旋转体，所以该几何体不可能是圆锥. 故选：D 10．若两球的表面积之比为，那么这两球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的体积公式与表面积公式即可求解. 【详解】 解：由球的表面积公式可知， 表面积之比为，则半径之比为. 由体积公式可得， 体积之比为. 故选： 11．如图所示，三棱柱的体积为6，四棱锥的体积为（     ）    A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据锥体的体积与柱体体积的关系，得出，进而求出四棱锥的体积即可. 【详解】, 又三棱锥的体积是它同底等高三棱柱体积的， 可得， 所以. 故选：C. 12．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入圆锥的侧面公式，计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆锥的侧面积为. 故选：A. 13．将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据球的体积公式进行计算即可得出结论 【详解】已知气球的半径扩大1倍，即变为原来的倍， 设原来的半径为，则扩大后的半径为， 则原来气球的体积为，扩大后气球的体积为， 所以它的体积扩大到原来的倍. 故选：D. 14．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由球的体积求出球的半径，从而得到棱柱的高与底面正三角形的高与边长，从而利用表面积公式即可得解. 【详解】因为球的体积为，则球的半径满足，则， 因为球体与棱柱的所有面均相切，所以球的直径即为棱柱的侧棱为2， 底面正三角形内切圆的半径为1，故底面正三角形的高为3，边长为， 所以三棱柱的表面积为. 故选：C. 15．已知圆锥为底面圆心，为圆锥的母线，且，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，根据的面积解得，进而可求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为， 则， 可知等腰底边上的高为， 由的面积可得，解得， 即圆锥的底面半径为2，所以该圆锥的体积. 故选：B.    16．半径为3的球的体积是（  　） A．9π B．81π C．27π D．36π 【答案】D 【分析】由球的体积公式代入运算即可. 【详解】因为球的半径为，则球的体积为. 故选：D. 17．正方体的的表面积为96，则正方体的体积为（    ） A．48 B．64 C．16 D．96 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64. 18．如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（    ）    A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体 【答案】B 【解析】略 19．等底等高的圆柱和圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥和圆柱的体积分析即可. 【详解】因为圆柱和圆锥为等底等高， 所以设圆柱和圆锥底面积为S，设高为h， 所以圆柱体积，圆锥体积， 所以体积之比为． 故选:C. 20．若圆锥和圆柱的底面半径均为R，高均为3R，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥与圆柱的侧面积公式即可得解. 【详解】圆锥侧面积公式. 所以圆锥侧面积. 圆柱侧面积公式为. 所以圆柱侧面积. 所以圆锥侧面积与圆柱侧面积之比为=. 故选:. 二、填空题 21．（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和． 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和． （2）棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 S为棱柱的 ，h为棱柱的 棱锥 S为棱锥的 ，h为棱锥的 棱台 ，S分别为棱台的 ，h为棱台的 【答案】 各个面 底面和侧面 底面积 高 底面积 高 两个底面积 高 【详解】略 22．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 23．阿基米德和高斯、牛顿井列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“拾我一个支点，我就能撬起整个地球．”史料表明阿基米德在研究半正多面体方面做出过突出贡献，因此半正多面体也称“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有 个面；若正方体的棱长为2，则该半正多面体的体积为 ． 【答案】 【分析】作出示意图，结合正方体的结构特征，以及正方体和锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有个面； 若正方体的棱长为2，可该正方体的体积为， 其中截去的每个三棱锥的体积为， 则该半正多面体的体积为. 故答案为：，. 24．如果直棱柱的底面周长是c，高是h，底面积是s，那么直棱柱的侧面积为 ，体积为 . 【答案】 【分析】利用直棱柱侧面积公式与体积公式可求. 【详解】因为直棱柱的底面周长是c，高是h，底面积是s， 直棱柱的侧面积为底面周长乘高，， 直棱柱的体积为底面积乘高，， 故答案为：，. 25．如图，半径为4cm的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是 .    【答案】/ 【分析】判断所得几何体是半径为4cm的球体，去掉两个底面半径为4cm，高为4cm的两个圆锥，由此计算所求体积. 【详解】由题意知，所得几何体是半径为4cm的球体，去掉两个底面半径为4cm，高为4cm的两个圆锥，计算所求的体积为： 故答案为：. 三、解答题 26．若圆柱底面直径和高都等于球的直径，求圆柱与球的表面积之比. 【答案】3∶2 【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. ∴，， ∴， 即圆柱与球的表面积之比为3:2. 27．我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积． (1)已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数； (2)若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值． 【答案】(1)2，1 (2) 【分析】（1）根据题中公式求弧长，根据弧长公式求圆心角弧度数； （2）根据基本不等式公式计算. 【详解】（1）由题意得，得径， 则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为． （2）设乙宛田的弧长为l，径为d，则，得， 所以乙宛田径与周之和为， 当且仅当时，等号成立． 故乙宛田径与周之和的最小值为． 28．六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示. (1)求该六角螺帽的体积； (2)求该六角螺帽的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，计算即可. （2）根据棱柱和圆柱的表面积公式计算六角螺帽的表面积得到答案. 【详解】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积， ， （2）六角螺帽的表面积： . 29．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求: (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长； (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长； （2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积. 【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=， 根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC， 在Rt△ECD中，CD=， 又D是CC1的中点，故侧棱长为2. （2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12. 所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2. 30．已知球的半径为5. （1）求球的表面积； （2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离. 【答案】（1）；（2）1或7. 【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可； （2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可. 【详解】解：（1）因为球的半径为，所以球的表面积为. （2）设两个半径分别为和的平行截面的圆心分别为和， 所以， 所以， 所以， 或， 所以两个截面之间的距离为1或7. 【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题. $$