专题09 复数、平面向量-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题09 复数、平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解复数的概念 · 掌握复数的几何意义 · 了解复数的运算 · 理解复数集内求解一元二次方程 · 理解平面向量的概念 考点预测 · 复数的运算及几何意义 · 复数范围求解一元二次方程 · 平面向量的线性运算与数量积 · 平面向量的几何意义及坐标运算 · 理解平面向量的线性运算及数量积坐标运算 要点自测 （一）复数的有关概念 定义 形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做 ，实部是 ，虚部是 虚数单位 把平方等于－1的数用符号 表示，规定i2＝ ，我们把i叫作 。 表示方法 复数通常用字母z表示，代数形式为 （a，b∈R） 复数集 ①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母 表示 复数集是最大的数集。 复数的分类 当且仅当b＝0时，它是 ； 当且仅当a＝b＝0时，它是 ； 当b≠0时，叫做 ； 当a＝0且b≠0时，叫做 。 复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）， 我们规定：两个复数相等的充要条件是 与 分别相等。 （二）复数的几何意义 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 轴——实轴 轴——虚轴 实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 与点对应 复数（）复平面内的点 与向量对应 复数（（ 平面向量 复数的摸 定义： 向量的模叫做复数）的模，记为或 计算公式 ，其中.特别的，时，复数是一个 ，它的模就等于 。 几何意义 复数在复平面上对应的点到原点的 ； 共轭复数 定义 当两个复数的实部 ，虚部互为 时，这两个复数叫做互为共轭复数。 表示方法 复数的共轭复数用 表示，即如果，则 。 （三）复数的运算 运算 运算法则 运算律 几何意义 加法 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数。 对任意，有 交换律： 结合律： 减法 复数的减法法则： 注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于 相加减， 相加减。 乘法 设，是任意两个复数，那么它们的乘积为 （交换律） （结合律） （分配律） （四）复数集求解一元二次方程 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程 要点 定义 根的判定 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程有两个互为共轭的虚数根。 根与系数 如果，是实系数一元二次方程的解 求解方法 求根公式法 时， <0时， 复数定义法 设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解 （五）向量的概念 定义 既有 又有 的量叫做向量；向量的大小叫做向量的 。 表示方法 向量 或 ；模 或 特殊向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的，记作。 单位向量 长度等于 个单位的向量，常用表示 平行向量（共线向量） 方向 的非零向量，与共线可记为 ；特别的：与任一向量 。 相等向量 长度 且方向 的向量，记作 相反向量 长度 且方向 的向量，记作 （六）向量的线性运算 运算 运算法则 图示 运算律 几何意义 加法 三角形法则：首尾相连，起指终。如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + ①＋0＝0＋＝； ②＋＝＋（加法的交换律）； ③（＋）＋＝＋（＋）（加法的结合律）； ④＋（－）＝（－＋）＝0（两个相反向量的和为零向量）。 平行四边形法则：同起点，对角线． 如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + 减法 同起点，方向指向被减向量．如图所示，已知，，作＝， ＝，则＝ － 数乘 实数与向量的乘积是一个向量，记作。中的实数，称为向量的系数 若，都是实数，则 ①（＋）＝_______＋_______； ②（）＝____ ___； ③（＋）＝_______＋_______。 （1） 是把向量沿着的方向（或反向）放大（或缩小）而得到的 平面向量基本定理 若≠0，则∥⇔存在唯一实数，使＝ 特别地，若＝0，对于任意实数，∥ （六）向量的数量积运算 定义 定义 当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（内积） 记法 向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为 ； 运算结果 两个非零向量与的数量积是一个 ，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 性质 ，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角 当与同向时， ；当与反向时， ；特别地， 或； ； 向量夹角 非零向量a和b，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角 向量夹角θ的范围是 同向时，夹角θ＝ ° 反向时，夹角θ＝ ° 向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b ，记作a⊥b 表示方法 复数的共轭复数用 表示，即如果，则 。 （七）向量的坐标表示及运算 定义 定义 设，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，且，则称为向量的直角坐标，记作＝. 记法 设点A，B，则 ＝_______－_______＝__ ____，即一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标． 坐标运算 设＝，＝ 加法 ＋＝_______＋_______＝____ ___ 减法 -＝_______＋_______＝____ ___ 数乘 =_______＝____ 数量积 ＝_______＋_______＝____ ___ 位置关系 平行 ∥⇔__ ___（≠0，≠0）或 垂直 ⊥⇔__ ___. 中点公式 设点A，B，线段AB中点坐标为，则 ， 距离公式 ＝，则 A，B两点，则 。 考点突破 考点1 复数的概念 【例1】复数的实部和虚部分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数的概念直接求出答案. 【详解】因为,所以实部是,虚部是. 故选:A. 【突破训练】已知为实数，苦复数为纯虚数，则（    ） A． B．或4 C．4 D．1 考点2 复数的几何意义 【例2】已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　） A．对应的点位于第一象限 B．对应的点在直线上 C．的模为2 D．对应的点位于第四象限 【答案】D 【解析】根据复数的乘法运算法则化简复数z的表示，再求出z的共轭复数，即可求解. 【详解】, 所以z的共轭复数为， 所以对应的点位于第四象限. 故选：D. 【突破训练】设，则复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点3 复数的运算 【例3】计算等于（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法法则直接计算即可 【详解】. 故选：D. 【突破训练】设，则=（    ） A．4 B． C．5 D． 考点4 复数域求解一元二次方程 【例4】若是方程的一个根，则的模为（    ） A．5 B． C．29 D． 【答案】D 【解析】由实系数一元二次方程的一个根是，则另一个为，由根与系数关系求出的值即可求的模. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根是虚数，所以判别式.于是，方程有两个互为共轭复数的根，从而方程的另一个是. 由根与系数的关系可得. ， 即，. 所以. 故选：D. 【突破训练】已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点5 平面向量的概念 【例5】下列说法正确的有（    ） （1）若|| = ||， 则 > ； （2）单位向量的模都相等； （3）0与相等； （4）三个向量非零， ，， 若∥，∥， 则∥； （5）共线向量即为平行向量； （6）若|| = ||， 则 = 或 = –. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据平面向量、单位向量与共线向量的定义即可求解. 【详解】根据向量的定义可知，向量无法比较大小，故（1）错误； 模为1的向量称为单位向量，故（2）正确； 向量有大小有方向，而0数字只有大小，故（3）错误； 三个向量非零， ，， 若∥，∥， 则∥，故（4）正确； 共线向量即为平行向量，故（5）正确； || = ||，则 ， 的模相等，但方向不确定，因此不能是相等向量或者相反向量，故（6）错误. 故选：D. 【突破训练】下列关于零向量的说法中，错误的是（    ） A．零向量的长度为0 B．零向量没有方向 C．零向量的方向是任意的 D．零向量与任一向量都平行 考点6 平面向量的线性运算 【例6】在中，点M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形根据向量的线性运算法则解决问题即可. 【详解】由点M满足， 可得为的三等分点， 即, 可得， 又由， 所以. 故选：A. 【突破训练】化简=（      ） A． B． C． D．0 考点7 平面向量的数量积 【例7】在边长为的正三角形中，设，，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】由正三角形的内角得到向量的夹角，进而由向量的内积公式求解即可. 【详解】因为三角形是正三角形.BC、CA是相邻的两边. 所以与的夹角为. 所以. 同理可得，对于和,由于它们也是相邻两边的数量积. 所以. 所以. 故选：D. 【突破训练】已知，，，则（    ） A．23 B．35 C． D． 考点8 平面向量的坐标表示 【例8】已知向量，若点，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标表示可求解. 【详解】设，由题可得， 所以，解得， 所以B的坐标为. 故选：D. 【突破训练】己知点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点9 平面向量线性运算的坐标表示 【例9】已知向量，向量，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可得结果. 【详解】解：由题向量已知，即由有： ， 即， 故由向量的坐标表示可得，解得. 故选：A. 【突破训练】已知向量，，若，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 考点10 平面向量数量积的坐标表示 【例10】已知向量，，则（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】由向量内积的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：C. 【突破训练】若向量，且，则（    ） A．或5 B．2或5 C．或 D．2或 模拟演练 一、选择题 1．平面向量的两个要素是（     ） A．大小和起点 B．大小和方向 C．方向和起点 D．起点和终点 2．下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量 C．同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 3．（    ） A． B． C． D．0 4．已知，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5．已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．边长为2的等边三角形中，（    ） A． B．2 C． D．1 7．如图所示，梯形中，，，，则（    ）    A． B． C． D． 8．设且，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 9．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 11．复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．或0 14．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 16．复数的实部和虚部分别为（    ） A．5，5 B．5，5i C．7，1 D．7， 17．复平面内复数所对应的点为，则（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 18． . 19．已知，，， ． 20．已知复数（i是虚数单位），则的虚部为 ， ． 21．i为虚数单位，设复数在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 . 22．已知i是虚数单位，是关于x的方程的一个根，则 ． 三、解答题 23．已知， (1)求的值； (2)若，求实数，的值． 24．在复平面内，求复数对应的点位于第几象限. 25．已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求向量； (2)若，且与垂直，求与的夹角的正弦值. 26．设，复数． (1)当满足什么条件时，复数是纯虚数？ (2)当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？ $$专题09 复数、平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解复数的概念 · 掌握复数的几何意义 · 了解复数的运算 · 理解复数集内求解一元二次方程 · 理解平面向量的概念 考点预测 · 复数的运算及几何意义 · 复数范围求解一元二次方程 · 平面向量的线性运算与数量积 · 平面向量的几何意义及坐标运算 · 理解平面向量的线性运算及数量积坐标运算 要点自测 （一）复数的有关概念 定义 形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b 虚数单位 把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝-1，我们把i叫作虚数单位。 表示方法 复数通常用字母z表示，代数形式为z=a+bi（a，b∈R） 复数集 ①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示 复数集是最大的数集。 复数的分类 当且仅当b＝0时，它是实数； 当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； 当b≠0时，叫做虚数； 当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数。 复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 （二）复数的几何意义 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 轴——实轴 轴——虚轴 实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 与点对应 复数（）复平面内的点Z（a,b） 与向量对应 复数（（ 平面向量（a,b） 复数的摸 定义： 向量的模叫做复数）的模，记为或 计算公式 ，其中.特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于a。 几何意义 复数在复平面上对应的点到原点的距离； 共轭复数 定义 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则 a-bi 。 （三）复数的运算 运算 运算法则 运算律 加法 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： (a+c)=(b+d)i，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数。 对任意，有 交换律： 结合律： 减法 复数的减法法则：(a-c)+(b-d)i 注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部相加减，虚部相加减。 乘法 设，是任意两个复数，那么它们的乘积为 （ac-bd）+(ad+bc)i （交换律） （结合律） （分配律） （四）复数集求解一元二次方程 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程 要点 定义 根的判定 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程有两个互为共轭的虚数根。 根与系数 如果，是实系数一元二次方程的解 求解方法 求根公式法 时， <0时， 复数定义法 设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解 （五）向量的概念 定义 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模。 表示方法 向量或 ；模 或 特殊向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的，记作。 单位向量 长度等于1个单位的向量，常用表示 平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量，与共线可记为 ∥ ；特别的：与任一向量平行（共线）。 相等向量 长度相等且方向相同的向量，记作 相反向量 长度相等且方向相反的向量，记作 （六）向量的线性运算 运算 运算法则 图示 运算律 几何意义 加法 三角形法则：首尾相连，起指终。如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + ①＋0＝0＋＝； ②＋＝＋（加法的交换律）； ③（＋）＋＝＋（＋）（加法的结合律）； ④＋（－）＝（－＋）＝0（两个相反向量的和为零向量）。 平行四边形法则：同起点，对角线． 如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + 减法 同起点，方向指向被减向量．如图所示，已知，，作＝， ＝，则＝ － 数乘 实数与向量的乘积是一个向量，记作。中的实数，称为向量的系数 若，都是实数，则 1 （＋） __＋__ 2 （）＝_ ； 3 （＋）＝_____＋_______。 （1） 是把向量沿着的方向（或反向）放大（或缩小）而得到的 平面向量基本定理 若≠0，则∥⇔存在唯一实数，使＝ 特别地，若＝0，对于任意实数，∥ （六）向量的数量积运算 定义 定义 当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（内积） 记法 向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为 0 ； 运算结果 两个非零向量与的数量积是一个 数量 ，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 性质 ，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角 当与同向时， ；当与反向时， - ；特别地， 或； ； ≥ 向量夹角 非零向量a和b，作＝a，＝b，则 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角 向量夹角θ的范围是[0,π] 同向时，夹角θ＝ 0 ° 反向时，夹角θ＝ 180 ° 向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b 垂直 ，记作a⊥b （七）向量的坐标表示及运算 定义 定义 设，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，且，则称为向量的直角坐标，记作＝. 记法 设点A，B，则 ＝_－__＝__ _（）___，即一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标． 坐标运算 设＝，＝ 加法 ＋＝_____＋___＝__(__ ) ___ 减法 -＝____-____＝_____ 数乘 =____＝_(_) __ 数量积 ＝_______＋_______ 位置关系 平行 ∥⇔__ ___（≠0，≠0）或 垂直 ⊥⇔__ + =0 ___. 中点公式 设点A，B，线段AB中点坐标为，则 ， 距离公式 ＝，则 A，B两点，则 。 考点突破 考点1 复数的概念 【例1】复数的实部和虚部分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据复数的概念直接求出答案. 【详解】因为,所以实部是,虚部是. 故选:A. 【突破训练】已知为实数，苦复数为纯虚数，则（    ） A． B．或4 C．4 D．1 【答案】B 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念直接得出答案. 【详解】由题意得,解得. 故选:A. 考点2 复数的几何意义 【例2】已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（　　） A．对应的点位于第一象限 B．对应的点在直线上 C．的模为2 D．对应的点位于第四象限 【答案】D 【解析】根据复数的乘法运算法则化简复数z的表示，再求出z的共轭复数，即可求解. 【详解】, 所以z的共轭复数为， 所以对应的点位于第四象限. 故选：D. 【突破训练】设，则复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算将化简即可求得复数在复平面内对应的点在第几象限. 【详解】，复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 考点3 复数的运算 【例3】计算等于（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法法则直接计算即可 【详解】. 故选：D. 【突破训练】设，则=（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先化简然后求复数的模即可 【详解】，即； ； 故选：B. 考点4 复数域求解一元二次方程 【例4】若是方程的一个根，则的模为（    ） A．5 B． C．29 D． 【答案】D 【解析】由实系数一元二次方程的一个根是，则另一个为，由根与系数关系求出的值即可求的模. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根是虚数，所以判别式.于是，方程有两个互为共轭复数的根，从而方程的另一个是. 由根与系数的关系可得. ， 即，. 所以. 故选：D. 【突破训练】已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实系数一元二次方程两根的特点和韦达定理可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根是， 故另一根是. 由韦达定理可得 解得. 故选：B 考点5 平面向量的概念 【例5】下列说法正确的有（    ） （1）若|| = ||， 则 > ； （2）单位向量的模都相等； （3）0与相等； （4）三个向量非零， ，， 若∥，∥， 则∥； （5）共线向量即为平行向量； （6）若|| = ||， 则 = 或 = –. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据平面向量、单位向量与共线向量的定义即可求解. 【详解】根据向量的定义可知，向量无法比较大小，故（1）错误； 模为1的向量称为单位向量，故（2）正确； 向量有大小有方向，而0数字只有大小，故（3）错误； 三个向量非零， ，， 若∥，∥， 则∥，故（4）正确； 共线向量即为平行向量，故（5）正确； || = ||，则 ， 的模相等，但方向不确定，因此不能是相等向量或者相反向量，故（6）错误. 故选：D. 【突破训练】下列关于零向量的说法中，错误的是（    ） A．零向量的长度为0 B．零向量没有方向 C．零向量的方向是任意的 D．零向量与任一向量都平行 【答案】B 【分析】根据零向量的定义与性质进行判定4个选项. 【详解】对于选项A，零向量的长度为0，故A正确； 对于选项B，零向量方向是任意的，故B错误； 对于选项C，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于选项D，零向量与任一向量都平行，故D正确； 故选：B 考点6 平面向量的线性运算 【例6】在中，点M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形根据向量的线性运算法则解决问题即可. 【详解】由点M满足， 可得为的三等分点， 即, 可得， 又由， 所以. 故选：A. 【突破训练】化简=（      ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据向量的三角形运算法则即可求解. 【详解】根据向量加法的三角形法则：首尾相连首尾连，方向指向末向量， ， 故选：C. 考点7 平面向量的数量积 【例7】在边长为的正三角形中，设，，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】由正三角形的内角得到向量的夹角，进而由向量的内积公式求解即可. 【详解】因为三角形是正三角形.BC、CA是相邻的两边. 所以与的夹角为. 所以. 同理可得，对于和,由于它们也是相邻两边的数量积. 所以. 所以. 故选：D. 【突破训练】已知，，，则（    ） A．23 B．35 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，利用向量的运算法则展开求出向量的模. 【详解】因为，，， 则. 故选：C. 考点8 平面向量的坐标表示 【例8】已知向量，若点，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标表示可求解. 【详解】设，由题可得， 所以，解得， 所以B的坐标为. 故选：D. 【突破训练】己知点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量坐标公式计算出结果. 【详解】， ， 故选：D 考点9 平面向量线性运算的坐标表示 【例9】已知向量，向量，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性运算的坐标表示即可得结果. 【详解】解：由题向量已知，即由有： ， 即， 故由向量的坐标表示可得，解得. 故选：A. 【突破训练】已知向量，，若，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由向量坐标的加减法运算和向量平行的性质即可解得. 【详解】由题， 又知， 则， 解得， 故选：B. 考点10 平面向量数量积的坐标表示 【例10】已知向量，，则（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】由向量内积的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：C. 【突破训练】若向量，且，则（    ） A．或5 B．2或5 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】已知，， 则有， 即，, 解得. 故选：C. 模拟演练 一、选择题 1．平面向量的两个要素是（     ） A．大小和起点 B．大小和方向 C．方向和起点 D．起点和终点 【答案】B 【分析】利用向量的概念可知. 【详解】由向量的概念可知平面向量的两个要素是大小和方向； 故选：B. 2．下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量 C．同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】C 【分析】根据向量的相关概念，即可得出答案. 【详解】根据向量的概念，可知A、B正确； 对于C项，向量不能比较大小，故C错误； 对于D项，根据平行向量以及相等向量的概念，可知D正确. 故选：C. 3．（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】解：． 故选：C. 4．已知，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的内积公式，特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】 所以向量与的夹角为. 故选：. 5．已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，根据，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设，由题意得，即， 即，解得， 故顶点D的坐标为. 故选：A 6．边长为2的等边三角形中，（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的夹角和数量积运算即可求解. 【详解】因为等边三角形的边长为2， 所以， 故选：A 7．如图所示，梯形中，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算几何运用判断即可. 【详解】A选项，,故错误. B选项，,故错误. C选项，因为，.所以.故错误. D选项，如图，取的中点.，正确.    故选：D. 8．设且，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由两向量平行的坐标表示可求解. 【详解】 ，即. 故选：C 9．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的减法运算,即可求解 【详解】 故选：B 10．下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 【答案】C 【分析】根据复数相关概念一一判定即可. 【详解】虚数不能比大小，故A错误； 对于复数，但凡满足，其模均为1，显然不仅四个，比如时，，故B错误； 由共轭复数的定义可知C正确； 原点也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 故选：C 11．复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 12．，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由复数相等求出的值，再由充分、必要条件进行判断即可. 【详解】若，则且， 解得或； 则是的充分不必要条件． 故选：A. 13．已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．或0 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念求解即可. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：A. 14．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【详解】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B 15．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义即可求解. 【详解】由共轴复数的定义知复数的共轭复数为. 故选：C. 16．复数的实部和虚部分别为（    ） A．5，5 B．5，5i C．7，1 D．7， 【答案】C 【分析】由虚数的定义和复数的运算求解即可. 【详解】， ∴复数的实部和虚部分别为7，1． 故选:C. 17．复平面内复数所对应的点为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可. 【详解】因为复数所对应的点为，所以， 所以， 所以. 故选：B. 二、填空题 18． . 【答案】 【分析】利用向量加减法的混合运算即可得解. 【详解】. 故答案为：. 19．已知，，， ． 【答案】/ 【分析】先求出向量的模，再用向量内积求夹角即可解得. 【详解】由题, 则，， 则， ，， 故所求， 故答案为：. 20．已知复数（i是虚数单位），则的虚部为 ， ． 【答案】 【分析】先由复数的乘法运算化简，进而可得虚部，再由模长公式可计算模长. 【详解】由， 所以的虚部为，， 故答案为：；. 21．i为虚数单位，设复数在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 . 【答案】 【分析】由题意求出在复平面内所对应点的坐标，利用对称性求得在复平面内对应点的坐标，即可求得答案. 【详解】解：对应的点为， 其关于原点对称的点为，则. 故答案为：. 22．已知i是虚数单位，是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的四则运算与复数相等的性质求得，从而得解. 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以，即， 则，解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题 23．已知， (1)求的值； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由已知，利用向量线性运算的坐标表示，可得，再根据向量内积的坐标表示可求解； （2）利用向量线性运算的坐标表示，列方程组可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， ； （2）由题知， ， 所以， 故，解得. 故为所求. 24．在复平面内，求复数对应的点位于第几象限. 【答案】第一象限 【分析】先由复数的除法运算，将复数化简，再由复数的几何意义即可求出结果. 【详解】因为， 所以在复平面内，其对应的点为，位于第一象限. 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题型. 25．已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求向量； (2)若，且与垂直，求与的夹角的正弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平面向量共线及模长的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量垂直的坐标表示及数量积公式结合同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】（1），可设， ∴，则， ∴ ∴或. （2）∵与垂直， ∴，即 ∴， ∴， ， ，所以与的夹角的正弦值. 26．设，复数． (1)当满足什么条件时，复数是纯虚数？ (2)当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将复数的实部与虚部整理出来，根据纯虚数的定义进行求解即可； （2）利用复数的几何意义，根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 当是纯虚数时，，解得， 即时，是纯虚数． （2）当在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，，解得， 即时，在复平面内对应的点在第二象限． $$