专题07 等差数列与等比数列（考点清单+知识导图+ 13个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单07 等差数列与等比数列 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 【清单02】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 【清单03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【清单04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 【清单05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【清单06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【清单07】等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 【清单08】等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 【清单09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 【清单10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【清单11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例1】（23-24高一下·上海·阶段练习）对于数列，以下命题正确的个数有（    ） ①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】（多选）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】BCD 【变式1-2】（多选）（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【变式2-1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 核心方法：作差法 【例3】（24-25高二上·北京）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式3-2】（24-25高二上·陕西西安）数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 核心方法： 【例4】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏无锡）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【变式4-3】（24-25高二·全国）已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 【考点题型五】等差数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例5】（24-25高三上·上海·阶段练习）若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为 【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【考点题型六】等比数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例6】（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【变式6-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 【变式6-2】（24-25高二上·甘肃·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则 . 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算 核心方法：前项和公式 【例7】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）解决下列问题： (1)已知等差数列中，，，求及通项公式； (2)已知等比数列中，，，求及通项公式. 【变式7-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【变式7-2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中， （1）若，，，求和； （2）若，，求和； （3）若，，求和公比. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 【例8】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式8-1】（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 . 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值） 核心方法：已知等差数列和的前项和分别为，，则. 【例9】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ． 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 【例10】（23-24高三下·上海·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【变式10-1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【变式10-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．48 B．81 C．93 D．243 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，当是偶数时, ;当是奇数时, 【例11】（2024高二·全国已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【变式11-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【考点题型十二】已知与（）的关系，求 核心方法： 【例12】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； 【变式12-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和，. (1)求数列的通项公式： 【考点题型十三】数列中新文化题 【例13】（23-24高三下·江苏南京·开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 【变式13-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【变式13-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．1 D． 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．（湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，，则， B．若为等差数列，且，，则， C．若为等比数列，且，则 D．若为等比数列，且，则 9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 二、填空题 11．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 12．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则 . 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 . 14．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设等比数列的前项和是.已知,，则 . 15．（24-25高三·全国）已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 等差数列与等比数列 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 【清单02】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 【清单03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【清单04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 【清单05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【清单06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【清单07】等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 【清单08】等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 【清单09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 【清单10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【清单11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例1】（23-24高一下·上海·阶段练习）对于数列，以下命题正确的个数有（    ） ①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】由定义判定等比数列 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断各选项. 【详解】由若，得，，， 即后一项与前一项的比不一定为常数，故①错误. 当时，满足，但数列不是等比数列，故②错误. ，则，，所以， 则数列为2为公比的等比数列，故③正确. 故选：B. 【变式1-1】（多选）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】BCD 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】设等比数列的公比为，然后利用等比数列和等差数列概念逐项判断，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， A：当时，，故A错误； B：，所以，是等比数列，故B正确； C：，是等差数列，故C正确； D： ，是等差数列，故D正确. 故选：BCD. 【变式1-2】（多选）（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】ABD 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列 【分析】根据题意，结合等比数列的定义和等差数列的定义及判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 对于A中，由，且， 所以是以为首项，公比为的等比数列，所以A正确； 对于B中，由，且， 所以数列是以，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C中，由，可得， 即时，， 又由，，所以的奇数项均为0，偶数项均为． 所以的奇数项为等差数列，偶数项为等差数列，所以C错误． 对于D中，当时，即， 所以是每项均为的常数列，也是等差数列，所以D正确． 故选：ABD. 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 核心方法：定义法 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、判断等差数列 【分析】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论； （2）利用（1）的结论可求得，可得结论. 【详解】（1）当时，， 当时，得， 则， 化简得， 当时，成立. 综上所述，数列的通项公式为， 当时，，故数列为等差数列. （2）因为，且， 所以， 当时，，故数列为等差数列. 【变式2-1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、判断等差数列 【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果； （2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列 【分析】根据已知的递推关系式应用等比数列定义证明等比数列即可. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，又， 所以数列为等比数列． 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 核心方法：作差法 【例3】（24-25高二上·北京）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、探求命题为真的充要条件 【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列， 即“”“数列为单调递增数列”； 若等差数列为单调递增数列，则， 即“”“数列为单调递增数列”. 因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、等比数列的单调性 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·陕西西安）数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的单调性 【分析】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案. 【详解】由已知，解得或，， 此时数列不一定是递减数列， 所以是“数列递减”的非充分条件； 若数列为递减数列，可得或，所以， 所以是“数列递减”的必要条件. 所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【知识点】等差数列的单调性、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由与的关系再结合等差数列通项公式的基本量计算即可； 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 核心方法： 【例4】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，． (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，数列的最大项为，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)或 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由，两式相减可得，该式可化为，即可证明并求出数列的通项公式； （2）由（1）求得，后，可作差比较大小，或者作商，进一步分析即可. 【详解】（1）因为，① 所以，② ②①，得，即， 所以， 又，所以，所以数列是首项为、公比为的等比数列． 所以，所以． （2）由（1）知，，所以，． 解法一  ， 当时，，即；当时，，即； 当时，，即．所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为或． 解法二  ， 令，解得；令，解得；令，解得． 因为，所以，且， 所以数列的最大项为，故的值为或． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏无锡）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题. 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列中的最大（小）项 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二·全国）已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)，理由见解析. 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项、由定义判定等比数列 【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论； (2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出； (3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 整理得， ， 是以-15为首项，为公比的等比数列； （2）由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列， 得，所以， （3）由(2)得， ， 当时，， 故， 当时，， 所以当时，，同理当时，； 故时，取得最小值，即为最小值. 【考点题型五】等差数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例5】（24-25高三上·上海·阶段练习）若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为 【答案】/ 【知识点】利用等差数列的性质计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据等差数列的性质及基本不等式求解. 【详解】由等差数列性质知，，且， 所以 ，当且仅当， 即，时等号成立. 故答案为： 【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解． 【详解】因为，，所以，故等差数列的公差， 又，又，， 得到，， 所以取得最小正值时，的值为， 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 【考点题型六】等比数列角标和性质 核心方法：若，则（特别的，当，有） 【例6】（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】等比数列中若，，则.我们先根据此条性质和已知条件求出的值,最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论． 【详解】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·甘肃·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则 . 【答案】0 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项公式计算． 【详解】因为公差，且成等比数列， 所以，即，解得， 所以． 故答案为：0 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算 核心方法：前项和公式 【例7】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）解决下列问题： (1)已知等差数列中，，，求及通项公式； (2)已知等比数列中，，，求及通项公式. 【答案】(1)；； (2)；或. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）由等差数列通项，求和公式结合题意可得答案； （2）由等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设等差数列公差为，首项为， 则， 则； ； （2）设等比数列公比为，首项为，显然. 则 ,则. 得. 因，则或. 若，则； 若，则. 综上，或. 【变式7-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【答案】(1)2700 (2) (3)． 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）可以直接利用公式求和； （2）可以先利用和的值求出d，再利用公式求和； （3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n． 【详解】（1）因为，，根据公式， 可得． （2）因为，，所以．根据公式， 可得． （3）把，，代入， 得． 整理，得． 解得，或（舍去）． 所以． 【变式7-2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中， （1）若，，，求和； （2）若，，求和； （3）若，，求和公比. 【答案】（1），；（2），；（3）或. 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）由已知条件利用等比数列前项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出首项与项数． （2）由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出和． （3）对和分两种情况讨论，根据等比数列前项和公式计算可得； 【详解】解：（1）等比数列中，，，， ， 解得，． （2）等比数列中，，， ， 解得， ， ． （3）当时，，所以，所以； 当时，，， 即 ∴， (舍去)，∴，所以； 综上所述：或 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 【例8】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 【变式8-1】（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果. 【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列. 由，可设，则，于是依次为， 所以，所以. 故选：B 【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 【详解】由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 故答案为：39. 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值） 核心方法：已知等差数列和的前项和分别为，，则. 【例9】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 【变式9-1】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等差数列前n项和的二次函数特征、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果． 【详解】因为，为等差数列，且， 所以可设，， 则， ， . 故选：D. 【变式9-2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ． 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质及等差数列前项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案． 【详解】由题意知，，，， ∴. 故答案为：． 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 【例10】（23-24高三下·上海·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】或 【知识点】等比数列片段和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列性质得出也成等比数列，从而求得，然后求得公比后，再求得即得． 【详解】设的公比是， ，同理， 由已知，否则公比，，与已知矛盾， 所以也成等比数列，， 又，，所以，解得或， 又，所以与同号，因此， 所以，，， 若，则，，即， 若，则，，即． 故答案为：或． 【变式10-1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 【变式10-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．48 B．81 C．93 D．243 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的前项和先确定公比，再计算得，从而计算得的值，即可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 若，则，得，则，故， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质） 核心方法：设等比数列的公比为，当是偶数时, ;当是奇数时, 【例11】（2024高二·全国已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 【变式11-1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 【变式11-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 【考点题型十二】已知与（）的关系，求 核心方法： 【例12】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； 【答案】(1)证明见解析，， 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解， 【详解】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 【变式12-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和，. (1)求数列的通项公式： 【答案】(1); 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系，结合等差数列的通项公式，以及已知条件，求解即可； 【详解】（1）由知，当时，，，，又，所以； 当时，，整理得：， 因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列， 数列的通项公式为. 【考点题型十三】数列中新文化题 【例13】（23-24高三下·江苏南京·开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．23 B． C． D．33 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】先求出，得，则，利用基本不等式求解，要注意等号成立时条件． 【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，… 即数列为5的非负整数倍加3， 故， 数列是以3为首项，5为公差的等差数列， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当时， 所以当时，取得最小值且最小值为. 故选：B. 【变式13-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（    ） A．1010 B．2024 C．1012 D．2020 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 【变式13-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ． 【答案】211 【知识点】数列新定义、累加法求数列通项 【分析】设数列为,根据题意，累加法求出的通项公式，求出. 【详解】设数列为,根据题意， 则累加可得, 所以，故. 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得. 【详解】等差数列中，由，得，解得， 所以. 故选：B 2．（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列前n项和及相关性质求得，进而得到公差，即可求结果. 【详解】由题设，则，又， 所以，易知的公差，故， 所以. 故选：D 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列性质由可得，即可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即可得； 又，所以； 因此可得数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B 4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案. 【详解】设公比为，则， 故，其中，， 则 故选：D 5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由于，则即为，解得或， 不能推出数列单调递增； 若数列单调递增，则，从而， 故是数列单调递增的必要不充分条件. 故选：B． 6．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据条件，求出数列的通项公式，进行判断即可. 【详解】根据条件：，解得. 所以. 由. 所以使成立的的最小值为9. 故选：A 7．（湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前项和公式求基本量，然后求出， 再结合等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以， 所以. 故选：. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，，则， B．若为等差数列，且，，则， C．若为等比数列，且，则 D．若为等比数列，且，则 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质依次判断AB选项可得AB正误；根据等比数列通项公式，结合反例可知C错误；讨论等比数列公比的范围，结合等比数列求和公式可知D正确. 【详解】对于A，，， ，， 无法判断符号，符号未知，A错误； 对于B，，，， ，， ，，公差， ，，又，，B错误； 对于C，设等比数列的公比为， ，， 当时，，，C错误； 对于D，设等比数列的公比为， ，， 当时，； 若，则，，； 若，则，，； 若，则，，； 综上所述：，D正确. 故选：D 9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据可得数列是首项为1，公比为9的等比数列，再根据相减法得数列的通项公式，从而由等比数列求和得所求. 【详解】由题意可得，则， 所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即， 时，即 且时，不满足上式， 故， 故． 故选：C． 10．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】结合等比数列的通项和题中不等式，分析可得进而得到A正确；由，，得到，可得B正确，C错误；由等比数列结合B的分析可得D正确； 【详解】对于A，若，因为，则，，不满足， 若，因为，则，，不满足， 显然， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，，且，所以，故B正确，C错误； 对于D，由等比数列可得当时，，当时，，所以的最大项为，故D正确； 故选：C. 二、填空题 11．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】 1 【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即， 结合对恒成立求的范围即可. 【详解】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为， 所以. 故答案为：1； 12．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则 . 【答案】1156 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差公式的通项公式和前n项和公式，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为d． 由，得，解得． 又，所以，解得， 所以． 故答案为：1156 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 . 【答案】 / 1或3 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的性质求解． 【详解】因为，都是等差数列， 所以， ，它为正整数， 则为整数，又是正整数，所以或4，即或3． 故答案为：；1或3. 14．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设等比数列的前项和是.已知,，则 . 【答案】13 【知识点】等比中项的应用、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】因为是等比数列的前项和且， 所以，， 也成等比数列， 则. 因为,， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 15．（24-25高三·全国）已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为 . 【答案】40 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】用等比数列的前n项和的性质：当公比时，，也是等比数列，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 则等比数列的公比， 所以，，也是等比数列， 所以，，也是等比数列， 所以，即， 解得或， 又，所以. 故答案为：40. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$