专题02 有理数的运算（考题猜想，易错必刷24题5种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版2024）

专题02 有理数的运算（易错必刷24题5种题型专项训练） 目录 【题型一】含乘方的有理数的混合运算问题（共5题） 1 【题型二】程序流程图与有理数的混合运算（共4题） 4 【题型三】有理数的加减混合运算中的实际应用问题（共5题） 6 【题型四】有理数的混合运算中的新定义型问题（共5题） 10 【题型五】有理数的混合运算中规律探究问题（共5题） 15 【题型一】含乘方的有理数的混合运算问题（共5题） 1．（24-25七年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据乘方的意义和绝对值意义分别计算再根据混合运算顺序计算即可 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·全国·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先计算有理数的乘方和括号内的，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】（）利用绝对值的定义、乘方的定义、有理数的乘法法则分别运算，再合并即可求解； （）利用乘法的分配律展开运算，再合并即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ， ． 5．（23-24七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键. （1）先计算乘方和把除法变乘法，再进行乘法运算，最后进行加法运算即可； （2）先计算乘方，再把除法变乘法，再进行乘法运算，最后进行加法运算即可. 【详解】（1） （2） 【题型二】程序流程图与有理数的混合运算（共4题） 6．（23-24七年级上·四川眉山·期末）小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算，请照此程序运算 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）小明在电脑中设置一个有理数运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：．则的值为 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，正确理解运算规则即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 8．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 【答案】7 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：， ∴应该按照计算程序继续计算，， ∴． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期末）小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题． (1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n； (2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值． 【答案】(1) (2)或0.5 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数运算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分或两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， ； （2）， 当时，， 当时，； 故m可能为或0.5． 【题型三】有理数的加减混合运算中的实际应用问题（共5题） 10．（23-24七年级上·四川广元·期末）苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表： 与标准质量偏差/千克 0 1 2 筐数 15 9 8 7 11 (1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？ (2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？ 【答案】(1)4千克 (2)实际总质量是1490千克，多付了40元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数和有理数的加减混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）最重的一筐多了千克，最轻的一筐量少了千克，则两箱相差4千克； （2）先求得总质量，再乘以4元即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：最重的一筐与最轻的一筐相差4千克． （2）解：（千克）， 实际质量为（千克）， 水果超市多付了（元）． 答：实际总质量是1490千克，多付了40元． 11．（23-24七年级上·重庆大足·期末）随着手机的普及，直播带货的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模式，实行网上销售，某果农把自家果园的冻橙放到网上，他原计划每天卖200斤冻橙，但由于种种原因，实际每天的销售量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 计划量的差额 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________斤； (2)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？ 【答案】(1)29 (2)具体增加了17斤 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：（斤， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤， 故答案为：29； （2）（斤， 即本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加了17斤． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）学生食堂要购进筐土豆，以每筐千克为标准质量，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 筐数 (1)这筐土豆中，最轻的一筐比最重的一筐要轻多少千克？ (2)与标准质量相比较，这筐土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克售价为元，则买这筐土豆共需要多少钱？ 【答案】(1)千克 (2)与标准重量比较，筐土豆总计超过千克 (3)买这筐土豆共需元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，涉及有理数的加减和乘法运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据最大数减最小数，可得答案；； （2）用筐数乘以差值再相加即可； （3）根据题意，求出土豆总重量，利用有理数乘法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）， 最轻的一筐比最重的一筐要轻千克； （2）（千克）， 与标准重量比较，筐土豆总计超过千克； （3）（千克）， （元）， 买这筐土豆共需元． 13．（23-24七年级上·浙江台州·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产自行车辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录求前三天共生产自行车多少辆； (2)若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)根据记录求前三天共生产自行车辆 (2)该厂工人这一周的工资总额是元 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是根据题意，列出代数式． （1）根据记录可知，前三天生产的自行车数量为：，即可； （2）先求出超额，然后列式计算，即可． 【详解】（1）（辆）， 答：根据记录求前三天共生产自行车辆． （2）（辆）， ∴（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 14．（23-24七年级上·广东阳江·期末）公交车从起点经过东湖广场站、朝南路站、中心广场站、妇幼医院站到达终点，一路上下乘客如表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数） 起点 东湖广场站 朝南路站 中心广场站 妇幼医院站 终点 上车的人数 18 15 12 7 5 0 下车的人数 0 (1)到终点下车还有_________人； (2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？_________站到_________站； (3)若每人乘坐一站需买票1元，问该车这次出车能收入多少钱？ 【答案】(1)29 (2)朝南路；中心广场 (3)150元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】考查了正数和负数解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量． （1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出大东门站、高铁南站、会展中心站、紫庐站以及中点站的人数，即可得解； （2）根据上下车以此计算，然后作比较即可； （3）根据各站之间的人数，乘以票价1元，然后计算即可得解； 【详解】（1）解：根据题意可得：到终点前，车上有： 人； 故到终点下车还有29人． 故答案为：29； （2）解：从起点到东湖广场站有(人)， 从东湖广场站到朝南路站(人)， 从朝南路站到中心广场站(人)， 从中心广场站到妇幼医院站(人)， 从妇幼医院站到终点(人)， 答：从朝南路站到中心广场站乘客最多． 故答案为：朝南路，中心广场； （3）根据题意： 元． 【题型四】有理数的混合运算中的新定义型问题（共5题） 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于实数、，有（其中，均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为，其中，叫做线性数的一个数对 (1)若，则 ， ； (2)已知：，则，求的值． 【答案】(1)， (2)151 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值： （1）根据新定义计算即可求得答案； （2）根据新定义运算求得，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， 则有， ， ． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【答案】(1)①5；②； (2)的值为1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则列式计算即可；②根据新定义运算法则列式计算即可； （2）根据新定义运算法则列方程计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ②， ； （2）解：分两种情况讨论： ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； 不满足， 应舍去， 综上所述：的值为1． 17．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次议程．读懂题意并理解新运算的定义式是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入数据即可算出结论； （2）先把（1）得到的的值代入，再根据新运算的定义式，代入数据即可算出结论． （3）根据新运算的定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ 又由（1）得， ∴ ． （3）解：∵ ∴ 18．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握． （1）根据，求出的值是多少即可． （2）根据题中新定义得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴， 化简得：， 解得：． 19．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【知识点】一元一次方程解的综合应用、整式的加减运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 【题型五】有理数的混合运算中规律探究问题（共5题） 20．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、数字类规律探索 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 21．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 【答案】(1)55； (2)595 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据题目中的算式，总结得到规律是解题的关键． （1）根据所给的4个算式的规律，可知，求解即可；根据所给的算式总结得到规律，即可获得答案； （2）用的值减去的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据所给的4个算式的规律，可得； 根据所给的算式，总结得到规律为：． 故答案为：55；； （2）原式 ． 22．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，第个等式为； （3）由（2）可得，原式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知： ， ， 故答案为：，； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； （3）解： ． 23．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 24．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ $$专题02 有理数的运算（易错必刷24题5种题型专项训练） 目录 【题型一】含乘方的有理数的混合运算问题（共5题） 1 【题型二】程序流程图与有理数的混合运算（共4题） 4 【题型三】有理数的加减混合运算中的实际应用问题（共5题） 6 【题型四】有理数的混合运算中的新定义型问题（共5题） 10 【题型五】有理数的混合运算中规律探究问题（共5题） 15 【题型一】含乘方的有理数的混合运算问题（共5题） 1．（24-25七年级上·全国·期末）计算： 2．（24-25七年级上·全国·期末）计算：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 4．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 5．（23-24七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【题型二】程序流程图与有理数的混合运算（共4题） 6．（23-24七年级上·四川眉山·期末）小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算，请照此程序运算 ． 7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）小明在电脑中设置一个有理数运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：．则的值为 ． 8．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期末）小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题． (1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n； (2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值． 【题型三】有理数的加减混合运算中的实际应用问题（共5题） 10．（23-24七年级上·四川广元·期末）苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表： 与标准质量偏差/千克 0 1 2 筐数 15 9 8 7 11 (1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？ (2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？ 11．（23-24七年级上·重庆大足·期末）随着手机的普及，直播带货的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模式，实行网上销售，某果农把自家果园的冻橙放到网上，他原计划每天卖200斤冻橙，但由于种种原因，实际每天的销售量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 计划量的差额 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________斤； (2)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？ 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）学生食堂要购进筐土豆，以每筐千克为标准质量，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 筐数 (1)这筐土豆中，最轻的一筐比最重的一筐要轻多少千克？ (2)与标准质量相比较，这筐土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克售价为元，则买这筐土豆共需要多少钱？ 13．（23-24七年级上·浙江台州·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产自行车辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录求前三天共生产自行车多少辆； (2)若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 14．（23-24七年级上·广东阳江·期末）公交车从起点经过东湖广场站、朝南路站、中心广场站、妇幼医院站到达终点，一路上下乘客如表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数） 起点 东湖广场站 朝南路站 中心广场站 妇幼医院站 终点 上车的人数 18 15 12 7 5 0 下车的人数 0 (1)到终点下车还有_________人； (2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？_________站到_________站； (3)若每人乘坐一站需买票1元，问该车这次出车能收入多少钱？ 【题型四】有理数的混合运算中的新定义型问题（共5题） 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于实数、，有（其中，均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为，其中，叫做线性数的一个数对 (1)若，则 ， ； (2)已知：，则，求的值． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 17．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 18．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 19．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【题型五】有理数的混合运算中规律探究问题（共5题） 20．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 21．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）探索规律并解答问题： ； ； ； ； …； (1)________；________（为正整数）． (2)计算：． 22．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 23．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 24．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． $$