第二十七章 相似（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十七章 相似（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如果，则（   ） A． B． C． D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 3．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 4．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 5．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 6．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（    ） A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米 7．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（   ） A． B． C． D． 10．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（      ）    A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，垂足为D，则和的周长比（    ） A． B． C． D． 13．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 14．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　） ①；②；③△EDG∽△CBG；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知，则 ． 17．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 ． 18．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 19．如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）若（x、y、z均不为零），求的值． 21．（6分）已知，点E是延长线上一点，与，分别相交于点G，F．求证：．      22．（7分）如图，在中，点、分别在边、上，且．求证：∽． 23．（6分）如图，，直线m、n交于点O，且分别与直线a、b、c交于点A、B、C和点D、E、F，已知．    (1)直接写出的长度为__________； (2)求的长度． 24．（8分）如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 25．（8分）如图，在中，，射线交于点D，E是射线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 26．（8分）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 27．（12分）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：C． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 4．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 5．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 6．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（    ） A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米 【答案】A 【分析】根据地图上的距离比等于实际距离比，列式计算即可． 【详解】解：设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为（千米）， 则：， 解得； ∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为千米； 故选：A． 【点睛】本题考查比例尺．熟练掌握地图上的距离比等于实际距离比，是解题的关键． 7．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容是解题的关键；由网格特点知，，则有，从而可求解． 【详解】解：根据网格特点，， ∴， 故选：C． 8．如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵点P是的重心， ∴， ∴，， ∴的面积的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键． 9．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割比的应用，根据下部与全部的高度比等于进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A 10．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 11．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴凉亭的高度约为， 故选：C． 12．如图，在中，，，，垂足为D，则和的周长比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质．由知，即，再证可得． 【详解】解：中，， ，即， 又， ， ， ， ， 故选：B 13．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 14．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　） ①；②；③△EDG∽△CBG；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心， ∴AE，CD是△ABC的中线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△DGE∽△BGC， ∴ ＝，①正确； ，②正确； △EDG∽△CBG，③正确； ,④正确， 故选D． 【点睛】本题考查三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题关键． 15．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后表示出a，b，c，再进行化简即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∴ 故答案为：． 17．如图，已知一组平行线abc，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为 ． 【答案】3.6 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， 即， ∴DE＝3.6， 故答案为：3.6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目特点，灵活选择比例式计算是解题的关键． 18．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 19．如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，求出、，再证明，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）若（x、y、z均不为零），求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，掌握等比的性质是解题关键． 根据等比性质，求解即可． 【详解】解：设， 则，，． ∴． 21．（6分）已知，点E是延长线上一点，与，分别相交于点G，F．求证：．      【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，，再根据平行线分线段成比例定理得到，，等量代换得，然后根据比例的性质即可得到结论． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质． 22．（7分）如图，在中，点、分别在边、上，且．求证：∽． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论． 【详解】证明：， ， 又， ∽． 23．（6分）如图，，直线m、n交于点O，且分别与直线a、b、c交于点A、B、C和点D、E、F，已知．    (1)直接写出的长度为__________； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作，可得，进而可求； （2）由，得，进而可求； 【详解】（1）解：过点O作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 24．（8分）如图，在中，，过点任作一直线，过点作于点，过点作于点． （1）指出图中的一对相似三角形并证明； （2）当时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可) 【答案】（1），证明见解析；（2）（答案不唯一） 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据相似三角形的判定定理，已知一组对应角相等，需要再添加另一组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似． 【详解】解： 证明：于点于点 ∵BE⊥DE∴∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到； ∵∠BEC=90°=∠ACB，再添加 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 25．（8分）如图，在中，，射线交于点D，E是射线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理内容是解题关键． （1）证得即可求证； （2）通过、可推出是等腰直角三角形，进而可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴． 26．（8分）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)14 (3) 【分析】本题考查作图−位似变换、位似图形的性质、在网格中求三角形的面积，（1）根据题意可得，，，，再依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）利用位似图形的性质求点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵，，，它与的相似比为， ∴，，， 依次连接点、、即可； （2）解：由图可得，， 故答案为：14； （3）解：∵为内一点， ∴点M的对应点的坐标为， 故答案为：． 27．（12分）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】(1) (2) (3)路灯的高度为 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$