精品解析：广西南宁市广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试题

九年级第三次阶段性测试数学科试卷 （考试形式：闭卷 考试时间120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体是由4个棱长为1的小正方体搭成的，其中左视图面积等于3的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是( ) A. 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B. 把4个球放入二个抽屉中（每个抽屉中必须有球），其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C. 任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是确定性事件 D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 4. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点画射线，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ） A. 24 B. 22 C. 12 D. 6 7. 如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点 C. 点 D. 点 8. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点在上，，交于，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 11. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每题2分，共12分） 13. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在______（填内、上、外）． 14. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 17. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 18. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 22. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径． 24. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题，小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）的自变量的取值范围是_______． （2）取几组与的对应值，填写在如表中． … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为_______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是_______图形（选填“轴对称”或“中心对称”）； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点，（点在点的左侧），求的值_______． 25. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 26. 2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒面宽，此时酒的最大深度．以F为原点，水平线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （1）求出图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分酒后，其酒面下降了至线段处，试求此时酒面的宽度； （3）将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当时停止，求此时的酒面的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次阶段性测试数学科试卷 （考试形式：闭卷 考试时间120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列几何体是由4个棱长为1的小正方体搭成的，其中左视图面积等于3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，得出面积解答即可． 【详解】解：A、左视图面积等于2，不符合题意； B、左视图面积等于3，符合题意； C、左视图面积等于2，不符合题意； D、左视图面积等于2，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 下列说法不正确的是( ) A. 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B. 把4个球放入二个抽屉中（每个抽屉中必须有球），其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C. 任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是确定性事件 D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件．熟练掌握随机事件，必然事件的定义是解题的关键． 根据随机事件，必然事件的定义进行判断作答即可． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，故不符合要求； B、把4个球放入二个抽屉中（每个抽屉中必须有球），其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，故不符合要求； C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是97页是随机事件，错误，故符合要求； D、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，正确，故不符合要求； 故选：C． 4. 我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 5. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点画射线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以得到∠AOC的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值可以得解． 【详解】解：如图，连结BC， 则由题意可得OC=OB，CB=OB，∴OC=OB=BC， ∴△BOC是等边三角形，∴∠AOC=60°， ∴tan∠AOC=tan60°=， 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图与三角形的综合应用，由尺规作图的作法得到所作三角形是等边三角形是解题关键． 6. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ） A. 24 B. 22 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可． 【详解】，即，解得． 故选：A 【点睛】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解． 7. 如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得． 【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 8. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过根与系数的关系求得方程的另一个根，熟练掌握根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为， 则， 解得， 故选：． 9. 如图，在中，点在上，，交于，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据已知得出，进而根据相似三角形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故C正确； ∴，即，故A正确； ∴，故B正确； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，故D错误． 故选：D． 10. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 连接，利用，结合三角形面积公式解题． 【详解】解：连接， ∴点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ， ∵轴， 轴， ， 故选：C． 11. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，设半径为x，用x表示出OC，根据勾股定理列关于x的方程，便可求得结果． 【详解】解：连接OA，设半径为x， ∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D， ∴OC＝x，OC⊥AB， ∴AC＝AB＝， ∵OA2−OC2＝AC2， ∴， 解得：x＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出相应的方程． 12. 已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则与有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图像得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，且其对称轴为， 把代入得：， 解得：，， 抛物线与x轴的交点为：，， 把代入得：， 关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根， 则与有两个交点， 如图所示， 由图像可得：实数的取值范围是． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每题2分，共12分） 13. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在______（填内、上、外）． 【答案】内 【解析】 【分析】根据的半径为，点到圆心的距离为，即可判定． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离为， 点在内， 故答案为：内． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握和运用点与圆的位置关系的判定方法是解决本题的关键． 14. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为_____． 【答案】12； 【解析】 【分析】先根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中球的总个数约为4÷0.25=16（个）， ∴白球的个数为16-4=12（个）， 故答案为：12个． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答． 【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 17. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________ 【答案】##8米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 18. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值． 【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠BCQ＝120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD＝3， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ＝30°， ∴CQ＝CD＝， ∴DQ＝， ∴DQ的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理、线段最小值问题等知识点，找到最短线段出现的点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程整理，得：， ， 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： （2） 解：如图，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据点的位置，写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为， 故答案为：． 22. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）162；162 （2）175；108 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， 该组数据的中位数是． 该组数据中出现次数最多的为162， 该组数据的众数为162． 故答案为：162；162． 【小问2详解】 全校的男生人数为（人， 选择项目的男生共有（人． 扇形统计图中项目所占圆的圆心角为． 故答案为：175；108． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为． 23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连接OA， ∵OA=OD， ∴∠1=∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3．∴OA∥DE． ∴∠OAE=∠4， ∵AE⊥CD，∴∠4=90°． ∴∠OAE=90°，即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）⊙O半径为 【解析】 【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线； （2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°． ∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5． 又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED． ∴， ∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD． 在Rt△BAD中，根据勾股定理， 得BD=． ∴⊙O半径为． 24. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题，小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）的自变量的取值范围是_______． （2）取几组与的对应值，填写在如表中． … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为_______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是_______图形（选填“轴对称”或“中心对称”）； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点，（点在点的左侧），求的值_______． 【答案】（1）； （2）2； （3） 函数图象如图所示： ． （4）①轴对称；②2． 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像和性质，根据题意获取信息是解题的关键． （1）根据分母不等于0，求解即可； （2）将代入解析式，求解即可； （3）根据表格描点，连线画图即可； （4）①根据图像直接写出对称轴即可；②根据P点的坐标和直线轴，求出M和N的横坐标，计算即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意时，， ∴， 故答案为：2． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①观察图象可知函数的图像是轴对称图形； 故答案为：轴对称图形． ②由题意，令， 解得：， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 25. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）67.5； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：如图3，延长交于点 H， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论； （3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）根据旋转的性质得到， ，， ； （2）略 （3）略 26. 2024年“广西三月三·八桂嘉年华”盛大开幕，远在北京的小明慕名而来．热情好客的广西人给他敬了一碗糯米酒．爱思考的他发现：酒碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽DC与碗底宽AB平行．当碗中装满酒时，酒面宽，此时酒的最大深度．以F为原点，水平线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系如图2所示．请你结合初中所学，解决小明提出的问题： （1）求出图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分酒后，其酒面下降了至线段处，试求此时酒面的宽度； （3）将酒碗绕点B缓缓倾斜倒出部分酒，如图3，当时停止，求此时的酒面的值． 【答案】（1） （2）的宽度为 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）液面下降了, 即即可求解； （3）以为原点, 直线为轴, 直线为轴，建立平面直角坐标系，求出点，得到直线的解析式为：进而求解. 【小问1详解】 由题意知: ∵抛物线的顶点为, ∴可设抛物线的解析式为： 把点 代入，得 解得： ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 ∵液面下降了, ∴此时液面距碗底距离为 即 当 时, ， 解得(舍去), ∴液面的宽度为 【小问3详解】 以为原点, 直线为轴, 直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点, 如图: 将酒碗绕点缓缓倾斜倒出部分糯米酒，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为即 设直线的解析式为与轴交于点,如图: 由题意知：点 ， ， 即点,由点的坐标得， ，解得， 直线的解析式为：， 联立上式和抛物线的表达式得： 解得： 或 ， 则点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $