第二章 二次函数（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第二章 二次函数（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．二次函数的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 4．已知抛物线，若点，，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．  B．   C．    D．   7．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与轴交于两点，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论：①如果点和都在抛物线上，那么；②；③（的实数）；④；其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知是二次函数，则m的值为 ． 10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当小球的高度为时，飞行时间t为 ． 11．将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 ． 12．已知二次函数的图象顶点在第四象限，则的取值范围为 ． 13．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的点，连接、、，且，则面积的最大值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    15．（5分）某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 16．（5分）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 17．（5分）已知二次函数在和时的函数值相等，求a的值． 18．（5分）已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 19．（5分）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 20．（6分）已知抛物线（a、b、c是常数，）的对称轴为直线． (1)写出b与a满足的等量关系： (2)点在该地物线上，，请判断、的大小关系． 21．（6分）如图，二次函数的图像与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是抛物线的顶点，求以为顶点的三角形的面积． 22．（7分）篮球是陕西省中考体育考试选考项目之一，如图，一名男生站在与篮圈中心水平距离为处进行投篮，篮球的行进路线是抛物线，球出手时离地面高度为，出手后当水平距离为 时，到达最大高度处，已知篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明此球能否准确投中？ 23．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（7分）自夏季伊始，我国南方地区由于强降雨或持续降雨的影响，多地出现洪涝、山体滑坡、泥石流等严重灾害．某商家为支援灾区，决定将一个月获得的利润全部捐出，已知该商家购进一批产品，成本为20元/件．原定的售价为每件40元，每月可销售300件，市场调查发现：若这种产品在原定售价的基础上每增加1元，则每月的销量将减少10件，商家决定该产品每件的售价高于40元但不超过50元，设每件产品售价为x元，每月的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该产品的销售单价定为多少时，能使每月售出产品的利润最大？最大利润是多少？ 25．（8分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 26．（10分）如图，已知抛物线：与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内拋物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．二次函数的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象顶点坐标是， 故选：D． 2．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的识别．解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．该函数是二次函数，故此选项符合题意； C．若，则该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 【详解】解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． 4．已知抛物线，若点，，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将一般式化为顶点式是解决问题的关键．由，对称轴，，开口向下，所以时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，根据对称性可知：与时，y都是，据此解答即可． 【详解】解：由， ∴， 则，抛物线开口向下，对称轴， 故时，y最大值为3，即， 所以时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 根据对称性可知：与时，y都是， ∵， ∴， 故选：A． 5．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确； B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； 故选：A． 7．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与轴交于两点，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与轴的交点，先根据抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线求出，从而得到抛物线的解析式为，求出的坐标，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 令，得， 解得：，， ，， ， 故选：C． 8．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论：①如果点和都在抛物线上，那么；②；③（的实数）；④；其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数与函数图像结合在一起． 根据二次函数具有对称性，抛物线的对称轴为直线，可知和时的函数值一样，由图像可以判断①；根据函数图像与轴的交点的个数可判断②；根据函数开口向下，可知具有最大值，可判断③；根据抛物线的对称轴为直线，即，可得，可判断，从而可以判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时的函数值一样， 由图像可知，的函数值大于时的函数值， ∵点和都在抛物线上， ∴，故①正确； ∵函数图像与轴有两个交点， ∴时，，故②正确； ∵由图像可知，时，函数取得最大值， ∴当时，， 即（的实数），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 即，可得， ∴，故④正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知是二次函数，则m的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．掌握形如的函数，是二次函数，是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：1． 10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当小球的高度为时，飞行时间t为 ． 【答案】1或3/3或1 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的应用：根据题意，把代入，计算飞行时间t的值，即可作答． 【详解】解：根据题意，把代入， 得 解得飞行时间t为1或． 故答案为：1或3 11．将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律，确定解析式，后确定顶点坐标即可． 本题考查了抛物线的平移，顶点坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为， 故抛物线的顶点坐标． 故答案为：． 12．已知二次函数的图象顶点在第四象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了坐标与图形及二次函数的性质及解不等式组．解答本题关键是理解二次函数的顶点坐标，由二次函数的图象顶点在第四象限，得不等式组，求解即可． 【详解】二次函数的图象顶点在第四象限， ∴， 解得． 故答案为：． 13．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的点，连接、、，且，则面积的最大值为 ． 【答案】20 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的几何问题，解直角三角形，勾股定理等知识，遇到几何图形中的最值问题，要考虑能否转换为求二次函数的最值问题． 过点A作于点G，过点F作于点H，先计算、和 的长，可得，设，则，，， 分别表示出、和，根据代入整理，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】如图，过点A作于点G，过点F作于点H， ∵，      ∴，则， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，面积有最大值，最大值为 故答案为：20． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图． x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 ___ ___ ___ 0 …    【答案】、、，图象见解析． 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可． 【详解】解：填表如下： x … －3 －2 －1 0 1 … … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，如图所示：    【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键． 15．（5分）某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 【答案】或 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把解析式设为顶点式，即，再由所求抛物线的形状与的函数图象相同得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵所求二次函数的顶点坐标为， ∴可设该二次函数解析式为， ∵所求二次函数的形状与的函数图象相同， ∴， ∴， ∴该二次函数表达式为或． 16．（5分）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【知识点】配方法的应用、二次函数的识别 【分析】将x的二次项的系数进行配方得到，得出，即可得出结论． 【详解】解：乙的说法对． 理由如下： ， 无论取何值，，即有， 所以， 故无论取何值，该函数一定是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的二次项系数不能为0． 17．（5分）已知二次函数在和时的函数值相等，求a的值． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴是直线，计算即可求出答案. 【详解】解：二次函数在和时函数值相等， 对称轴为直线， ， 解得． 18．（5分）已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 19．（5分）一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 【答案】1秒 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】把代入关系式解方程可求出． 【详解】解：当时，， 解得，， 小球第一次距离地面， ，即1秒． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是代入已知的就能求出． 20．（6分）已知抛物线（a、b、c是常数，）的对称轴为直线． (1)写出b与a满足的等量关系： (2)点在该地物线上，，请判断、的大小关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求得即可； （2）二次函数开口向上，则对称轴右侧y随x的增大而增大，然后再比较m,n的大小，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 整理得； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，当时随的增大而增大， ∵点在该地物线上，， ∴． 21．（6分）如图，二次函数的图像与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是抛物线的顶点，求以为顶点的三角形的面积． 【答案】(1) (2)12 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）将点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定抛物线的顶点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 可得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）如下图，连接， ∵抛物线， ∴该抛物线的顶点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 即以为顶点的三角形的面积为12． 22．（7分）篮球是陕西省中考体育考试选考项目之一，如图，一名男生站在与篮圈中心水平距离为处进行投篮，篮球的行进路线是抛物线，球出手时离地面高度为，出手后当水平距离为 时，到达最大高度处，已知篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明此球能否准确投中？ 【答案】(1) (2)此球能准确投中 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，由待定系数法可确定抛物线的解析式； （2）令，求出y的值，与比较即可作出判断； 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴此球能准确投中． 23．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）采取待定系数法，将点和代入求解即可； （2）根据解析式求得对称轴直线，顶点，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，则，即，代入求得点P，同时可求得顶点P平移后的坐标，作点关于轴的对称点，连接，有，求得与轴的交点即为所求的点，解得直线的解析式为，即可求得点． 【详解】（1）解：将点和代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为， 设点的坐标为，则， 由旋转的性质得：， ，即， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 当时，， 所以点的坐标为． 抛物线的顶点的坐标为， 则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点， 这时点落在点的位置，且， ，即，恰好在对称轴直线上， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则， 由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、函数平移、求解一次函数解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉二次函数性质和平移的关系． 24．（7分）自夏季伊始，我国南方地区由于强降雨或持续降雨的影响，多地出现洪涝、山体滑坡、泥石流等严重灾害．某商家为支援灾区，决定将一个月获得的利润全部捐出，已知该商家购进一批产品，成本为20元/件．原定的售价为每件40元，每月可销售300件，市场调查发现：若这种产品在原定售价的基础上每增加1元，则每月的销量将减少10件，商家决定该产品每件的售价高于40元但不超过50元，设每件产品售价为x元，每月的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该产品的销售单价定为多少时，能使每月售出产品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)45元；6250元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，解题的关键是列出二次函数，并根据二次函数的性质解答． （1）设每件产品售价为x元，则每月销售量为件，单件利润为元，根据“每月的销售利润＝单件利润×销售量”即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意，每月销售量为件，即件，单件利润为元， 则， ∴w与x的函数关系式是（）． （2）解：∵， ∴当时，w有最大值，为， ∴该产品的销售单价定为45元时，能使每月售出产品的利润最大，最大利润是6250元． 25．（8分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 26．（10分）如图，已知抛物线：与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内拋物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)点为或． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）分当，此时，如图，当，过作于点，此时，求出直线的解析式为：，设，则，则，，，，，然后利用三角函数即可求解． 【详解】（1）∵，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 设抛物线的解析式为且过， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 当时， 此时， ∴点的纵坐标与点相等，即， 解得， ∴点； 如图，当，过作于点， 此时， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（）得：，， 设的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：，经检验是方程的解， ∴， 综上可知：点为或． 【点睛】本题考查了求解抛物线解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$