专题06 线段与角的等量代换模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（23-24·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 例3．（23-24七年级上·山西·阶段练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小：　　（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，且，则的长为 　　cm；(2)若线段被点B、C分成了2：3：4三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是18cm，求的长． 例4．（23-24广东广州·七年级校考期末）如图， （1）若，则 ； （2）若，则 ． 例5．（23-24七年级上·江苏·课后作业）如图所示，，，则 ． 例6．（23-24天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（    ） A．大 B．大 C．相等 D．无法确定 例8．（23-24广东佛山·七年级校考阶段练习）如图所示，是一条直线，若，则，其理由是（   ） A．内错角相等 B．等角的补角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 例9．（23-24七年级上·湖北·期末）如图，两个直角，有相同的顶点O，下列结论： ①；②；③若平分，则平分； ④的平分线与的平分线是同一条射线． 其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 例10．（23-24河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分． (1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．    例11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系(1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ． (2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是： ． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角度数． 例12．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（    ） A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB 2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ） A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较 4．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，，则图中互补的角共有（    ）    A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 5．（2023春·河南焦作·七年级统考期中）如果，，那么与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定 6．（2023春·山西太原·七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“”处的依据为（    ）    如图，因为直线，相交于点，所以与都是平角． 所以，．所以（据：） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．平角的定义 7．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①； ②若，则；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（    ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 10．（海南澄迈县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．补角的定义 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 11．（23-24福建省福州市七年级期中）由，得到的依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 12．（23-24云南昆明·七年级校考期末）如图，和都是直角．下列结论： ①；②；③若平分，则平分； ④的平分线和的平分线是同一条射线．其中正确的是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，，于点．若，则的度数是 ．    14．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，和都是直角，则 （填，，）． 15．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）如图，点在线段上，且，点E是线段的中点，若，则的长为 ． 16．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为 ． 17．（23-24福建省仙游县七年级期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论： ①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=； ③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD； ④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是 ．（填序号） 18．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图：已知在线段上，分别为线段的中点，且．(1)如图，线段上共有个点，则图中共有 条线段； (2)比较线段的大小： ；（填“”、“”或“”）(3)若，求的长度． 19．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 20．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，． (1)图一，若在的内部，，求； (2)绕点O顺时针旋转，若，请说明是的平分线； (3)图二中，在的内部，请推断与的关系． 21．（2024春·广东珠海·七年级开学考试）对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据． 理由：因为（已知），所以（等式的性质）． 因为　 　，所以（   ）．所以（   ）． 22．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知，在内部，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数． 23．（2023秋·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，，，平分，（）． (1)求的度数（用含的式子表示）； 请将以下解答过程补充完整： 解：因为，所以， 因为，所以， 所以_____，（理由：_____）， 因为，所以， 因为平分，所以_____，（理由：_____） 所以__________°． (2)用等式表示与的数量关系，并说明理由． 24．（23-24七年级·贵州黔西·阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与的数量关系是______．（不用说明理由） (2)如图2，，，则与的数量关系是______，并请说明理由． (3)由（1）（2）可以直接写出结论：如果_________________，那么_____________． 25．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）已知． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)如图2，直线平分，则直线平分，请完成下面的说理过程： 因为________，所以． 又因为，所以， 即________________． 因为，， 根据________，所以，即直线平分． (3)如图1，若，，画出并求的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（23-24·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得答案． 【详解】∵，∴，即．故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段的和差，掌握各线段之间的数量关系是解题的关键． 例2．（23-24·重庆·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论． 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 例3．（23-24七年级上·山西·阶段练习）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小：　　（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，且，则的长为 　　cm；(2)若线段被点B、C分成了2：3：4三部分，且的中点M和的中点N之间的距离是18cm，求的长． 【答案】(1)①＝，②20(2)27cm 【分析】（1）①根据等量代换，计算线段的和，后判断；②根据线段之间的关系，线段的和计算即可． （2）设未知数，运用一元一次方程的思想求解即可． 【详解】（1）解：①∵，∴，所以，故答案为：=； ②∵，且，∴，∴， ∵，∴，∴；故答案为：20． （2）解：如图： 设，根据已知得：， ∴，， ∵，∴，所以，解得， ∴．答：的长是． 【点睛】本题考查了线段之间的数量关系，线段的中点的意义，线段的和，一元一次方程的解法，熟练掌握线段的关系，灵活解方程是解题的关键． 例4．（23-24广东广州·七年级校考期末）如图， （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 / / / 【分析】（1）根据几何图形，结合等式的性质即可求解． （2）根据几何图形，结合等式的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，∴，即， 故答案为：； （2）∵，∴，即， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 例5．（23-24七年级上·江苏·课后作业）如图所示，，，则 ． 【答案】68 【分析】直接根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， 又，，∴．故答案为68． 【点睛】本题主要考查互余角，关键是根据“同角的余角相等”可得角的等量关系，然后求解即可． 例6．（23-24天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的度数，然后根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ，故选：D． 【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出的度数． 例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（    ） A．大 B．大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】由，，可知，进而可得答案． 【详解】解：∵，∴故选C． 【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等． 例8．（23-24广东佛山·七年级校考阶段练习）如图所示，是一条直线，若，则，其理由是（   ） A．内错角相等 B．等角的补角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【答案】B 【分析】根据等角的补角相等判定即可. 【详解】∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等角的补角相等)，故选：B. 【点睛】本题主要考查了补角的性质：同角或等角的补角相等. 例9．（23-24七年级上·湖北·期末）如图，两个直角，有相同的顶点O，下列结论： ①；②；③若平分，则平分； ④的平分线与的平分线是同一条射线． 其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】根据角的和差关系和角平分线的定义，对四个结论逐一进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，，∴，①正确； ②∵只有当，分别为和的平分线时，，②错误； ③∵，平分， ∴，则∴平分，③正确； ④∵，； ∴的平分线与的平分线是同一条射线，④正确；故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查角的和差关系，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 例10．（23-24河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的度数； (2)如图2，当在内部时，若，求的度数； (3)当和的位置如图3时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求解，，可得答案； （2）先求解，，再证明，，结合角的和差运算可得答案； （3）设，可得，证明，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分． ∴，， ∴； （2）∵在内部，，， ∴，， ∵平分，平分． ∴，， ∴． （3）设，，∴， ∵平分，平分．， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算进行计算是解本题关键． 例11．（23-24七年级上·河南南阳·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系 (1)如图1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1与∠2的数量关系是： ． (2)如图2，AB⊥DE，BC⊥EF．根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是： ． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果 ，那么 ． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角度数． 【答案】(1)相等(2)互补 (3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补(4)20°，20°或55°，125° 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余即可得解； （2）根据四边形内角和即可求解；（3）由（1）（2）总结归纳，即可得出的结论； （4）设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α-40°，根据这两角相等或互补即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，故答案为：相等； （2）解：∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠2+90°+90°=360°， ∴∠1+∠2=360°-90°-90°=180°，故答案为：∠1+∠2=180°； （3）解：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补， 故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补； （4）解：设一个角的度数为α，则另一个角的度数为3α－40°， 根据题意可得，α＝3α－40°或α+3α－40°＝180°，解得α＝20°或55°， 当α＝20°时，3α－40°＝20°，当α＝55°时，3α－40°＝125°， ∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°． 【点睛】此题考查了多边形的内角，余角的定义和垂直的定义，熟记多边形的内角和公式是解题的关键，在解题的过程中，要注意分类讨论． 例12．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可； （2）利用余角的定义，求得两个角的和为即为垂直． 【详解】（1）解：，， ， ， ，； （2），证明：，， ，即，． 【点睛】本题考查的是余角、垂直的定义，解题的关键是熟练掌握余角、垂直以及对顶角的定义，会识别余角、垂直、对顶角． 1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（    ） A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB 【答案】D 【详解】根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判断. 故选D. 【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键． 2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由作图可得点和点分别是、的中点，再根据线段中点的定义可得答案． 【详解】解：，，点与点恰好重合， 点和点分别是、的中点，，， ．故选：C． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． 3．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ） A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较 【答案】B 【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD． 【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故选：B． 【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 4．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，，则图中互补的角共有（    ）    A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 【答案】A 【分析】首先求出，，然后根据互补的定义找出相加等于的角即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 综上，互补的角共有7对，故选：A． 【点睛】本题考查了角的和差计算，互补的定义，如果两个角的和等于，就说这两 5．（2023春·河南焦作·七年级统考期中）如果，，那么与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意可得和都是的余角，则根据同角的余角相等可知和的关系相等． 【详解】解：∵，∴故选C． 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，掌握相关定理是解题关键． 6．（2023春·山西太原·七年级校考期中）学完第二章后，同学们对“对顶角相等”进行了如图所示的推理，其中“”处的依据为（    ）   如图，因为直线，相交于点， 所以与都是平角． 所以，． 所以（据：） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．同位角相等 D．平角的定义 【答案】B 【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可得到答案． 【详解】解：因为直线，相交于点， 所以与都是平角，所以，． 由同角的补角相等，即可得到．故选：B． 【点睛】本题考查了补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（2023秋·广东深圳·七年级校考期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据同角的余角相等得到，即可得到结论． 【详解】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置， ∴，，∴， 又∵，∴，故选：A．        【点睛】本题考查同角的余角相等，其关键要弄清哪两个角互余及角的和差，并利用数形结合的思想解决问题． 8．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论： ①； ②若，则；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是掌握中点的定义，根据图形，分析线段之间的和差关系．结合图形，根据线段中点的定义与线段之间的和差关系逐一进行分析，即可进行解答． 【详解】解：∵E，F分别是线段的中点．，∴， ∴，故①不符合题意； ∵，∴，即， ∴，∴，故②符合题意； ∵，∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，∴ ∴，故④不符合题意；故选：B． 9．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（    ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】B 【分析】根据互余的性质得出相等的角即可得出答案． 【详解】解：图中相等的角有，共5对故选：B． 【点睛】此题考查了找等角的问题，解题的关键是掌握互余的性质． 10．（海南澄迈县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．补角的定义 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角或同角的补角相等的性质，根据同角的补角相等进行解答． 【详解】∵，， ∴是的补角，是的补角， ∴（同角的补角相等）． 故选：D 11．（23-24福建省福州市七年级期中）由，得到的依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】根据互余的概念及性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，是根据同角的余角相等， 故选：． 【点睛】本题主要考查余角的性质，掌握互余的概念及性质是解题的关键． 12．（23-24云南昆明·七年级校考期末）如图，和都是直角．下列结论： ①；②；③若平分，则平分； ④的平分线和的平分线是同一条射线．其中正确的是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可． 【详解】解：①∵， ∴，，∴；故①正确． ②∵，故②正确； ③∵，平分，∴，则， ∴平分；故③正确．④∵，（已证）； ∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④正确．故选：A． 【点睛】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 13．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图，，于点．若，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据垂直的定义分别得到，，再利用同角的余角相等可得结果． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，即， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等． 14．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，和都是直角，则 （填，，）． 【答案】 【分析】由和都是直角，得，，从而即可得到答案． 【详解】解：和都是直角， ，，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同角的余角（补角）相等，熟练掌握该知识点是解题的关键． 15．（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）如图，点在线段上，且，点E是线段的中点，若，则的长为 ． 【答案】/24厘米 【分析】根据线段中点的定义，可得，代入数据进行计算即可得解求出的长． 【详解】解：∵，点E是线段的中点， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键． 16．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为 ． 【答案】9 【分析】先M是线段的中点，得出，根据，得出，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵M是线段的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意得出． 17．（23-24福建省仙游县七年级期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论： ①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=； ③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD； ④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④． 【分析】根据同角的余角性质可判断①与②，根据角平分线定义可判断③，设∠AOD的平分线为OE，设∠BOC的平分线为OF，根据角平分线定义可算出∠BOE=∠COE=22.5°，则∠BOF=∠COF=22.5°，然后得出OE与OF重合即可 【详解】因为∠AOC和∠BOD是两个直角，所以∠AOB与∠COD都与∠BOC互余，所以∠AOB=∠COD；故①正确；也能得出②错误； ∵OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC=45°，从而得出∠COD=45º，故③正确； 此时∠AOD=135°，设∠AOD的平分线为OE， 可算出∠BOE=∠COE=22.5°， 设∠BOC的平分线为OF，则∠BOF=∠COF=22.5°，得∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，故④正确；综上所述，正确的序号是①③④． 【点睛】本题考查余角性质，角平分线定义，掌握余角性质，角平分线定义是关键． 18．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图：已知在线段上，分别为线段的中点，且． (1)如图，线段上共有个点，则图中共有 条线段； (2)比较线段的大小： ；（填“”、“”或“”）(3)若，求的长度． 【答案】(1)15(2)(3)10 【分析】（1）根据线段的条数等于（其中为点的个数）即可得； （2）根据，再结合即可得出答案； （3）先根据线段中点的定义可得，从而可得，再根据即可得． 【详解】（1）解：线段上共有个点， 图中线段的条数为（条）， 故答案为：15． （2）解：，且， ， 故答案为：． （3）解：是的中点，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段的条数问题、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键． 19．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 【答案】(1)=；(2)；(3)． 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算．理清线段之间的数量关系，是解题的关键． （1）根据线段的和的关系，进行比较即可； （2）先求出的长，中点，求出的长，再根据，求出的长即可； （3）同法（2），进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）如图，． (1)图一，若在的内部，，求； (2)绕点O顺时针旋转，若，请说明是的平分线； (3)图二中，在的内部，请推断与的关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义： （1）根据角度之间的关系进行求解即可； （2）根据垂线的定义得到，进而得到，则，即是的平分线； （3）根据，即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线； （3）解：∵，， ∴， ∴． 21．（2024春·广东珠海·七年级开学考试）对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据． 理由：因为（已知），所以（等式的性质）． 因为　 　，所以（   ）．所以（   ）． 【答案】已知，等式的性质，等量代换 【分析】根据各步前后式的逻辑关系写出依据． 【详解】，理由如下： 因为（已知）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）． 所以（等量代换）． 故答案为：已知，等式的性质，等量代换． 【点睛】本题考查推理步骤的应用，根据各步前后式的逻辑关系写出推理依据是解题关键 ． 22．（2023春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知，在内部，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度数； （2）由角平分线定义，得到，而，即可证明； （3）由余角的定义，得到，而，，即可求出的度数，从而得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ，； （2）平分，， ，，， ，，，； （3），， ，， ， ，，． 【点睛】本题考查余角和补角，角平分线定义，关键是应用角平分线定义，角的和差表示出有关的角． 23．（2023秋·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，，，平分，（）． (1)求的度数（用含的式子表示）； 请将以下解答过程补充完整： 解：因为，所以， 因为，所以， 所以_____，（理由：_____）， 因为，所以， 因为平分，所以_____，（理由：_____） 所以__________°． (2)用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；同角的余角相等；；角平分线的定义；； (2)，理由见解析 【分析】（1）由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义可得，进而可求解的度数；（2）由角的和差问题可求解，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，，（理由：同角的余角相等）， ，，平分， （理由：角平分线的定义），， 故答案为：；同角的余角相等；；角平分线的定义；；； （2）解：，理由是如下：， ，． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角和补角，角的计算，灵活运用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 24．（23-24七年级·贵州黔西·阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与的数量关系是______．（不用说明理由） (2)如图2，，，则与的数量关系是______，并请说明理由． (3)由（1）（2）可以直接写出结论：如果_________________，那么_____________． 【答案】(1)相等(2)互补，理由见详解(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补 【分析】（1）由余角的性质，等角的余角相等，可得；（2）根据四边形内角和为，可求得； （3）由（1）（2）的分析可直接得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ，，，，，， ，．故答案为：相等． （2）解：如图2，，，，， ，．故答案为：互补． （3）解：由（1）（2）的分析可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补． 【点睛】本题主要考查余角的定义、垂直的定义及三角形内角和，熟练掌握余角的定义、垂直的定义及三角形内角和是解题的关键． 25．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）已知． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)如图2，直线平分，则直线平分，请完成下面的说理过程： 因为________，所以． 又因为，所以， 即________________． 因为，， 根据________，所以，即直线平分． (3)如图1，若，，画出并求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)直线平分；；；等角的补角相等(3)见解析，或 【分析】（1）根据可得，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据等角的补角相等可得，由此即可得； （3）分两种情况：在的上方和在的下方，根据角的和差即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，即． （2）解：因为直线平分，所以． 又因为，所以，即． 因为，， 根据等角的补角相等，所以，即直线平分． 故答案为：直线平分；；；等角的补角相等． （3）解：①如图，当在的上方时， ，，； ②如图，当在的下方时， ，，； 综上，的大小为或． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算、角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$