假期作业18 随机变量及其分布-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

(３)可先排丙、丁有 A２４ 种排法,则甲、乙只有一 种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有 A２４×１＝１２(种),或看作定序问题 A４４ A２２ ＝１２(种)． 假期作业１７ １．B　[因为 x＋２x２ æ è ç ö ø ÷ n 的展开式共有n＋１项,所以n ＋１＝９,所以n＝８．] ２．C　[由题意知:展开式中含x的项为C１３􀅰(－２x) ＝－６x,故x的系数为－６．] ３．A　[令x＝１,则(１－２)５＝a０＋a１(１－１)＋a２(１ －１)２＋􀆺＋a５(１－１)５＝a０＝－１．] ４．C　[根据二项展开式的通项公式Tm＋１＝ Cm９(x２)９－m(－x－１)m＝(－１)mCm９x１８－３m, 令１８－３m＝０,解得m＝６, ∴常数项为T７＝(－１)６C６９＝８４．] ５．B　[由 x＋１x æ è ç ö ø ÷ １０ 的 展 开 式 的 通 项 为 Tm＋１＝ Cm１０x１０－２m,知展开式中系数最大的项即二项式 系数最大的项,即 Cm１０最大,所以 m＝５,即第６ 项的系数最大．] ６．D　[设(１＋３x)n＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋anxn, 令x＝１,得(１＋３)n＝４n＝a０＋a１＋a２＋􀆺＋an ＝２５６,解得n＝４．] ７．B　[根据题意可得２n＝６４,解得n＝６, 则 x－１x æ è ç ö ø ÷ ６ 展 开 式 的 通 项 为 Tm＋１ ＝Cm６x６－m －１x æ è ç ö ø ÷ m ＝(－１)mCm６x６－２m．令６－２m＝０,得 m ＝３, 所以常数项为T４＝C３６x６－３ － １ x æ è ç ö ø ÷ ３ ＝－C３６ ＝－６×５×４３×２×１＝－２０． ] ８．解析: ３ x－２x æ è ç ö ø ÷ n 的二项式系数和为２n＝２５６, 可得n＝８, 所以 ３ x－２x æ è ç ö ø ÷ ８ 的所有项的系数和为(１－２)８ ＝１． 答案:１ ９．解析:令x＝１,则(２＋１)n＝３n＝a０＋a１＋a２＋􀆺＋an ＝８１,所以n＝４． 答案:４ １０．解析:由题意得C３n＝C６n, 所以n＝９, 二项 式 x＋ １ ２ x æ è ç ö ø ÷ ９ 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tm＋１＝Cm９x９－m １ ２x －１２æ è ç ö ø ÷ m ＝ １２ æ è ç ö ø ÷ m Cm９x９－ ３ ２m, 令９－３２m＝０ ,得m＝６, 所以常数项为T７＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ６ C６９＝ ２１ １６． 答案:２１ １６ １１．解:(１)由题意,结合二项式系数的性质可得, ２n＝３２,解得n＝５． (２)在展开式中令x＝１,得－１＝a０＋a１＋a２＋ 􀆺＋an, 即a０＋a１＋a２＋􀆺＋an＝－１． １２．解:(１)由题设,C０n＋C１n＋C２n＝２９,整理得 n２＋n－５６＝０,解得n＝－８(舍)或n＝７． (２)由(１)知:二项式展开式通项为Tm＋１＝ Cm７(ax－２)７－mx m ２ ＝a７－mCm７x－１４＋ ５m ２ , 当m＝６时为含x的项,故７a＝５６,解得a＝８． 假期作业１８ １．C　[由 随 机 变 量 的 分 布 列 的 性 质 知 ０．１５＋ ０．３５＋m＋０．２５＝１,解得m＝０．２５．] ２．B　[X＝３表示选出的４个代表中有３个男生１ 个女生,则P(X＝３)＝ C３５C１３ C４８ ＝３７． ] ３．D　[由随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),可得 正态曲线的对称轴为x＝μ, 因为P(ξ≤c)＝P(ξ＞c),所以c＝μ．] ４．D　[分 布 列 中 出 现 的 所 有 的 概 率 之 和 等 于 １,０．３＋m＋０．４＝１,m＝０．３, ∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝１×０．３＋３× ０．３＋５×０．４＝３．２．] ５．D　[因为随机变量ξ~B ４, ２ ３ æ è ç ö ø ÷, 所以P(ξ＝３)＝C ３ ４× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ × １－２３ æ è ç ö ø ÷＝３２８１． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 ６．A　[因为随机变量 X~N(μ,７),且P(X＜２) ＝P(X＞６), 所以 由 对 称 性 知 μ＝ ２＋６ ２ ＝４ ,由 正 态 分 布 X~N(μ,７),知方差 D(X)＝７,A 正 确,BCD 错误．] ７．D　[由题意得:从一个装有４个白球和３个红 球的袋子中取出一个球,是红球的概率为 ３ ３＋４ ＝ ３７ ,因 为 是 有 放 回 的 取 球,所 以 X ~ B ５,３７ æ è ç ö ø ÷, 所以D(X)＝５×３７× １－ ３ ７ æ è ç ö ø ÷＝６０４９． ] ８．解析:X＝１表示的结果是抽取的２台彩电有甲 型和乙型彩电各一台, 故所求概率P(X＝１)＝ C１３C１２ C２５ ＝３５． 答案:３ ５ ９．解析:依题意,１３a＋ ２ ３a＋ ３ ３a＝ ２ a＝１ ,解得a＝２, 所以P(X＝１)＝１３a＝ １ ６． 答案:１ ６ １０．解析:∵总体密度函数为f(x)＝ １ σ ２π e (x－８５)２ ２σ２ , ∴μ＝８５, 由P(７０≤X≤１００)＝０．７, 得P(X＞１００)＝１－０．７２ ＝０．１５ , ∴超过１００分的人数大约为８００００×０．１５ ＝１２０００． 答案:１２０００ １１．解:(１)李明平时选择骑自行车更稳妥, 由已知得坐公交车平均用时３０min,骑自行车 平均用时３４min,差距不大;但是坐公交车的 方差为３６,骑自行车的方差为４,由于方差越 小,取值越集中,稳定性越高,波动性越小,则 坐公交车所花费的时间不稳定,即李明平时选 择骑自行车更稳妥． (２)由图(a)中 X 和Y 的概率密度曲线可知 P(X＞３８)＞P(Y＞３８), 由此可知,如果某天有３８min可用,那么李明 坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概 率,应选骑自行车; 由图 (a)中 X 和 Y 的 概 率 密 度 曲 线 可 知 P(X＞３４)＜P(Y＞３４), 由此可知,如果某天有３４min可用,那么李明 坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概 率,应选坐公交车． １２．解:(１)由题意得: 设甲正确完成面试的题数为ξ,则ξ可能的取 值为１,２,３．P(ξ＝２)＝ C２４C１２ C３６ ＝３５ ． (２)设乙正确完成面试的题数为η,则η可能的 取值为０,１,２,３． P(η＝０)＝C ０ ３× １ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝１２７ , P(η＝１)＝C １ ３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ １ × １３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝６２７ , P(η＝２)＝C ２ ３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ × １３ æ è ç ö ø ÷＝１２２７ , P(η＝３)＝C ３ ３× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝８２７． 应聘者乙正确完成题数η的分布列为 η ０ １ ２ ３ P １２７ ６ ２７ １２ ２７ ８ ２７ ∵η~B ３, ２ ３ æ è ç ö ø ÷, ∴E(η)＝３× ２ ３＝２． 假期作业１９ １．C　[中位数是从小到大排序后,中间两位数的 平均值４＋４ ２ ＝４． ] ２．B　[依题意这组数据一共有５个数,中位数为 ８,则从小到大排列８的前面有２个数,后面也 有２个数, 又因为唯一的众数为９,则有两个９,其余数字 均只出现一次,则最大数字为９, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 　　　　　　　　 假期作业１８　随机变量及其分布 ●[每日一语]　世上唯一不能复制的是时间,唯一不能重演的是人生． １．离散型随机变量 随机变量的基本概念 (１)随机变量的概念:随机试验可能出现的 结果可以用一个变量来表示,这个变量 的取值就是随机的,我们把这个变量称 为随机变量．随机变量用大写字母 X, Y,􀆺表示,有时也用希腊字母ξ、η,􀆺 表示． (２)离散型随机变量的概念:一般地,所有 可能的取值都能一一列举出来的随机 变量称为离散型随机变量． (３)连续型随机变量的概念:对于随机变量 可能取的值,可以取某一区间内的一切 值,这样的变量就叫做连续型随机变量． ２．离散型随机变量的分布列及其数字特征 (１)离散型随机变量的分布列:设离散型随 机变量ξ可能取的值为x１,x２,􀆺,xi, 􀆺,ξ取每一个值xi(i＝１,２,􀆺)的概率 为P(ξ＝xi)＝Pi,则称表为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ的分布列． ξ x１ x２ 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pn 注:分布列的两个性质:任何随机事件 发生的概率都满足:０≤P(A)≤１,并且 不可能事件的概率为０,必然事件的概 率为１．由此你可以得出离散型随机变 量的分布列都具有下面两个性质: ①pi≥０,i＝１,２,３􀆺; ②p１＋p２＋􀆺＋pn＝１,i＝１,２,３􀆺n． (２)离散型随机变量的期望和方差: 一般地,若离散型随机变量 X 的分布 列,如下表所示 X x１ x２ 􀆺 xn p p１ p２ 􀆺 pn 则称E(X)＝x１p１＋x２p２＋􀆺＋xnpn＝ ∑ n i＝１ xipi 为随机变量X 的均值或数学期 望,简称期望． 称 D(X)＝(x１－E(X))２p１＋(x２－ E(X))２p２ ＋ 􀆺 ＋ (xn －E (X))２pn ＝∑ n i＝１ (xi－E(X))２pi 为随机变量X 的方 差,称 D(X)为随机变量X的标准差． ３．二项分布 (１)n重伯努利试验(n次独立重复试验) ①我们把只包含两个可能结果的试验 叫做伯努利试验． ②将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利 试验． (２)二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验 中事件A 发生的概率为p(０＜p＜１),用 X 表示事件A 发生的次数,则 X 的分 布列为P(X＝k)＝Cknpk(１－p)n－k, k＝１,２,３,􀆺,n．如果随机变量 X 的分 布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p)． (３)二项分布的均值与方差 若随机变量X 服从参数为n,p 的二项 分布,即X~B(n,p), 则E(X)＝np,D(X)＝np(１－p)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 ４．正态分布 (１)正态分布密度曲线 正态分布密度曲线,简称正态曲线,它 的函 数 表 达 式 为 p(x)＝ １ ２πσ e (x－μ) ２ ２σ２ (－∞＜x＜＋∞),其中μ和σ 为参数, 且σ＞０,μ∈R,p(x)称为概率密度函 数,此时称随机变量X 服从参数为μ 和 σ的正态分布,简记为X~N(μ,σ ２)．曲 线呈现“中间高,两边低,左右大致对 称”的特点． (２)正态分布密度曲线的特点 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交; ②曲 线 是 单 峰 的,它 关 于 直 线 x＝μ 对称; ③p(x)在x＝μ处达到最大值 １ ２πσ ; ④当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移; ⑤σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态 曲线越尖陡; ⑥曲线与x轴之间所夹区域的面积等于１． (３)正态分布的期望与方差 若X~N(μ,σ ２),则E(X)＝μ,D(X)＝σ ２． 标准差σ越大,正态曲线越扁平,说明X 的取值越分散;σ越小,正态曲线越尖陡, 说明X的取值越集中在数学期望μ附近． (４)标准正态分布 数学期望μ＝０,方差σ＝１的正态分布 称为标准正态分布,其密度函数记为 φ(x)＝ １ ２π e－ x ２ ２ (－∞＜x＜＋∞),其 图象如图所示,随机变量X 服从标准正 态分布,简记为X~N(０,１)． (５)３σ原则 ①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈６８􀆰２７％; ②P(μ－２σ＜X＜μ＋２σ)≈９５􀆰４５％; ③P(μ－３σ＜X＜μ＋３σ)≈９９􀆰７３％． 在实际应用中,通常认为服从于正态分 布N(μ,σ ２)的随机变量X 只取(μ－３σ, μ＋３σ)之间的值,并简称为３σ原则． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知随机变量X 的分布列如表: X １ ２ ３ ４ P ０􀆰１５ ０􀆰３５ m ０􀆰２５ 则实数m＝ (　　) A．０􀆰０５　B．０􀆰１５　C．０􀆰２５　D．０􀆰３５ ２．已知８名学生中有５名男生,从中选出４ 名代表,记选出的代表中男生人数为X, 则P(X＝３)＝ (　　) A．１７ B． ３ ７ C． ５ ７ D．１ ３．设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),且 P(ξ≤c)＝P(ξ＞c),则c＝ (　　) A．０　　 B．σ　　 C．－μ　　 D．μ ４．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表: ξ １ ３ ５ P ０􀆰３ m ０􀆰４ 则其数学期望E(ξ)＝ (　　) A．１ B．０􀆰３ C．２􀆰３ D．３􀆰２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１４􀅰 ５．已知随机变量ξ~B４, ２ ３ æ è ç ö ø ÷,则P(ξ＝３)＝ (　　) A．４８１ B． ８ ８１ C． １６ ８１ D． ３２ ８１ ６．设随机变量X~N(μ,７),若P(X＜２)＝ P(X＞６),则 (　　) A．μ＝４,D(X)＝７ B．μ＝８,D(X)＝７ C．μ＝４,D(X)＝ ７ D．μ＝８,D(X)＝ ７ ７．从一个装有４个白球和３个红球的袋子 中有放回地取球５次,每次取球１个,记 X 为取得红球的次数,则D(X)＝(　　) A．１５７ B． ２０ ７ C． ２５ ２１ D． ６０ ４９ ８．从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任取 ２台,若设X 表示所取的２台彩电中甲型 彩电的台数,则P(X＝１)＝　　　　． ９．设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k) ＝k３a ,k＝１,２,３,则 P(X ＝１)的 值 为　　　． １０．２０２４年５月湖南省部分高三学生参加 高三第一次模拟大联考,假如联考的数 学成绩服从正态分布,其总体密度函数 为f(x)＝ １ σ ２π e (x－８５)２ ２σ２ ,且 P(７０≤x≤ １００)＝０．７．若参加此次联考的学生共 有８００００人,则数学成绩超过１００分的 人数大约为　　　　　． １１．李明上学有时坐公交车,有时骑自行 车,他各记录了５０次坐公交车和骑自 行车所花的时间(样本数据),经数据分 析得到如下结果: 坐公交车:平均用时３０min,方差为３６ 骑自行车:平均用时３４min,方差为４ (１)根据以上数据,李明平时选择哪种 交通方式更稳妥? 试说明理由． (２)分别用X 和Y 表示坐公交车和骑自 行车上学所用的时间,X 和Y 的概率密 度曲线如图(a)所示,如果某天有３８min 可用,你应选择哪种交通方式? 如果仅 有３４min可用,又应该选择哪种交通方 式? 试说明理由． (提示:(２)中X 和Y 的概率密度曲线分 别反映的是X 和Y 的取值落在某个区 间的随机事件的概率,例如,图(b)中阴 影部分的面积表示的就是 X 取值不大 于３８min时的概率) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２４􀅰 １２．某公司为招聘新员工设计了一个面试 方案:应聘者从６道备选题中一次性随 机抽取３道题,按照题目要求独立完 成．规定:至少正确完成其中２道题便 可通过．已知６道备选题中应聘者甲有 ４道题能正确完成,２道题不能完成;应 聘者乙每题正确完成的概率都是２ ３ ,且 每题正确完成与否互不影响． (１)求甲恰好正确完成２道面试题的 概率; (２)求乙正确完成面试题数η的分布列 及其期望． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 欧拉放羊 欧拉小时候因为问老师天上的星星有多少颗,就被老师赶回了家,而小欧拉回家后 无事,就帮助爸爸放羊,但他一面放羊,一面读书,其中也有不少数学书,羊渐渐增多,原 来的羊圈有些小,爸爸决定建造一个新的羊圈,他用尺子量出了一块长方形的土地,长 ４０米,宽１５米,面积正好是６００平方米． 可是正打算动工的时候,他发现他的材料只够围１００米的篱笆,若要围成长４０米, 宽１５米的羊圈,不够用,但小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心面积小于原 来的计划,父亲不相信小欧拉会有办法,便没有理他,小欧拉急了,大声说,只要稍稍移 动一下羊圈的桩子就行了． 父亲听了直摇头,可小欧拉却坚持要求尝试,最后父亲终于同意了,小欧拉便移动 羊圈的桩子弄成了边长为２５米的正方形,如此圈成的羊圈,篱笆不多不少,面积甚至更 大了一些,虽然这个问题很简单,而且圈成圆形的面积会更大,但在这个时期,年纪轻轻 的小欧拉,着实是天才一般的表现． 父亲心里感到非常高兴,孩子比自己聪明,将来一定大有出息,让这么聪明的孩子 放羊实在是可惜了,后来,他想办法让小欧拉认识了大数学家伯努利,通过这位数学家 的推荐,小欧拉成了巴塞尔大学的学生,这一年,小欧拉１３岁,是这所大学最年轻的大 学生． 􀅰３４􀅰