假期作业17 二项式定理-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　　　　　　　　　假期作业１７　二项式定理 ●[每日一语]　重要的不仅是互相理解,而是在不理解的地方去发现彼此的尊重． １．二项式定理 (１)定义 一般地,对于任意正整数n,都有:(a＋b)n ＝C０nan＋C１nan－１b＋􀆺＋Cmnan－mbm＋􀆺＋ Cnnbn(n∈N∗)． 这个公式所表示的定理叫做二项式定 理,等号右边的多项式叫做(a＋b)n 的 二项展开式．式中的 Cmnan－mbm 叫做二项 展开式的通项,用Tm＋１表示,即通项为展 开式的第m＋１项:Tm＋１＝Cmnan－mbm,其中 的系数Cmn (m＝０,１,２,􀆺,n)叫做二项 式系数． (２)二项式(a＋b)n 的展开式的特点: ①项数:共有n＋１项,比二项式的次数 大１; ② 二项式系数:第m＋１项的二项式系 数为Cmn ,最大二项式系数项居中; ③次数:各项的次数都等于二项式的幂 指数n．字母a降幂排列,次数由n到０; 字母b升幂排列,次数从０到n,每一项 中,a,b次数和均为n． (３)二项展开式的通项公式Tm＋１＝Cmnan－mbm (m＝０,１,２,􀆺,n) 公式特点:① 它表示二项展开式的第 m＋１项,该项的二项式系数是Cmn ; ②字母b的次数和组合数的上标相同． ２．二项式系数及其性质 (１)(a＋b)n 的展开式中各项的二项式系数 C０n、C１n、C２n􀆺Cnn 具有如下性质: ①对称性:二项展开式中,与首末两端 “等距离”的两项的二项式系数相等,即 Cmn＝Cn－mn ; ②增减性与最大值:二项式系数在前半 部分逐渐增大,在后半部分逐渐减小, 在中间取得最大值．其中,当n为偶数 时,二项展开式中间一项的二项式系数 C n ２ n 最大;当n为奇数时,二项展开式中 间两项的二项式系数C n－１ ２ n ,C n＋１ ２ n 相等,且 最大． (２)各二项式系数之和为２n,即C０n＋C１n＋C２n ＋C３n＋C４n＋􀆺＋Cnn＝２n． (３)二项展开式中各奇数项的二项式系数 之和等于各偶数项的二项式系数之和, 即C０n＋C２n＋C４n＋􀆺＝C１n＋C３n＋C５n＋􀆺 ＝２n－１． (４)二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中,第m＋１项Cmnan－mbm 的 二项式系数是组合数Cmn ,展开式的系数 是单项式 Cmnan－mbm 的系数,二者不一 定相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若 x＋２x２ æ è ç ö ø ÷ n 的展开式有９项,则自然数 n的值为 (　　) A．７　　 B．８　 　C．９　　 D．１０ ２．在(１－２x)３ 的展开式中,x的系数为 (　　) A．－２ B．２ C．－６ D．６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 ３．已知(x－２)５＝a０＋a１(x－１)＋a２(x－ １)２＋􀆺＋a５(x－１)５,则a０＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．３２ ４．在 x２－１x æ è ç ö ø ÷ ９ 的二项式展开式中,常数 项是 (　　) A．５０４ B．－８４ C．８４ D．－５０４ ５．x＋１x æ è ç ö ø ÷ １０ 的展开式中系数最大的项是 (　　) A．第５项 B．第６项 C．第５项、第６项 D．第６项、第７项 ６．若(１＋３x)n 的展开式中各项系数的和为 ２５６,则n的值为 (　　) A．１０ B．８ C．６ D．４ ７．已知二项式 x－１x æ è ç ö ø ÷ n 展开式的二项式系 数和为６４,则展开式中常数项为 (　　) A．－１２０ B．－２０ C．１５ D．２０ ８．在 ３x－２x æ è ç ö ø ÷ n 的二项展开式中,所有项的 二项式系数之和为２５６,则所有项的系数 和等于　　　　． ９．已知(２＋x)n＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋ anxn,若a０＋a１＋a２＋􀆺＋an＝８１,则自 然数n等于　　　 　． １０．已知二项式 x＋ １ ２ x æ è ç ö ø ÷ n (n∈N∗)的展开式 中第四项与第七项的二项式系数相等,则 展开式中常数项为　　　　　 　． １１．已知(１－２x)n＝a０＋a１x＋a２x２＋a３x３ ＋􀆺＋anxn(n∈N∗ ),该展开式二项式 系数和为３２． (１)求n的值; (２)求a０＋a１＋a２＋􀆺＋an 的值． １２．已知 ax２＋ x æ è ç ö ø ÷ n (n∈N∗)的展开式中前 ３项的二项式系数之和等于２９． (１)求n的值; (２)若 展 开 式 中 x 的 一 次 项 的 系 数 为５６,求实数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 数学的魔力 乌斯克曾痴狂迷恋一个漂亮的女孩子,在无数次被拒绝后绝望,定下了自杀的日 期,决定在午夜钟声响起的时候,告别这个世界,不过在自杀的当天,由于他的效率极 高,在处理完其他所有事情后,还没到午夜,剩下的几个小时,他就跑到了图书馆,随便 地翻起了数学书． 很快,被库默尔解释柯西等前人证明费马大定理为什么失败的一篇论文吸引,那是 一篇伟大的论文,但他竟然发现了库默尔证明的一个漏洞,一直到黎明,他做出了这个 证明,他自己也骄傲不止,于是一切皆成烟云． 􀅰９３􀅰 (3)可先排丙、丁有A{}种排法,则甲、乙只有一 9.解析:令x-1,则(2+1)-3”-a。+a+a。十...十a。 种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有 -81,所以n-4. 答案:4 10.解析:由题意得C-C. 假期作业17 所以n-9, 1.B[因为() ##(#)## 的展开式共有n十1项,所以; 的展开式的通项公式为 +1-9,所以n-8. _,_C”一~()-()””, 2.C [由题意知:展开式中含x的项为C·(-2x) --6x,故x的系数为一6.] 3.A [令x=1,则(1-2)=a。+a(1-1)+a(1 所以常数项为T,一(1){。##1 -1)+..+a(1-1)-a=-1.] 答案 4.C [根据二项展开式的通项公式T,= C"(r})-"(-x1)“-(-1)“C”x18-, 11.解:(1)由题意,结合二项式系数的性质可得, 令18-3m-0,解得m-6. 2”-32,解得n-5. '常数项为T.-(-1)C-84.] (2)在展开式中令x=1,得-1-a。十a,十a。十 3[#{)# ..十a。. 5.B 的展开式的通项为T.一 即a。+a+a十.十a.=-1. C-”,知展开式中系数最大的项即二项式 12.解:(1)由题设,C+C+C=29,整理得 系数最大的项,即C”。最大,所以m一5,即第6 n+n-56-0,解得n--8(含)或n-7 项的系数最大,] (2)由(1)知:二项式展开式通项为T一 6.D设(l+3r)'=a+ar十ar十..十ax” C"(ax-*)“x--{-"C”-14+, 令x-1,得(1+3)*-4=a。+a+a。+..+a 当m一6时为含x的项,故7a一56,解得a-8. -256,解得n-4.] 假期作业18 7.B [根据题意可得2”-64,解得n=6. 1.C [由随机变量的分布列的性质知0.15十 #()# 展开式的通项为T=C^{x-m 0.35+m+0.25-1,解得m=0.25.] 2.B [X一3表示选出的4个代表中有3个男生1 个女生,则P(X-3)- -3. 3.D [由随机变量服从正态分布N(n,o),可得 所以常数项为,C(-{}-C_{} 正态曲线的对称轴为x一, 6×5×4-20.] 因为P( c)=P(>c),所以c=u] 3×2×1 4.D [分布列中出现的所有的概率之和等于 8.解析.(#2)# 的二项式系数和为2”一256. 1,0.3+n+0.4-1,m-0.3, '.随机变量的数学期望E()-1×0.3+3× 可得n-8, ##以#_#){# 0.3+5×0.4-3.2.] 的所有项的系数和为(1一2)* 5.D [因为随机变量~B(4.2). -1. 所以P(-3)-×(3){#(1-)-32 答案:1 .71·