假期作业16 计数原理、排列与组合-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

(２)若z在复平面内对应的点在第二象限, 则 ２a＋１－a＜０ a－１＞０{ ,解得a＞１＋ ２． １２．解:∵α,β 为实系数一元二次方程ax ２＋bx＋c ＝０的两个虚根, x＝－b± ４ac－b ２i ２a ,不妨设α＝m＋ni(m,n∈ R),则β＝m－ni, α２ β ＝α ３ αβ ,α ２ β ∈R,则α３∈R, 即m３－３mn２＋(３m２n－n３)i∈R, ∴３m２n＝n３,∵n≠０,∴n２＝３m２, 即４ac－b２＝３b２,化简ac＝b２, ∴x＝－b± ３bi２a ,若α＝－b＋ ３bi２a , 则β＝ －b－ ３bi ２a ,α β ＝－１２－ ３ ２i , 若α＝－b－ ３bi２a , 则β＝ －b＋ ３bi ２a ,α β ＝－１２＋ ３ ２i , 综上所述,α β ＝－１２± ３ ２i． 假期作业１６ １．C　[根据题意可得从 书 架 上 任 取 １ 本 书,有 ４种＋３种＋２种＝９种不同的取法．] ２．B　[由分步计数原理可知,从甲地到丙地的不 同的走法种数为２×３＝６．] ３．B　[ A３７ C４６ ＝ A３７ C２６ ＝７×６×５６×５ ２ ＝１４．] ４．B　[甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最 前面,则只需对剩下３人全排即可,则不同的排 法共有 A３３＝３×２×１＝６．] ５．B　[因为备有４种荤菜,８种素菜,２种汤,所以 荤菜有４种选法,素菜有８种选法,汤菜有２种 选法,所以要配成一荤一素一汤的套餐,可以配 制出不同的套餐有４×８×２＝６４种．] ６．B　[当乙、丙中有一人在A 社区时有 C１２C１３C２２＝ ６种安排方 法;当 乙、丙 两 人 都 在 B 社 区 时 有 C１３C２２＝３种安排方法,所以共有９种不同的安排 方法．] ７．D　[先从３个偶数中选出１个,再从３个奇数 中选出２个,先选后排,共有 C１３C２３A３３＝３×３×６ ＝５４(个)．] ８．解析:由题意可得该市的有线电视可接收１２＋８ ＋４０＝６０个频道,而其中３个频道播放１个节 目,其余５７个频道互不相同,则可选看５７＋１＝ ５８个节目． 答案:５８ ９．解析:若１男２女,则有C１３C２５＝３０, 若２男１女,则有C２３C１５＝１５, 合计３０＋１５＝４５． 答案:４５ １０．解析:若未位为０,则可组成 A４６ 个满足题意的 五位数;若末位为５,则可组成 A１５A３５ 个满足题 意的五位数,∴共可组成满足题意的五位数有 A４６＋A１５A３５＝６６０个． 答案:６６０ １１．解:用１,２,３,４,５,６表示广告的播放顺序,则 完成这件事有３类方法． 第１类,宣传广告与公益广告的播放顺序是２, ４,６．分６步完成这件事,共有３×３×２×２× １×１＝３６种不同的播放方式; 第２类,宣传广告与公益广告的播放顺序是１, ４,６．分６步完成这件事,共有３×３×２×２× １×１＝３６种不同的播放方式; 第３类,宣传广告与公益广告的播放顺序是１, ３,６．同样分６步完成这件事,共有３×３×２× ２×１×１＝３６种不同的播放方式, 由分类加法计数原理,得６个广告不同的播放 方式共有３６＋３６＋３６＝１０８种． １２．解:(１)法一:直接排,要分甲排在排尾和甲既 不排在排头也不排在排尾两种情况． 若甲排在排尾共有 A１１A３３＝６种排法． 若甲既不在排头也不在排尾共有 A１２A１２A２２＝８ 种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共 有 A１１A３３＋A１２A１２A２２＝１４(种)． 法二:也可间接计算:A４４－２A３３＋A２２＝１４(种)． (２)可考虑直接排法:甲有３种排法;若甲排在 第二位,则乙有３种排法;甲、乙排好后,丙、丁 只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的 所有排法共有３×３×１＝９(种)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 (３)可先排丙、丁有 A２４ 种排法,则甲、乙只有一 种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有 A２４×１＝１２(种),或看作定序问题 A４４ A２２ ＝１２(种)． 假期作业１７ １．B　[因为 x＋２x２ æ è ç ö ø ÷ n 的展开式共有n＋１项,所以n ＋１＝９,所以n＝８．] ２．C　[由题意知:展开式中含x的项为C１３􀅰(－２x) ＝－６x,故x的系数为－６．] ３．A　[令x＝１,则(１－２)５＝a０＋a１(１－１)＋a２(１ －１)２＋􀆺＋a５(１－１)５＝a０＝－１．] ４．C　[根据二项展开式的通项公式Tm＋１＝ Cm９(x２)９－m(－x－１)m＝(－１)mCm９x１８－３m, 令１８－３m＝０,解得m＝６, ∴常数项为T７＝(－１)６C６９＝８４．] ５．B　[由 x＋１x æ è ç ö ø ÷ １０ 的 展 开 式 的 通 项 为 Tm＋１＝ Cm１０x１０－２m,知展开式中系数最大的项即二项式 系数最大的项,即 Cm１０最大,所以 m＝５,即第６ 项的系数最大．] ６．D　[设(１＋３x)n＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋anxn, 令x＝１,得(１＋３)n＝４n＝a０＋a１＋a２＋􀆺＋an ＝２５６,解得n＝４．] ７．B　[根据题意可得２n＝６４,解得n＝６, 则 x－１x æ è ç ö ø ÷ ６ 展 开 式 的 通 项 为 Tm＋１ ＝Cm６x６－m －１x æ è ç ö ø ÷ m ＝(－１)mCm６x６－２m．令６－２m＝０,得 m ＝３, 所以常数项为T４＝C３６x６－３ － １ x æ è ç ö ø ÷ ３ ＝－C３６ ＝－６×５×４３×２×１＝－２０． ] ８．解析: ３ x－２x æ è ç ö ø ÷ n 的二项式系数和为２n＝２５６, 可得n＝８, 所以 ３ x－２x æ è ç ö ø ÷ ８ 的所有项的系数和为(１－２)８ ＝１． 答案:１ ９．解析:令x＝１,则(２＋１)n＝３n＝a０＋a１＋a２＋􀆺＋an ＝８１,所以n＝４． 答案:４ １０．解析:由题意得C３n＝C６n, 所以n＝９, 二项 式 x＋ １ ２ x æ è ç ö ø ÷ ９ 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tm＋１＝Cm９x９－m １ ２x －１２æ è ç ö ø ÷ m ＝ １２ æ è ç ö ø ÷ m Cm９x９－ ３ ２m, 令９－３２m＝０ ,得m＝６, 所以常数项为T７＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ６ C６９＝ ２１ １６． 答案:２１ １６ １１．解:(１)由题意,结合二项式系数的性质可得, ２n＝３２,解得n＝５． (２)在展开式中令x＝１,得－１＝a０＋a１＋a２＋ 􀆺＋an, 即a０＋a１＋a２＋􀆺＋an＝－１． １２．解:(１)由题设,C０n＋C１n＋C２n＝２９,整理得 n２＋n－５６＝０,解得n＝－８(舍)或n＝７． (２)由(１)知:二项式展开式通项为Tm＋１＝ Cm７(ax－２)７－mx m ２ ＝a７－mCm７x－１４＋ ５m ２ , 当m＝６时为含x的项,故７a＝５６,解得a＝８． 假期作业１８ １．C　[由 随 机 变 量 的 分 布 列 的 性 质 知 ０．１５＋ ０．３５＋m＋０．２５＝１,解得m＝０．２５．] ２．B　[X＝３表示选出的４个代表中有３个男生１ 个女生,则P(X＝３)＝ C３５C１３ C４８ ＝３７． ] ３．D　[由随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ),可得 正态曲线的对称轴为x＝μ, 因为P(ξ≤c)＝P(ξ＞c),所以c＝μ．] ４．D　[分 布 列 中 出 现 的 所 有 的 概 率 之 和 等 于 １,０．３＋m＋０．４＝１,m＝０．３, ∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝１×０．３＋３× ０．３＋５×０．４＝３．２．] ５．D　[因为随机变量ξ~B ４, ２ ３ æ è ç ö ø ÷, 所以P(ξ＝３)＝C ３ ４× ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ × １－２３ æ è ç ö ø ÷＝３２８１． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 　　 　　　　　假期作业１６　计数原理、排列与组合 ●[每日一语]　别和往事过不去,因为它已经过去;别和现实过不去,因为你还要过下去． １．分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基本形式 一般形式 分 类 加 法 计 数 原 理 完成一件事有 两 类 不 同 方 案, 在第１类方案 中 有 m 种 不 同的方法, 在第２类方案 中有n种不同 的方法, 那么完成这件 事共有 N＝m＋n 种 不同的方法． 完成一件事有n类 不同方案, 在第１类方案中有 m１ 种不同的方法, 在第２类方案中有 m２ 种不同的方法, 􀆺, 在第n类方案中有 mn 种不同的方法,那 么完成这件事共有 N＝m１ ＋m２ ＋ 􀆺 ＋mn 种不同的方 法． 分 步 乘 法 计 数 原 理 完成一件事需 要两个步骤, 做第１步有m 种不同的方法, 做第２步有n 种不同的方法, 那么完成这件 事共有 N＝m ×n 种不同的 方法． 完成一件事需要n 个步骤, 做第１步有 m１ 种 不同的方法, 做第２步有 m２ 种 不同的方法, 􀆺, 做第n步有mn 种 不同的方法,那么 完成这件事共有N ＝m１×m２×􀆺× mn 种不同的方法． ２．排列与排列数 (１)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素,并按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m 个元素 的一个排列． (２)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同排列的个数,叫做从n个 不同元素中取出m 个元素的排列数,用 符号 Amn 表示． (３)排列数公式的两种形式 ① Amn＝n(n－１)(n－２)􀆺(n－m＋１),其 中m,n∈N∗ ,并且m≤n． ②Amn＝ n! (n－m)!． (４)全排列:把n个不同的元素全部取出的 一个排列,叫做n 个元素的一个全排 列,全排列数为 Ann＝n! (叫做n 的阶 乘)．规定:０! ＝１． ３．组合及组合数的定义 (１)组合 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素作为一组,叫做从n个不同元 素中取出m 个元素的一个组合． (２)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数,叫做从n个 不同元素中取出m 个元素的组合数,用 符号Cmn 表示． (３)排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序,组合问 题中元素无序 关系 组合数Cmn 与排列数 Amn 间存 在的关系:Amn＝CmnAmm (４)组合数公式 组 合 数 公 式 乘积 形式 Cmn＝ n(n－１)(n－２)􀆺(n－m＋１) m! , 其中m,n∈N∗,并且m≤n 阶乘 形式 Cmn ＝ n! m! (n－m)! 规定:C０n＝１． (５)组合数的性质 性质１:Cmn＝Cn－mn ． 性质２:Cmn＋１＝Cmn＋Cm－１n ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 １．书架的第１层放有４本不同的计算机书, 第２层放有３本不同的动漫书,第３层放 有２本不同的地理书,从书架上任取１本 书,不同的取法总数为 (　　) A．１０　　 B．２４　 　C．９ 　　D．１２ ２．从甲地到乙地有３种走法,从乙地到丙 地有２种走法,若从甲地到达丙地必须 经过乙地,则从甲地到丙地的不同走法 的种数为 (　　) A．５ B．６ C．８ D．１２ ３．计算 A３７ C４６ 的结果是 (　　) A．２８ B．１４ C．１４３ D． ７ ３ ４．甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在 最前面,则不同的排法有 (　　) A．２４种 B．６种 C．４种 D．１２种 ５．某大学食堂备有 ４ 种荤菜、８ 种素菜、 ２种汤,现要配成一荤一素一汤的套餐, 则可以配成不同套餐的种数为 (　　) A．１４ B．６４ C．７２ D．８０ ６．６名同学安排到３个社区A,B,C参加志 愿者服务,每个社区安排两名同学,其中 甲同学必须到A 社区,乙和丙同学均不 能到C社区,则不同的安排方法种数为 (　　) A．１２ B．９ C．６ D．５ ７．从１,２,３,４,５,６六个数字中,选出一个偶数 和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位 数,这样的三位数共有 (　　) A．９个 B．２４个 C．３６个 D．５４个 ８．某市的有线电视可以接收中央台１２个 频道,本地台８个频道和其他省市４０个 频道的节目．若有３个频道正在转播同 一个节目,其余频道正在播放互不相同 的节目,则一台电视可以选看的不同节 目共有　　　个． ９．某班从３名男同学和５名女同学中,选取３ 人参加学校的“创文知识”竞赛,要求男女生 都有,则不同的选法共有　　　　 　种． １０．用数字０,１,２,３,４,５,６组成　　　　 个没有重复数字并且是５的倍数的五 位数． １１．某电视台连续播放６个广告,其中有３ 个商业广告、２个宣传广告和１个公益 广告,要求最后播放的不能是商业广 告,宣传广告与公益广告不能连续播 放,２个宣传广告也不能连续播放,则有 多少种不同的播放方式? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 １２．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别 计算满足下列条件的排法种数: (１)甲不在排头、乙不在排尾; (２)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不 在第三位、丁不在第四位; (３)甲一定在乙的右端(可以不相邻)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 　 悖论问题 　　我正与同学讨论一悖论问题:村里唯一的理发师每月一定要给自己不理发的人理 发,问理发师的头谁理? 真难! 若是理发师自己理发,就是给自己理发的人理发,若是 理发师自己不理发,就是不给自己不理发的人理发,好深奥啊! 讨论半天毫无结果． 　　后排同学钱某插过来一句话:这还不简单,理发师秃头呗! 􀅰７３􀅰