假期作业15 复数-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　 　　　　　　　　假期作业１５　复数 ●[每日一语]　我们总以为是生活欠我们一个满意,其实,是我们欠生活一个努力． １．复数的有关概念 (１)复数的定义:形如a＋bi(a,b∈R)的数 叫做复数,其中a是实部,b是虚部,i为 虚数单位． (２)复数的分类: 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 实数(b＝０), 虚数(b≠０)(当a＝０时为纯虚数)．{ (３)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R) (４)共轭复数 a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c,b ＝－d(a,b,c,d∈R)． (５)复数的模 向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或 绝对值．记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝ |a＋bi|＝ a２＋b２(a,b∈R) ２．复数的几何意义 (１)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 一一对应 　􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑 复平 面内的点Z(a,b)． (２)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 一一对应 　􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑 平面 向量OZ→． ３．复数的四则运算 复数的加、减、乘、除运算法则: 设z１＝a＋bi,z２＝c＋di(a,b,c,d∈R), 则①加法:z１＋z２＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i; ②减法:z１－z２＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a －c)＋(b－d)i; ③乘法:z１􀅰z２＝(a＋bi)􀅰(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad＋bc)i; ④除法: z１ z２ ＝a＋bic＋di＝ (a＋bi)(c－di) (c＋di)(c－di) ＝ac＋bd c２＋d２ ＋bc－ad c２＋d２ i(c＋di≠０)． 如图给出的平行四边形OZ１ZZ２ 可以直 观地反映出复数加、减法的几何意义,即 OZ→＝OZ１→＋OZ２→,Z１Z２→＝OZ２→－OZ１→ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知i为虚数单位,则复数z＝１－i的虚 部是 (　　) A．－１　　 B．１　　 C．i　 　D．－i ２．复数z＝３＋４i对应的点Z关于原点的对 称点为Z１,则对应的向量OZ→１ 为 (　　) A．－３－４i B．４＋３i C．－４－３i D．－３＋４i ３．若复数z＝ １１＋i (i为虚数单位),则􀭵z＝ (　　) A．１＋i２ B． １－i ２ C．１－i D．１＋i ４．复数z＝４－５i(其中i为虚数单位),则 |z＋２i|＝ (　　) A．７ B．５ C．７ D．２５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 ５．当２５＜m＜１ 时,复数m(５＋i)－(２＋i)在 复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ６．已知i为虚数单位,复数z＝１＋i１＋２i ,则z 的共轭复数􀭵z 在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ７．设b、c∈R,若２－i(i为虚数单位)是一元 二次方程x２＋bx＋c＝０的一个虚根,则 (　　) A．b＝４,c＝５ B．b＝４,c＝３ C．b＝－４,c＝５ D．b＝－４,c＝３ ８．给出下列命题:①任意两个复数都不能 比较大小;②若z＝a＋bi(a,b∈R),则当 且仅当a＝０且b＝０时,z＝０;③若z１,z２ ∈C,且z２１＋z２２＝０,则z１＝z２＝０;④若 x＋yi＝１＋i(x,y∈C),则x＝y＝１．其 中,　　　　是假命题．(填序号) ９．已知复数z１＝a２－３－i,z２＝－２a＋a２i,若 z１＋z２是纯虚数,则实数a＝　　　　． １０．已知|z|＝４,且z＋２i是实数,则复数 z＝　　　　． １１．已知复数x＝ ２a＋１＋ai(a∈R),z＝x－ |x|＋(１－i)． (１)若z为纯虚数,求a的值; (２)若z在复平面内对应的点在第二象 限,求a的取值范围． １２．已知α,β是实系数一元二次方程ax ２＋ bx＋c＝０的两个虚根,且α ２ β ∈R,求α β 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 　 巧对对联 　　宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试,他们到达试院时为时已晚,考官 说:“我出一联,你们若对得上,我就让你们进考场．”考官的上联是:一叶孤舟,坐了二三 个学子,启用四桨五帆,经过六滩七湾,历尽八颠九簸,可叹十分来迟． 苏东坡对出的下联是:十年寒窗,进了九八家书院,抛却七情六欲,苦读五经四书, 考了三番两次,今日一定要中．考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中,将读 书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致． 􀅰４３􀅰 由于E,G 分别是PC,BC 的中点, 所以EG 是三 角 形PBC 的 中 位 线,所 以 EG ∥PB, 由于 EG⊄平面 PAB,PB⊂平面 PAB,所以 EG∥平面PAB． 由于EF∩EG＝E,EF,EG⊂平面EFG,所以 平面PAB//平面EFG． １２．解析:(１)因为 PA⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,所以PA⊥BD,因为PA＝AD＝２,BD ＝２ ２,底面 ABCD 是矩形,所以由勾股定理 得:AB＝ BD２－AD２＝２,所以底面ABCD 是 正方形,所以AC⊥BD,又因为PA∩AC＝A, PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC． (２)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD,又因为CD⊥AD,PA∩AD＝ A,PA,AD ⊂ 平 面 PAD,所 以 CD ⊥ 平 面 PAD,因为 PD⊂平面 PAD,所以CD⊥PD, 又因为CD⊥AD,所以∠PDA 是平面PCD 和 平面ABCD 的夹角,由于PA＝AD,∠PAD＝ ９０°,所以∠PDA＝４５°,所以cos∠PDA＝ ２２ , 所以平面 PCD 与平面ABCD 的夹角余弦值 为 ２ ２． 假期作业１５ １．A　[１－i的虚部是－１．] ２．A　[∵复数z＝３＋４i对应的点Z(３,４)∴Z 关 于原点的对称点为Z１(－３,－４),对应的向量 OZ→１＝－３－４i．] ３．A　[∵z＝ １１＋i＝ １－i ２ ,∴􀭵z＝１＋i２ ． ] ４．B　[∵z＝４－５i,∴z＋２i＝４－３i,∴|z＋２i| ＝ ４２＋(－３)２＝５．] ５．D　[∵m(５＋i)－(２＋i)＝(５m－２)＋(m－１)i 且２ ５＜m＜１ ,∴５m－２＞０,m－１＜０, 因此,复数m(５＋i)－(２＋i)在复平面内对应的 点位于第四象限．] ６．A　[z＝１＋i１＋２i＝ (１＋i)(１－２i) (１＋２i)(１－２i)＝ １－２i２－i １－４i２ ＝３－i５ ＝ ３ ５－ １ ５i ,􀭵z＝３５＋ １ ５i ,所以􀭵z在复平面 内对应的点的坐标为 ３ ５ ,１ ５ æ è ç ö ø ÷,所以􀭵z在复平面 内对应的点位于第一象限．] ７．C　[因 为 ２－i是 实 系 数 一 元 二 次 方 程x２＋ bx＋c＝０的一个虚根,则该方程的另一个虚根 为２＋i, 由韦达定理可得 (２－i)＋(２＋i)＝－b (２－i)(２＋i)＝c{ , 所以 b＝－４ c＝５{ ．] ８．解析:对①,当两复数均为实数时,可比较大小, 故①错误;②显然正确;对③,若z１＝i,z２＝１,则 满足z２１＋z２２＝０,但z１≠z２,故③错误;对④,若x ＝i,y＝－i,则x＋yi＝１＋i,但x≠y,故④错 误．故假命题为①③④． 答案:①③④ ９．解析:由条件知z１＋z２＝a２－２a－３＋(a２－１)i, 又因为z１＋z２ 是纯虚数, 所以a２－２a－３＝０,且a２－１≠０,解得a＝３． 答案:３ １０．解析:因为z＋２i是实数,可设z＝a－２i(a∈ R),由|z|＝４,得a２＋４＝１６, 所以a２＝１２,所以a＝±２ ３, 所以z＝±２ ３－２i． 答案:±２ ３－２i １１．解:由x＝ ２a＋１＋ai, 得|x|＝ (２a＋１)２＋a２＝|a＋１|, ∵２a＋１≥０,∴a≥－１２ , ∴a＋１≥１２．∴|x|＝a＋１． ∴z＝ ２a＋１＋ai－(a＋１)＋(１－i) ＝(２a＋１－a)＋(a－１)i． (１)若z为纯虚数,则 ２a＋１－a＝０ a－１≠０{ , 解得a＝１＋ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 (２)若z在复平面内对应的点在第二象限, 则 ２a＋１－a＜０ a－１＞０{ ,解得a＞１＋ ２． １２．解:∵α,β 为实系数一元二次方程ax ２＋bx＋c ＝０的两个虚根, x＝－b± ４ac－b ２i ２a ,不妨设α＝m＋ni(m,n∈ R),则β＝m－ni, α２ β ＝α ３ αβ ,α ２ β ∈R,则α３∈R, 即m３－３mn２＋(３m２n－n３)i∈R, ∴３m２n＝n３,∵n≠０,∴n２＝３m２, 即４ac－b２＝３b２,化简ac＝b２, ∴x＝－b± ３bi２a ,若α＝－b＋ ３bi２a , 则β＝ －b－ ３bi ２a ,α β ＝－１２－ ３ ２i , 若α＝－b－ ３bi２a , 则β＝ －b＋ ３bi ２a ,α β ＝－１２＋ ３ ２i , 综上所述,α β ＝－１２± ３ ２i． 假期作业１６ １．C　[根据题意可得从 书 架 上 任 取 １ 本 书,有 ４种＋３种＋２种＝９种不同的取法．] ２．B　[由分步计数原理可知,从甲地到丙地的不 同的走法种数为２×３＝６．] ３．B　[ A３７ C４６ ＝ A３７ C２６ ＝７×６×５６×５ ２ ＝１４．] ４．B　[甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最 前面,则只需对剩下３人全排即可,则不同的排 法共有 A３３＝３×２×１＝６．] ５．B　[因为备有４种荤菜,８种素菜,２种汤,所以 荤菜有４种选法,素菜有８种选法,汤菜有２种 选法,所以要配成一荤一素一汤的套餐,可以配 制出不同的套餐有４×８×２＝６４种．] ６．B　[当乙、丙中有一人在A 社区时有 C１２C１３C２２＝ ６种安排方 法;当 乙、丙 两 人 都 在 B 社 区 时 有 C１３C２２＝３种安排方法,所以共有９种不同的安排 方法．] ７．D　[先从３个偶数中选出１个,再从３个奇数 中选出２个,先选后排,共有 C１３C２３A３３＝３×３×６ ＝５４(个)．] ８．解析:由题意可得该市的有线电视可接收１２＋８ ＋４０＝６０个频道,而其中３个频道播放１个节 目,其余５７个频道互不相同,则可选看５７＋１＝ ５８个节目． 答案:５８ ９．解析:若１男２女,则有C１３C２５＝３０, 若２男１女,则有C２３C１５＝１５, 合计３０＋１５＝４５． 答案:４５ １０．解析:若未位为０,则可组成 A４６ 个满足题意的 五位数;若末位为５,则可组成 A１５A３５ 个满足题 意的五位数,∴共可组成满足题意的五位数有 A４６＋A１５A３５＝６６０个． 答案:６６０ １１．解:用１,２,３,４,５,６表示广告的播放顺序,则 完成这件事有３类方法． 第１类,宣传广告与公益广告的播放顺序是２, ４,６．分６步完成这件事,共有３×３×２×２× １×１＝３６种不同的播放方式; 第２类,宣传广告与公益广告的播放顺序是１, ４,６．分６步完成这件事,共有３×３×２×２× １×１＝３６种不同的播放方式; 第３类,宣传广告与公益广告的播放顺序是１, ３,６．同样分６步完成这件事,共有３×３×２× ２×１×１＝３６种不同的播放方式, 由分类加法计数原理,得６个广告不同的播放 方式共有３６＋３６＋３６＝１０８种． １２．解:(１)法一:直接排,要分甲排在排尾和甲既 不排在排头也不排在排尾两种情况． 若甲排在排尾共有 A１１A３３＝６种排法． 若甲既不在排头也不在排尾共有 A１２A１２A２２＝８ 种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共 有 A１１A３３＋A１２A１２A２２＝１４(种)． 法二:也可间接计算:A４４－２A３３＋A２２＝１４(种)． (２)可考虑直接排法:甲有３种排法;若甲排在 第二位,则乙有３种排法;甲、乙排好后,丙、丁 只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的 所有排法共有３×３×１＝９(种)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰