假期作业14 平面与平面的位置关系-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　 　　　　　假期作业１４　平面与平面的位置关系 ●[每日一语]　不要抱怨人生起点太低,因为每天都是一个新的起点． １．两个平面之间的位置关系 (１)两个平面平行———没有公共点; (２)两个平面相交———有一条公共直线． ２．平面与平面位置关系的图形表示和符号 表示 位置关系 图形表示 符号表示 公共点情况 两个平 面平行 α∥β 没有公共点 两个平 面相交 α∩β＝a 有一条公 共直线 ３．平面与平面平行的判定定理 (１)文字语言:一个平面内的两条相交直线 与另一个平面平行,则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) (２)符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,且a∥α,b ∥α⇒β∥α． (３)图形: ４．平面与平面平行的性质定理 (１)文字语言:如果两个平行平面同时和第 三个平面相交,那么它们的交线平行 (２)符号语言:α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b． (３)图形: ５．二面角的概念 (１)定义:从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形． (２)相关概念:①这条直线叫做二面角的 棱,②两个半平面叫做二面角的面． (３)画法: (４)记法:二面角αＧlＧβ 或αＧABＧβ 或PＧlＧQ 或PＧABＧQ． (５)二面角的平面角:若有①O∈l;②OA⊂α, OB⊂β; ③OA⊥l,OB⊥l,则二面角αＧlＧβ 的平面角 是∠AOB． ６．平面与平面垂直概念 (１)定义:一般地,两个平面相交,如果它们 所成的二面角是直二面角,就说这两个 平面互相垂直． (２)图形语言: (３)符号语言:α⊥β． ７．平面与平面垂直的判定定理 (１)文字语言:如果一个平面过另一个平面 的垂线,那么这两个平面垂直 (２)图形语言: (３)符号语言:l⊥α,l⊂β⇒α⊥β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 ８．平面与平面垂直的性质定理 (１)文字语言:两个平面垂直,如果一个平 面内有一直线垂直于这两个平面的交线, 那么这条直线与另一个平面垂直 (２)图形语言: (３)符号语言: α⊥β α∩β＝l a⊂α a⊥l ü þ ý ï ï ï ï ïï ⇒a⊥β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平面α∥平面β,直线l∥α,则 (　　) A．l∥β　　　　　　B．l⊂β C．l∥β或l⊂β D．l,β相交 ２．六棱柱ABCDEF－A１B１C１D１E１F１ 的底 面是正六边形,则此六棱柱的面中互相 平行的有 (　　) A．１对 B．２对 C．３对 D．４对 ３．空间四边形ABCD 中,若AD⊥BC,AD ⊥BD,,那么有 (　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC ４．已知直线l及两个不重合的平面α,β,下 列命题正确的是 (　　) A．若α⊥β,l⊂β,则l⊥α B．若l∥α,l⊂β,则α∥β C．若α∥β,l⊂α,则l∥β D．若α∩β＝l,且β内有无数条直线与l 垂直,则α⊥β ５．下列说法: ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角; ②二面角的平面角是从棱上一点出发, 分别在两个面内作射线所成的角; ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱 上的位置有关系． 其中正确的个数是 (　　) A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ６．已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为 两个不重合的平面． ①a∥c,b∥c⇒a//b;　②a∥β,b∥β⇒a ∥b;　③a∥c,c∥α⇒a∥α;　④a∥β,a ∥α⇒α∥β;　⑤a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α． 其中正确的命题是 (　　) A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ ７．长方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AB＝２, AD＝AA１＝１,则二面角C１ＧABＧC 为 (　　) A．π３ B． ２π ３ C． ３π ４ D． π ４ ８．如图,在正方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,与 平 面 ABCD 平行的平面是　 　　　　　． ９．如图,在直二面角αＧABＧβ 中,AC 和BD 分别在平面α和β内,它们都垂直于AB, 且 AB＝４,AC＝６,BD＝８,则 CD＝ 　　　． １０．如图,在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 所 有经过四个顶点的平面中,垂直于平面 ABC１D１ 的平面有　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 １１．如图,在四棱锥PＧABCD 中,E,F,G 分 别是PC,PD,BC 的中点,DC//AB,求 证:平面PAB∥平面EFG． １２．如图,棱锥 PＧABCD 的底面ABCD 是 矩形,PA⊥平面ABCD,PA＝AD＝２, BD＝２ ２． (１)求证:BD⊥平面PAC; (２)求平面PCD 和平面ABCD 夹角的 余弦值的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 高斯的“数学作业” 　　在哥廷根大学时,高斯有一次上课迟到,走进教室后,发现教师不在,只有黑板上写 着几道题,高斯以为这些题目是今天的作业题,便把题目记下来,当天晚上,他花了一整 夜时间去研究这些数学题,但没想到的是,这些题目都异乎寻常地难,高斯钻研到天亮, 也只解决了其中的一道题． 第二天,他很沮丧地找到老师,把发生的事情都告诉了他,对没有完成作业表示自 责,他的老师却异常震惊:“这些可都是数学史上著名的难题啊! 你竟然只花一个晚上 就解决了一道!”高斯解决的这道难题,正是当初困扰了数学家两千年之久的正十七边 形尺规作图问题．而那一年,高斯只有１９岁． 􀅰２３􀅰 假期作业１４ １．C　[因为平面α∥平面β,直线l∥α, 所以直线l可能和平面β 平行,也可能在平面 β内．] ２．D　[由于六棱柱 ABCDEF －A１B１C１D１E１F１ 的底面是 正六边形,所以上下底面平 行,侧面有３对相互平行的 面,故有４对．] ３．D　[∵AD⊥BC,AD⊥BD, BC∩BD＝B,BC,BD⊂ 平 面BDC, ∴AD⊥平面BDC． 又∵AD⊂平面ADC, ∴平面ADC⊥平面DBC．] ４．C　[A 选项,如图１,满足α⊥β,l⊂β,但不满足l ⊥α,A 错误; 如图１,满足l∥α,l⊂β但不满足α∥β,B错误; 若α∥β,l⊂α,由面面平行的定义可知l∥β,C正 确;若β内这无数条直线均平行,则不能推出α ⊥β,D错误．] ５．A　[根据二面角的定义知①两个相交的半平面 所组成的图形叫做二面角,故错误; ②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在 两个面内作棱的垂线所成的角,故错误; ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位 置无关,故错误． 所以①②③都不正确．] ６．A　[对于①,由平行的传递性公理判断该命题 正确;对于②,由a∥β,b∥β,则a,b共面或异 面,故错误;对于③,由a∥c,c∥α,则a∥α或a ⊂α,故错误;对于④,由a∥β,a∥α,则α,β平行 或相交,故错误;对于⑤,由a⊄α,b⊂α,a∥b,根 据线面平行判定定理,可得a∥α,故正确．] ７．D　[由图可知 C１B ⊥AB,CB⊥AB,所 以∠C１BC 是二面角 C１ＧABＧC 的平面角, tan∠C１BC＝ C１C BC＝１ , 所以∠C１BC＝ π ４． ] ８．解析:在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中 根据正方体的性质,对面互相平行 所以与平面ABCD 平行的平面是A１B１C１D１ 答案:面A１B１C１D１ ９．解析:连 接 BC,在 直 二 面 角αＧABＧβ 中,BD⊥ AB,α∩β＝AB,BD⊂β, 所以BD⊥α,又因为BC⊂α,则BD⊥BC,又因 为AC⊥AB, 所 以,在 Rt△ABC、Rt△DBC 中 CD ＝ AC２＋AB２＋BD２＝２ ２９． 答案:２ ２９ １０．解析:连接面对角线,因 为 AB⊥ 平 面 BCC１B１, B１C⊂平面BCC１B, 所以AB⊥B１C, 又因为B１C⊥BC１,AB∩ BC１＝B,AB,BC１⊂平面ABC１D１, 所以B１C⊥平面ABC１D１, 因为B１C⊂平面A１B１CD, 所以平面A１B１CD⊥平面ABC１D１, 同理可知平面BCC１B１⊥平面 ABC１D１,平面 ADD１A１⊥平面ABC１D１． 答案:平面A１B１CD,平面BCC１B１,平面ADD１A１． １１．解析:由于E,F 分别是PC,PD 的中点, 所以 EF 是三角形PCD 的中位线,所以 EF ∥DC, 由于DC∥AB,所以EF∥AB, 由于EF⊄平面 PAB,AB⊂平面 PAB,所以 EF∥平面PAB． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 由于E,G 分别是PC,BC 的中点, 所以EG 是三 角 形PBC 的 中 位 线,所 以 EG ∥PB, 由于 EG⊄平面 PAB,PB⊂平面 PAB,所以 EG∥平面PAB． 由于EF∩EG＝E,EF,EG⊂平面EFG,所以 平面PAB//平面EFG． １２．解析:(１)因为 PA⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,所以PA⊥BD,因为PA＝AD＝２,BD ＝２ ２,底面 ABCD 是矩形,所以由勾股定理 得:AB＝ BD２－AD２＝２,所以底面ABCD 是 正方形,所以AC⊥BD,又因为PA∩AC＝A, PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC． (２)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以PA⊥CD,又因为CD⊥AD,PA∩AD＝ A,PA,AD ⊂ 平 面 PAD,所 以 CD ⊥ 平 面 PAD,因为 PD⊂平面 PAD,所以CD⊥PD, 又因为CD⊥AD,所以∠PDA 是平面PCD 和 平面ABCD 的夹角,由于PA＝AD,∠PAD＝ ９０°,所以∠PDA＝４５°,所以cos∠PDA＝ ２２ , 所以平面 PCD 与平面ABCD 的夹角余弦值 为 ２ ２． 假期作业１５ １．A　[１－i的虚部是－１．] ２．A　[∵复数z＝３＋４i对应的点Z(３,４)∴Z 关 于原点的对称点为Z１(－３,－４),对应的向量 OZ→１＝－３－４i．] ３．A　[∵z＝ １１＋i＝ １－i ２ ,∴􀭵z＝１＋i２ ． ] ４．B　[∵z＝４－５i,∴z＋２i＝４－３i,∴|z＋２i| ＝ ４２＋(－３)２＝５．] ５．D　[∵m(５＋i)－(２＋i)＝(５m－２)＋(m－１)i 且２ ５＜m＜１ ,∴５m－２＞０,m－１＜０, 因此,复数m(５＋i)－(２＋i)在复平面内对应的 点位于第四象限．] ６．A　[z＝１＋i１＋２i＝ (１＋i)(１－２i) (１＋２i)(１－２i)＝ １－２i２－i １－４i２ ＝３－i５ ＝ ３ ５－ １ ５i ,􀭵z＝３５＋ １ ５i ,所以􀭵z在复平面 内对应的点的坐标为 ３ ５ ,１ ５ æ è ç ö ø ÷,所以􀭵z在复平面 内对应的点位于第一象限．] ７．C　[因 为 ２－i是 实 系 数 一 元 二 次 方 程x２＋ bx＋c＝０的一个虚根,则该方程的另一个虚根 为２＋i, 由韦达定理可得 (２－i)＋(２＋i)＝－b (２－i)(２＋i)＝c{ , 所以 b＝－４ c＝５{ ．] ８．解析:对①,当两复数均为实数时,可比较大小, 故①错误;②显然正确;对③,若z１＝i,z２＝１,则 满足z２１＋z２２＝０,但z１≠z２,故③错误;对④,若x ＝i,y＝－i,则x＋yi＝１＋i,但x≠y,故④错 误．故假命题为①③④． 答案:①③④ ９．解析:由条件知z１＋z２＝a２－２a－３＋(a２－１)i, 又因为z１＋z２ 是纯虚数, 所以a２－２a－３＝０,且a２－１≠０,解得a＝３． 答案:３ １０．解析:因为z＋２i是实数,可设z＝a－２i(a∈ R),由|z|＝４,得a２＋４＝１６, 所以a２＝１２,所以a＝±２ ３, 所以z＝±２ ３－２i． 答案:±２ ３－２i １１．解:由x＝ ２a＋１＋ai, 得|x|＝ (２a＋１)２＋a２＝|a＋１|, ∵２a＋１≥０,∴a≥－１２ , ∴a＋１≥１２．∴|x|＝a＋１． ∴z＝ ２a＋１＋ai－(a＋１)＋(１－i) ＝(２a＋１－a)＋(a－１)i． (１)若z为纯虚数,则 ２a＋１－a＝０ a－１≠０{ , 解得a＝１＋ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰