假期作业13 直线与平面的位置关系-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　　　　　　假期作业１３　直线与平面的位置关系 ●[每日一语]　心里最崇拜谁,不必变成那个人,而是用那个人的精神和方法,去变成你自己． １．直线与平面的位置关系 (１)直线在平面内———有无数个公共点; (２)直线与平面相交———有且只有一个公 共点; (３)直线与平面平行———没有公共点． 当直线与平面相交或平行时,直线不在 平面内,也称为直线在平面外．直线a 在平面α外可用a⊄α来表示． ２．空间中直线与平面位置关系的符号表示 和图形表示 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a与 平面α 相 交 直 线 a 与 平 面 α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有 一个公共 点 没 有 公 共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 ３．线面平行的证明 直线与平面平行的判定定理 文字 语言 如果平面外的一条直线与这个 平面内的一条直线平行,那么这 条平面外直线与这个平面平行． 符号 语言 m⊄α,n⊂α,且m∥n,⇒m∥α． 图形 语言 直线与平面平行的性质定理 文字 语言 如果一条直线和一个平面平行, 那么经过这条直线的任一平面 和这个平面的交线与这条直线 平行． 符号 语言 m∥α,m⊆β,α∩β＝n⇒m//n 图形 语言 ４．线面垂直的定义 如果一条直线和一 个平面内的任何一 条直线都垂直,那 么称这条直线和这个平面互相垂直．这 条直线称为这个平面的垂线,这个平面 称为这条直线的垂面,直线与平面的交点 称为垂足．直线l与平面α垂直记作l⊥α． ５．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直,那么 该直线与此平面垂直 符号 语言 l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b＝ A⇒l⊥α 图形 语言 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 ６．直线与平面所成的角 (１)如果直线与平面相交但不垂直,就称直 线是平面的斜线．斜线与平面的交点称 为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作 平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称 为斜线在这个平面上的射影． (２)线面角的定义:平面的一条斜线和它在 平面上的射影所成的锐角． 规定:当直线在平面内或直线与平面平 行时,它与平面所成的角是０;当直线与 平面垂直时,它与平面所成的角为π ２． 于 是,直线与平面所成的角的范围为[０,π２ ]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α ∥β,则a与b (　　) A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行,也可能是异面直线 ２．在长方体ABCD－A１B１C１D１ 的六个面 中,与直线BB１ 垂直的面的个数有 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ３．若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α 相交,记所得的交线分别为a,b,c,􀆺,那 么这些交线的位置关系为 (　　) A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 ４．下列说法正确的是 (　　) A．如果两条平行线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面 B．垂直于同一平面的两直线不一定平行 C．过一点有无数条直线和一个平面垂直 D．过一点有两个平面和一条直线垂直 ５．如图所示,AB 是圆O 的 直径,C是异于A,B两点 的圆 周 上 的 任 意 一 点, PA垂直于圆O所在的平 面,则 △PAB,△PAC, △ABC,△PBC中,直角三角形的个数是 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ６．下列命题正确的是 (　　) A．一直线与平面平行,则它与平面内任 一直线平行 B．一直线与平面平行,则平面内有且只 有一条直线与已知直线平行 C．一直线与平面平行,则平面内有无数 直线与已知直线平行,它们在平面内 彼此平行 D．一直线与平面平行,则平面内任意直 线都与已知直线异面 ７．已 知 在 长 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,AB＝AD＝ １,AA１＝２,那么直线 A１C 与平面AA１D１D 所成角的 正弦值为 (　　) A．６６ B． ３５ ６ C． ３ ３ D． ６ ３ ８．如图所示,已知 AF⊥ 平面 ABCD,DE⊥ 平 面 ABCD,且 AF ＝ DE,AD＝６,则 EF＝ 　　　　． ９．在正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,AB１ 与 平面ABCD 所成角的大小为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 １０．在 正 方 体 ABCD－A１B１C１D１ 中,过 A１,C１,B 三点的平面与底面ABCD 的 交线为l,则直线l与A１C１ 的位置关系 为　　　．(填“平行”“相交”或“异面”) １１．如图,四棱锥P－ABCD 的底面ABCD 为正方形,E 为PB 的中点．证明:PD ∥平面EAC． １２．已知四棱锥 P－ABCD 中,AB∥CD, AB⊥BC,AB＝PA＝４,BC＝CD＝２, PB＝２ ６,PD＝２ ２, (１)求证:AD⊥BP; (２)求直线PC与平面PBD 所成角的正 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 　 无理数的发现 　　古希腊有个毕达哥拉斯学派在数学研究上有很大成绩,不过该学派有一个信条:宇 宙间的一切数都能归结为整数或整数之比,但毕氏的一个门徒希伯索斯,在研究等腰直 角三角形斜边与一直角边之比时,发现其比不能用整数或整数之比表述,便很吃惊,但 这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的根基,所以被禁止传播． 但真理是封不住的,不管其他的毕氏门徒如何反对,希伯索斯还是与别人对无理数 进行了讨论,这样无理数也进入了人们的视野,闯入了数的圣地,使数的概念又扩展了 一步,无理数是稠密的,任何两个有理数之间,不管它们多么接近,都存在着无限多个无 理数,但他本人却因为违背学派而被抛入大海处死． 􀅰９２􀅰 ８．解析:平面是无限延展的,没有长度、厚度,通常 用平行四边形表示平面,但平面不是平行四边 形．题中只有③正确． 答案:１． ９．解析:若c∥b,因为c∥a,则a∥b,与已知a、b是 异面直线矛盾, 所以直线c与直线b不平行, 则当直线c与直线b 在同一平面时,则相交,当 直线c与直线b不在同一平面时,则异面, 答案:相交或异面． １０．解析:与直线 A１B 相交的有AB１,BC１,A１F, EF１,CD１ 与直线 A１B 平行的有DE１,剩余的 B１C,AF１,C１D,D１E,E１F 与直线A１B 异面, 共５条． 答案:５ １１．解析:(１)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、 CC′、DD′、D′C′、B′C′所 在 直 线 分 别 与 直 线 BA′是异面直线; (２)由 BB′∥CC′可 知,∠B′BA′为 异 面 直 线 BA′与CC′的夹角,∠B′BA′＝４５°,所以直线 BA′和CC′的夹角为４５°． １２．解析:(１)由图易得AB 与DD１ 异面; (２)由图易得D１E 与BC 异面; (３)连接D１G 与EB, 因为E,G 分别是棱AA１,CC１ 的中点, 所以A１E＝CG,由勾股定理得:D１E＝BG,BE ＝D１G, 故四边形D１EBG 为平行四边形,所以D１E 与 BG 共面; (４)连接D１C,EF, 因为E,F 分别是棱AA１,AB 的中点,所以EF ∥A１B, 又因为A１B∥D１C,所以EF∥D１C,所以D１E 与CF 共面． 假期作业１３ １．D　[α∥β,说明a与b 无公共点,∴a与b 可能 平行也可能是异面直线．] ２．B　 [如 图 所 示,仅 有 平 面 ABCD 和 平 面 A１B１C１D１ 与直线BB１ 垂直． ] ３．A　[由直线l∥平面α,过l作平面β 且α∩β＝ a,则l∥a,同理可知l∥b,l∥c,􀆺, ∴a∥b∥c∥􀆺,即交线均平行．] ４．A　[根据直线与平面垂直的性质定理与判定定 理知:选项B应是垂直于同一平面的两直线平 行;选项 C应是过一点有且只有一条直线和一 个平面垂直;选项 D 应是过一点有且只有一个 平面和一条直线垂直．故答案为 A．] ５．D　[∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB＝９０°,即 BC⊥AC． ∴△ABC 为直角三角形． 又∵PA⊥☉O 所在平面,AC,AB,BC 都在☉O 所在平面内, ∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,∴ △PAC、 △PAB 是直角三角形, 又∵PA∩AC＝A,PA⊥BC,AC⊥BC,且PA, AC⊂平面PAC,,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC,∴△PBC 是直 角三角形, 从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC 均为直角 三角形．] ６．C　[根据直线与平面平行的性质逐一判断即 可．一直线与平面平行,则它与平面内任一直线 平行或异面,故 A 不正确; 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已 知直线平行,它们在平面内彼此平行,故 C 正 确,B不正确; 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已 知直线平行或异面,故 D不正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 ７．A　[根据长方体性质知:CD⊥ 面AA１D１D, 故 ∠CA１D 为 A１C 与 平 面 AA１D１D 所成的角, AA１＝２,AB＝AD＝１⇒CA１＝ １２＋１２＋２２＝ ６, 所以sin∠CA１D＝ CD CA１ ＝ ６６． ] ８．解析:∵AF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD, 则AF//DE, 又∵AF＝DE,则四边形AFED 为平行四边形, ∴EF＝AD＝６． 答案:６． ９．解 析:由 于 BB１ ⊥ 平 面 ABCD,故 ∠BAB１ 即 为 AB１ 与 平 面 ABCD 所 成角, 因 为 BB１ ＝ AB,所 以 ∠BAB１＝ π ４ , 故AB１ 与平面ABCD 所成角为 π ４． 答案:π ４ １０．解析:根据正方体的性 质可知:A１C１∥AC, 由于A１C１⊄平面 ABＧ CD,AC⊂平面ABCD, 所以A１C１∥平面ABCD, 由于 平 面 A１C１B∩ 平 面ABCD＝l,A１C１⊂平面A１C１B,所以l∥A１C１． 答案:平行 １１．解析:连接BD,交AC 于O,连接EO, 因为底面 ABCD 为正方形,所以 O 为BD 的 中点, 因为E 为PB 的中点,所以EO 是△PBD 的中 位线,所以EO∥PD, 因为EO⊂平面EAC,PD⊄平面EAC, 所以PD∥平面EAC． １２．解析:(１)在梯形ABCD 中,AB⊥BC,AB＝４, BC＝CD＝２, 可算 得 AD＝ AB２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋BC２ ＝２ ２,BD＝ BC２＋CD２＝２ ２, 所以AD２＋BD２＝AB２,所以AD⊥BD, 在△PAD 中,PA＝４,PD＝AD＝２ ２,满足 PA２＝AD２＋PD２,所以AD⊥PD, 又因为 PD⊂平面 PBD,BD⊂平面 PBD,且 PD∩BD＝D, 所以 AD ⊥ 平 面 PBD,又 因 为 BP⊂ 平 面 PBD,所以AD⊥BP; (２)由(１)证明可知,AD⊥平面PBD,因为AD ⊂平面ABCD, 则平面PBD⊥平面ABCD,取BD 中点O,连 OP,OC, 因为BC＝CD,所以OC⊥BD,又因为OC⊂平 面ABCD,且平面PBD∩平面ABCD＝BD, 所以OC⊥平面PBD,所以∠OPC 就是PC 与 平面PBD 所成的角, 在△BCD 中,易得OC＝ ２, 在△PBD 中,PB＝２ ６,BD＝PD＝２ ２,则 cos∠PDB＝PD ２＋BD２－PB２ ２×PD×BD ＝ ８＋８－２４ ２×２ ２×２ ２ ＝ －１２ ∴OP２＝PD２＋DP２－２PD×DO×cos∠PDB ＝８＋２－２×２ ２× ２× －１２ æ è ç ö ø ÷＝１４,计算可 得OP＝ １４, 所以sin∠OPC＝OCPC＝ ２ １４＋２ ＝ ２４ , 所以直线 PC 与平面PBD 所成角的正弦 值 为 ２ ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰