假期作业12 平面的基本性质、空间中两条直线的位置关系-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　　假期作业１２　平面的基本性质、空间中两条直线的位置关系 ●[每日一语]　这世界谁也轻视不了谁,我们都被人鄙视着,也都被人仰望着． １．平面的基本性质 (１)平面的概念 几何中所说的“平面”,是从课桌面、黑 板面、平静的水面等这样的一些物体中 抽象出来的．类似于直线向两端无限延 伸,平面是向四周无限延展的． (２)平面的表示 平面通常用希腊字母α,β,γ等表示,如 平面α、平面β、平面γ等,也可以用代表 平面的平行四边形的四个顶点,或者相 对的两个顶点的大写英文字母作为这 个平面的名称．如平面ABCD、平面AC 或者平面BD,还可以用平面内不共线 的三点的字母表示,如平面ABC． (３)点、线、面关系的符号语言 考虑到直线和平面均可看作由无数个 点组成的点集,当点P 在直线l或平面 α内时,可分别表示为P∈l,P∈α．当点 P 不在直线l或不在平面α 内时,可分 别表为P∉l,P∉α． (４)公理１:如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平面内． (５)公理２:过不在一条直线上的三点,有且 只有一个平面． 推论①:经过一条直线和这条直线外一 点,有且只有一个平面; 推论②:经过两条相交直线,有且只有 一个平面; 推论③:经过两条平行直线,有且只有 一个平面; (６)公理３:如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线． ２．直线与直线的位置关系 (１)异面直线、共面直线 一般地,把不同在任何一个平面内的两 条直线称为异面直线;相交或平行的两 条直线称为共面直线． (２)平行直线 空间中平行于同一条直线的所有直线 都互相平行,这称为平行线的传递性． (３)空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有三种: ①相交直线:在同一平面内,有且只有一 个公共点． ②平行直线:在同一平面内,没有公共点． ③异面直线:不同在任何一个平面内,没 有公共点． (４)两条相交直线所形 成的最小正角称为 这两条相交直线所 成的角,如图所示．显然,θ∈(０,π２ ],并 且角θ及其对顶角均为这两条相交直线 所成的角． (５)异面直线判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线,与 平面内不经过该点的直线是异面直线． (６)异面直线所成的角 已知两条异面直线a 与b,如图(１)所 示．在空间上任取一点P,过点P 作a′ ∥a,b′∥b,得到两条相交直线a′和b′, 如图 (２)所示． 我们把相交直线a′与b′所成的角θ称为 异面直线a与b所成的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 １．在下列条件下,能确定一个平面的是 (　　) A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 ２．用符号表示“点A 不在直线m 上,直线m 在平面α内”,正确的是 (　　) A．A∉m,m⊂α　　B．A∉m,m∈α C．A⊄m,m⊂α　　D．A⊄m,m∈α ３．在下列命题中,不是公理的是 (　　) A．如果一条直线上的两点在一个平面 内,那么这条直线上所有的点都在此 平面内 B．经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面 C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行 D．如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们还有其它公共点,这些公 共点的集合是经过这个公共点的一条 直线 ４．自行车停放时将后轮旁边的撑子放下, 自行车就停稳了,这里用到了 (　　) A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．不共线的三点确定一个平面 D．三点确定一个平面 ５．在棱长为１的正四面体ABCD 中,直线 AD 与BC 是 (　　) A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 ６．如果两条直线m 与n 没有公共点,那么 m 与n (　　) A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行,也可能是异面直线 ７．在长方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AB＝ ３,AD＝ ３,AA１＝１,则AA１ 和BC１ 所 成的角是 (　　) A．６０°　　B．４５°　　C．３０°　　D．９０° ８．下列命题:①书桌面是平面;②有一个平 面的长是５０m,宽为２０m;③平面是绝对 平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数 学概念．其中正确命题的个数为　　　． ９．已知a、b是异面直线,直线c∥直线a,则 直线c与直线b的位置关系是　　　　 ． １０．如图,正六棱柱ABCDEF－A１B１C１D１E１F１ 的底面和顶面均为正六边形,侧棱均垂 直于底面和顶面．其６个侧面１２条面对 角线所在的直线中,与直线A１B 异面的 共有　　　　 　条． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 １１．如图,已知正方体 ABCD－A′B′C′D′ (１)哪些棱所在直 线与直线BA′是异 面直线? (２)直 线 BA′ 和 CC′的夹角是多少? １２．如图,正方体 ABＧ CD － A１B１C１D１ 中,点E,F,G 分别 是 棱 AA１,AB, CC１ 的中 点,判 断 下 列 直 线 的 位 置 关系: (１)AB 与DD１(２)D１E 与BC(３)D１E 与BG(４)D１E 与CF． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 关于０的故事 　　大约１５２０多年前,欧洲的数学家是不知道用“０”的,他们使用罗马数字．罗马数字 是用几个表示数的符号,按照一定规则,把它们组合起来表示不同的数．在这种数字的 运用里,不需要“０”这个数字． 而在当时,罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“０”这个符号．他发现,有了 “０”,进行数学运算方便极了,他非常高兴,还把印度人使用“０”的方法向大家做了介绍, 过了一段时间,这件事被当时的罗马教皇知道了,当时是欧洲的中世纪,教会的势力非 常大,罗马教皇的权利更是远远超过皇帝． 教皇非常恼怒,他斥责说,神圣的数是上帝创造的,在上帝创造的数里没有“０”这个 怪物,如今谁要把它给引进来,谁就是亵渎上帝! 于是,教皇就下令,把这位学者抓了起 来,并对他施加了酷刑,用夹子把他的十个手指头紧紧夹住,使他两手残废,让他再也不 能握笔写字,就这样,“０”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了． 但是,虽然“０”被禁止使用,然而罗马的数学家们还是不管禁令,在数学的研究中仍 然秘密地使用“０”,仍然用“０”做出了很多数学上的贡献,后来“０”终于在欧洲被广泛使 用,而罗马数字却逐渐被淘汰了． 􀅰６２􀅰 １０．解析:抛物线x２＝２y的准线方程为y＝－１２ , 过Q 作 准 线y＝－１２ 的 垂 线,垂 足 为 N,则 |QF|＝|QN|, 所以|MQ|＋|QF|＝|MQ|＋|QN|≥|MN| ＝６＋１２＝ １３ ２． 当且仅当 MQ 与准线垂直时,取 等号． 所以|MQ|＋|QF|的最小值为１３２． 答案:１３ ２． １１．解析:(１)抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点F 到其准线的距离为２,得p＝２, 所以抛物线C 的方程为y２＝４x,焦点坐标为 (１,０)． (２)过焦点F 且倾斜角为４５°的直线l的方程 为y＝x－１,设A(x１,y１),B(x２,y２) 联立方程组 y２＝４x y＝x－１{ 消去y 可得x ２－６x＋１ ＝０,则x１＋x２＝６, 所以|AB|＝x１＋x２＋p＝８． １２．解析:(１)抛物线y２＝２px(p＞０)的准线方程 为x＝－p２ ,依题意,－p２＝－１ ,解得p＝２, (２)由(１)知,抛物线标准方程为y２＝４x,设点 A(x１,y１),B(x２,y２), 由 y＝x－２ y２＝４x{ 消去y 得:x ２－８x＋４＝０,Δ＝８２ －４×４＝４８＞０,则x１＋x２＝８,x１x２＝４, 所以|AB|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２ ＝ (x１－x２)２＋(x１－x２)２ ＝ ２􀅰 (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ ２􀅰 ８２－４×４ ＝４ ６． 假期作业１２ １．D　[三点共线则不能确定一个平面,A 错误;若 点在直线上则不能确定一个平面,B错误;若两 线直线为异面直线,则不能确定一个平面,C错 误;梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的平 面上,可以确定一个平面,D正确．] ２．A　[由题意用符号表示“点A 不在直线m 上, 直线m 在平面α内”,即A∉m,m⊂α．] ３．C　[对于答案 A、B、D 分别是公理１、３、２;答案 C不是公理．] ４．C　[自行车的前后轮与脚撑分别接触地面,使 得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触 点不在同一条线上,即不共线的三点确定一个 平面．] ５．C　[作出正四面体ABCD,如图, 因为BC⊂平面BCD,D∈平面BCD,D∉BC,A ∉平面BCD, 所以AD 与BC 是异面直线．] ６．D　[根据空间中两条直线的位置关系,可得如 果两条直线m 与n 没有公共点,那么m 与n 可 能平行,也可能是异面直线．] ７．A　[如图所示:易知BC１∥AD１, 所以AA１ 和BC１ 所成的角,即为 AA１ 和 AD１ 所成的角, 在 Rt△AA１D１ 中,tan∠A１AD＝ A１D１ AA１ ＝ ３,所 以∠A１AD１＝６０°． 即AA１ 和BC１ 所成的角是６０°．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 ８．解析:平面是无限延展的,没有长度、厚度,通常 用平行四边形表示平面,但平面不是平行四边 形．题中只有③正确． 答案:１． ９．解析:若c∥b,因为c∥a,则a∥b,与已知a、b是 异面直线矛盾, 所以直线c与直线b不平行, 则当直线c与直线b 在同一平面时,则相交,当 直线c与直线b不在同一平面时,则异面, 答案:相交或异面． １０．解析:与直线 A１B 相交的有AB１,BC１,A１F, EF１,CD１ 与直线 A１B 平行的有DE１,剩余的 B１C,AF１,C１D,D１E,E１F 与直线A１B 异面, 共５条． 答案:５ １１．解析:(１)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、 CC′、DD′、D′C′、B′C′所 在 直 线 分 别 与 直 线 BA′是异面直线; (２)由 BB′∥CC′可 知,∠B′BA′为 异 面 直 线 BA′与CC′的夹角,∠B′BA′＝４５°,所以直线 BA′和CC′的夹角为４５°． １２．解析:(１)由图易得AB 与DD１ 异面; (２)由图易得D１E 与BC 异面; (３)连接D１G 与EB, 因为E,G 分别是棱AA１,CC１ 的中点, 所以A１E＝CG,由勾股定理得:D１E＝BG,BE ＝D１G, 故四边形D１EBG 为平行四边形,所以D１E 与 BG 共面; (４)连接D１C,EF, 因为E,F 分别是棱AA１,AB 的中点,所以EF ∥A１B, 又因为A１B∥D１C,所以EF∥D１C,所以D１E 与CF 共面． 假期作业１３ １．D　[α∥β,说明a与b 无公共点,∴a与b 可能 平行也可能是异面直线．] ２．B　 [如 图 所 示,仅 有 平 面 ABCD 和 平 面 A１B１C１D１ 与直线BB１ 垂直． ] ３．A　[由直线l∥平面α,过l作平面β 且α∩β＝ a,则l∥a,同理可知l∥b,l∥c,􀆺, ∴a∥b∥c∥􀆺,即交线均平行．] ４．A　[根据直线与平面垂直的性质定理与判定定 理知:选项B应是垂直于同一平面的两直线平 行;选项 C应是过一点有且只有一条直线和一 个平面垂直;选项 D 应是过一点有且只有一个 平面和一条直线垂直．故答案为 A．] ５．D　[∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB＝９０°,即 BC⊥AC． ∴△ABC 为直角三角形． 又∵PA⊥☉O 所在平面,AC,AB,BC 都在☉O 所在平面内, ∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,∴ △PAC、 △PAB 是直角三角形, 又∵PA∩AC＝A,PA⊥BC,AC⊥BC,且PA, AC⊂平面PAC,,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC,∴△PBC 是直 角三角形, 从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC 均为直角 三角形．] ６．C　[根据直线与平面平行的性质逐一判断即 可．一直线与平面平行,则它与平面内任一直线 平行或异面,故 A 不正确; 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已 知直线平行,它们在平面内彼此平行,故 C 正 确,B不正确; 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已 知直线平行或异面,故 D不正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰