假期作业7 平面向量的内积-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　　 　　　　　　假期作业７　平面向量的内积 ●[每日一语]　在天意时终会明白,有些热爱如若无法代替,那么有些坚强必将绝处逢生． １．向量的夹角 对于非零向量a和b,作OA→＝a,OB→＝b 称射线成的夹角为向量a和b的夹角,记 作‹a,b›,当a和b 同向时,‹a,b›＝０,当 a和b反向时,‹a,b›＝π,因此平面向量 夹角的范围为[０,π] ２．向量的内积 已知两个非零向量a 与b,我们把数量 |a||b|cosθ叫做a 与b 的内积(或数量 积),记作a􀅰b,即a􀅰b＝|a||b|cosθ,规 定:零向量与任一向量的数量积为０． ３．内积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ,则: ①a􀅰b＝b􀅰a;②(λa)b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰 (λb);③(a＋b)􀅰c＝a􀅰c＋b􀅰c． ４．内积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b 方向相同 的单位向量,θ是a与e的夹角,则 ①e􀅰a＝a􀅰e＝|a|cosθ．②a⊥b⇔a􀅰b ＝０．③当a与b 同向时,a􀅰b＝|a||b|; 当a与b反向时,a􀅰b＝－|a||b|． 特别地,a􀅰a＝|a|２ 或|a|＝ a􀅰a． ④cosθ＝ a 􀅰b |a||b| (|a||b|≠０)．⑤|a􀅰b| ≤|a||b|． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知向量|a|＝１,|b|＝２,且两向量夹角 为π ３ ,则a􀅰b＝ (　　) A．１　 　B．２　 　C．３　 　D．－ ３ ２．已知向量a􀅰b的夹角为５π６ ,且|a|＝１, |b|＝ ３,则(２a－b)􀅰(a＋b)＝ (　　) A．－１－ ３２ B． １ ２ C．７２ D．－ ５ ２ ３．有４个式子:①０􀅰a＝０;②０􀅰a＝０;③０ －AB→＝BA→;④|a􀅰b|＝|a||b|; 其中正确的个数为 (　　) A．４ B．３ C．２ D．１ ４．已知向量a,b的夹角为π３ ,a􀅰b＝３,|b| ＝２,则|a| (　　) A．２ B．３ C．６ D．１２ ５．已知单位向量a􀅰b满足a􀅰(b－a)＝ －１２ ,则a与b夹角的大小为 (　　) A．π６ B． π ４ C． ２π ３ D． π ３ ６．已知|a|＝１,|b|＝２,a 与b 的夹角为 ６０°,则|a＋b| (　　) A．７ B．７ C．３ D．２ ３ ７．在四边形ABCD 中,若AB→＋CD→＝０,且 |AB→－AD→|＝|AB→＋AD→|,则该四边形是 (　　) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 ８．当|a􀅰b|＝|a||b|时,向量a与b的位置 关系是　　　　． ９．平面向量a与b 的夹角为１２０°,a＝(２, ０),|b|＝１,则|２a＋b|＝　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 １０．已知|a|＝４,|b|＝１且(２a－３b)􀅰b＝３, 则向量a,b夹角的余弦值为　　　　． １１．已知|a|＝４,|b|＝５,a与b的夹角为θ． 满足下列条件时,分别求a与b的数量积． (１)a∥b;(２)a⊥b;(３)a与b 的夹角为 ３０°时． １２．已知|a|＝ ２,|b|＝１,且a－b与a＋２b 互相垂直,求证:a⊥b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 数学魔术家 　　１９８１年的一个夏日,在印度举行了心算比赛．表演者是印度的一位３７岁的妇女,她 的名字叫沙贡塔娜．当天,她要以惊人的心算能力与一台先进的电子计算机展开竞赛． 工作人员写出一个２０１位的大数,让求这个数的２３次方根．运算结果,沙贡塔娜只 用了５０秒钟就向观众报出了正确的答案．而计算机为了得出同样的答案,必须输入两 万条指令,再进行计算,花费的时间比沙贡塔娜要多得多． 这一奇闻,在国际上引起了轰动,沙贡塔娜被称为“数学魔术家”． 􀅰５１􀅰 假期作业６ １．A　[对于(１),温度与功没有方向,不是向量,故 (１)错误;对于(２),零向量的方向是任意的,故 (２)错误;对于(３),零向量的模为０,不是正数, 故(３)错误;对于(４),非零向量的单位向量的方 向有两个,故(４)错误;] ２．B　[对 A,单位向量模长相等方向不一定一致, 故 A 错误; 对B,零向量与任意非零向量共线,故 B 正确; 对C,平行向量即共线向量,故C错误; 对 D,零向量与它的相反向量相等,故 D错误．] ３．A　[因为相等向量是指长度相等且方向相同的 向量,O 为正六边形ABCDEF 的中心, DO→与OA→模相等且方向相同,所以是相等向量, 故 A 正确; EO→与OA→只是模相等的向量,故B错误; FO→与OA→只是模相等的向量,故C错误; CO→与OA→只是模相等的向量,故 D错误．] ４．B　[由长方体的结构特征,有CC１→＝BB１→, 则AB→－AD→＋CC１→＝DB→＋CC１→＝DB→＋BB１→＝DB１→．] ５．C　[AC→－BD→＋CD→－AB→＋BC→＝AC→＋CD→＋ DB→＋BA→＋BC→＝０＋BC→＝BC→．] ６．B　[由BD→＝DC→可 得D 为BC 边 中 点,如 图 所示: AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋１２BC →＝AB→＋１２ (AC→－ AB→)＝１２AB →＋１２AC →] ７．A　[∵M、P、Q 三点共线,则MP→与PQ→共线, ∴MP→＝λPQ→,即４e１＋２e２＝λ(２e１＋te２),得 ４＝２λ ２＝λt{ ,解得t＝１．] ８．解析:满足条件的向量有以下几类: 模长为２的向量有:AC→,CA→,BD→,DB→ 模长为３的向量有:AD→,DA→． 答案:AC→,CA→,BD→,DB→,AD→,DA→ ９．解析:OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋ ４３AB →＝OA→＋ ４ ３ (OB→－OA→)＝ － １３OA → ＋ ４３OB →,故 答 案 为 －１３OA →＋４３OB →． 答案:－１３OA →＋４３OB → １０．解析:因为a∥b,所以∃λ∈R,使得b＝λa 成 立,即ke１＋６e２＝３λe１－２λe２． 因为e２,e２ 不共线,所以 k＝３λ ６＝－２λ{ ,解得 λ＝－３ k＝－９{ ． 答案:－９． １１．解:(１)原式＝４a＋４b－３a＋３b－８a＝－７a ＋７b． (２)原式＝５a－４b＋c－６a＋４b－２c＝－a－c． (３)原式＝２３ (４a－３b＋１３b－ ３ ２a＋ ７ ４b )＝２３ (５ ２a－ １１ １２b )＝５３a－ １１ １８b． １２．解:因AB→＝－４a＋３b,BC→＝２a＋３b, 则OC→＝３２AC →＝３２ (AB→＋BC→)＝３２ [(－４a＋ ３b)＋(２a＋３b)]＝３２ (－２a＋６b)＝－３a＋９b, 所以OC→＝－３a＋９b． 假期作业７ １．A　[a􀅰b＝|a||b|cosπ３＝１×２× １ ２＝１． ] ２．D　[(２a－b)􀅰(a＋b)＝２|a|２＋|a|􀅰|b|cos５π６ －|b|２＝２＋１× ３× － ３２ æ è ç ö ø ÷－３＝－５２． ] ３．C　[由向量乘以实数仍然为向量,所以０􀅰a＝ ０,故①正确,②错误; 由AB→＋BA→＝AA→＝０,所 以０－AB→＝BA→,即 ③正确;由|a􀅰b|＝|a||b||cosθ|,得|a􀅰b|＝ |a||b|不一定成立,故④错误．] ４．B　[依题意,a􀅰b＝|a|􀅰|b|􀅰cosπ３＝|a|×２ ×１２＝|a|＝３． ] ５．D　[a􀅰(b－a)＝a􀅰b－a２＝ |a||b|cos‹a,b›－|a|２＝－１２ ,因为a,b为单 位向量,所以cos‹a,b›＝１２ ,因为‹a,b›∈[０, π],所以‹a,b›＝π３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 ６．A　[因为a􀅰b＝|a||b|cos６０°＝ １×２×１２＝１ , 所以|a＋b|＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ １＋２＋２２ ＝ ７．] ７．C　[因为|AB→－AD→|＝|AB→＋AD→|,则(AB→－ AD→)２＝(AB→＋AD→)２, 即AB→２ ＋AD→２ －２AB→ 􀅰AD→＝AB→２ ＋AD→２ ＋ ２AB→􀅰AD→,整理可得AB→􀅰AD→＝０, 易知AB→、AD→均为非零向量,则AB→⊥AD→, 因为AB→＋CD→＝０,则AB→∥CD→且|AB→|＝|CD→|, 所以四边形ABCD 为矩形．] ８．解析:设向量a与b 的夹角为θ,因为|a􀅰b|＝ |a||b||cosθ|,|a􀅰b|＝|a||b|, 所以|cosθ|＝１,此时θ＝０或π,所以向量a与b 的位置关系是共线． 答案:共线． ９．解析:|２a＋b|２＝４a２＋４a􀅰b＋b２＝４×４＋４|a| 􀅰|b|cos１２０°＋１＝１６－４＋１＝１３,所以|２a＋b| ＝ １３． 答案:１３ １０．解析:设向量a,b的夹角为θ,因为(２a－３b)􀅰b ＝２a􀅰b－３|b|２＝２×４×１×cosθ－３＝３,所 以cosθ＝３４． 答案:３ ４ １１．解:(１)当a∥b时,若a与b 同向,则θ＝０°,a􀅰 b＝|a||b|cos０°＝４×５＝２０． 若a与b反向,则θ＝１８０°,a􀅰b＝|a||b|cos１８０° ＝４×５×(－１)＝－２０． (２)a⊥b时,θ＝９０°,a􀅰b＝|a||b|cos９０°＝０． (３)当a与b的夹角为３０°时,a􀅰b＝|a||b|cos３０° ＝４×５× ３２＝１０ ３． １２．解析:证明:因为a－b与a＋２b互相垂直, 所以(a－b)􀅰(a＋２b)＝０,即a２＋a􀅰b－２b２ ＝０． 又因为a２＝|a|２＝２,b２＝|b|２＝１,所以a􀅰b ＝２b２－a２＝２×１－２＝０． 因为a,b是非零向量,所以a⊥b． 假期作业８ １．D　[由图象可得 A(２,２),B(１,１),所以AB→＝ (－１,－１)．] ２．D　[设D(x,y),则CD→＝(x,y－１),２AB→＝(２, －２), 根据CD→＝２AB→,得(x,y－１)＝(２,－２), 即 x＝２ y－１＝－２{ ,解得 x＝２ y＝－１{ ,所以点D 的坐标 为(２,－１)．] ３．B　[由题意知AB→＝(３,２),AC→＝(１,４),故BC→＝ AC→－AB→＝(１,４)－(３,２)＝(－２,２)．] ４．B　[a＋３b＝(２＋３x,７),a－b＝(２－x,－１),因 为(a＋３b)∥(a－b),所以(２＋３x)×(－１)＝ ７×(２－x),解得x＝４．] ５．D　[a＝(１,λ),b＋２a＝(１,－３),所以b＝(１, －３)－２(１,λ)＝(－１,－３－２λ), 因为a⊥b,所以a􀅰b＝－１×１－(３＋２λ)λ＝０, 解得λ＝－１或－１２． ] ６．B　[设a与b 的夹角为θ,因为a＝(１,２),|b| ＝２ ３,a􀅰b＝ －３,所 以 cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ －３ ３×２ ３ ＝－１２ , 因为０°≤θ≤１８０°,所以θ＝１２０°,即a与b 的夹 角是１２０°,故选:B．] ７．B　[由c∥b知:b＝λc且λ∈R,则 ２λ＝１ －４λ＝y{ ,可 得y＝－２,即b＝(１,－２),由a⊥b知:x－２＝ ０,可得x＝２,即a＝(２,１),所以a＋b＝(３,－１), 故|a＋b|＝ １０,故选:B．] ８．解析:因为向量a＝(t,４),b＝(１,t)且a∥b, 所以t×t－４×１＝０,解得t＝±２． 答案:±２ ９．解析:由a,b共线,则m２－４＝０,得m２＝４,即m ＝±２, 又a与b 方向相反,故m＝－２, 答案:－２ １０．解析:AD→＝AC→＋CD→＝(a,４)＋(－１,３)＝ (a－１,７),由 于AB→ ⊥AD→、AB→ ∥CD→,所 以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰