假期作业6 平面向量的概念及线性运算-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　　　　　假期作业６　平面向量的概念及线性运算 ●[每日一语]　缺乏明确的目标,一生将庸庸碌碌． １．向量的有关概念 (１)定义:既有大小又有方向的量叫做向 量,向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 长 度 (或 模)． (２)向量的模:向量AB→的大小,也就是向量 AB→的长度,记作|AB→|． ２．特殊向量 (１)零向量:长度为０的向量,其方向是任 意的． (２)单位向量:长度等于１个单位的向量． (３)平行向量:方向相同或相反的非零向 量．平行向量又叫共线向量．规定:０与 任一向量平行． (４)相等向量:长度相等且方向相同的向量． (５)相反向量:长度相等且方向相反的向量． ３．向量的线性运算 运 算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 加 法 求 两 个 向 量 和 的 运 算 三角形法则 平行四边形法 则 ①交换律a ＋b＝b＋a ②结合律 (a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 续表 减 法 求a与 b 的 相 反向量 －b 的 和的运 算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 a－b＝a＋ (－b) 数 乘 求实数 λ 与 向 量a 的 积的运 算 (１)|λa|＝|λ||a| (２)当 λ＞０ 时,λa 与a 的 方向 相 同;当 λ＜０时,λa 与 a 的 方 向 相 反; 当λ＝０时,λa ＝０ λ(μa)＝ (λμ)a (λ＋μ)a＝ λa＋μa λ(a＋b)＝ λa＋λb ４．向量共线定理 如果a＝λb(λ∈R),则a∥b;反之,如果a∥b 且b≠０,则一定存在唯一的实数λ,使a＝ λb．(口诀:数乘得平行,平行有数乘)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列说法正确的个数是 (　　) (１)温度、速度、位移、功这些物理量是向量; (２)零向量没有方向; (３)向量的模一定是正数; (４)非零向量的单位向量是唯一的． A．０　 　B．１　 　C．２　 　D．３ ２．下列命题正确的是 (　　) A．单位向量都相等 B．模为０的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 ３．如图,点O 为正六边形ABCDEF 的中 心,下列向量中,与OA→相等的是 (　　) A．DO→ B．EO→ C．FO→ D．CO→ ４．如图,在长方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 中, 化简AB→－AD→＋CC１→ ＝ (　　) A．BD１→ B．DB１→ C．AC１→ D．CA１→ ５．化简AC→－BD→＋CD→－AB→＋BC→得 (　　) A．０ B．DA→ C．BC→ D．AB→ ６．在△ABC中,BD→＝DC→,则AD→＝ (　　) A．１２AB →－１２AC → B．１２AB →＋１２AC → C．２AB→＋２AC→ D．２AB－AC→ ７．已知MP→＝４e１＋２e２,PQ→＝２e１＋te２ 若 M、P、Q 三点共线,则t＝ (　　) A．１　　B．２　　C．４　　D．－１ ８．如图所示,已知AD＝３,B,C 是线段AD 的两个三等分点,分别以图中各点为起 点和终点,模长度大于１的向量有　　 　　 　． ９．如 图 所 示,已 知 AP→＝４３AB →,则用 OA→,OB→ 表 示OP→ 为　　　　 　． １０．已知e１,e２ 不共线,向量a＝３e１－２e２,b ＝ke１＋６e２,且a∥b,则k＝　　 　． １１．计算: (１)４(a＋b)－３(a－b)－８a; (２)(５a－４b＋c)－２(３a－２b＋c); (３)２３ [(４a－３b)＋１３b－ １ ４ (６a－７b)]． １２．设AB→＝－４a＋３b,BC→＝２a＋３b,OC→＝ ３ ２AC →,若用a 与b 表示OC→,求OC→的表 达式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 　　 路程问题 　　两列火车在同一轨道上以每小时３０英里的速度相对而行．且相距１英里,这时栖 在一列火车前面的一只苍蝇以每小时６０英里的速度朝着另一列火车飞去,当它飞到另 一列火车上时,它又迅速地飞回来,它一直这样飞过去飞回来,直到两列火车不可避免 地发生碰撞,问这只苍蝇共飞了多少英里? 大多数人都是先计算出它每一次来回飞的路程,然后把这些结果累加起来,这涉及无穷 级数求和的问题,这样做并不难,但很麻烦、费时,实际上这里有一个技巧,首先计算出 两列火车要经过多长时间才能碰撞,很容易算出来是１分钟,而苍蝇每小时飞６０英里, 则１分钟飞１英里,这样我们便直接得出了答案,这启示我们要学会变换思维． 􀅰３１􀅰 假期作业６ １．A　[对于(１),温度与功没有方向,不是向量,故 (１)错误;对于(２),零向量的方向是任意的,故 (２)错误;对于(３),零向量的模为０,不是正数, 故(３)错误;对于(４),非零向量的单位向量的方 向有两个,故(４)错误;] ２．B　[对 A,单位向量模长相等方向不一定一致, 故 A 错误; 对B,零向量与任意非零向量共线,故 B 正确; 对C,平行向量即共线向量,故C错误; 对 D,零向量与它的相反向量相等,故 D错误．] ３．A　[因为相等向量是指长度相等且方向相同的 向量,O 为正六边形ABCDEF 的中心, DO→与OA→模相等且方向相同,所以是相等向量, 故 A 正确; EO→与OA→只是模相等的向量,故B错误; FO→与OA→只是模相等的向量,故C错误; CO→与OA→只是模相等的向量,故 D错误．] ４．B　[由长方体的结构特征,有CC１→＝BB１→, 则AB→－AD→＋CC１→＝DB→＋CC１→＝DB→＋BB１→＝DB１→．] ５．C　[AC→－BD→＋CD→－AB→＋BC→＝AC→＋CD→＋ DB→＋BA→＋BC→＝０＋BC→＝BC→．] ６．B　[由BD→＝DC→可 得D 为BC 边 中 点,如 图 所示: AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋１２BC →＝AB→＋１２ (AC→－ AB→)＝１２AB →＋１２AC →] ７．A　[∵M、P、Q 三点共线,则MP→与PQ→共线, ∴MP→＝λPQ→,即４e１＋２e２＝λ(２e１＋te２),得 ４＝２λ ２＝λt{ ,解得t＝１．] ８．解析:满足条件的向量有以下几类: 模长为２的向量有:AC→,CA→,BD→,DB→ 模长为３的向量有:AD→,DA→． 答案:AC→,CA→,BD→,DB→,AD→,DA→ ９．解析:OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋ ４３AB →＝OA→＋ ４ ３ (OB→－OA→)＝ － １３OA → ＋ ４３OB →,故 答 案 为 －１３OA →＋４３OB →． 答案:－１３OA →＋４３OB → １０．解析:因为a∥b,所以∃λ∈R,使得b＝λa 成 立,即ke１＋６e２＝３λe１－２λe２． 因为e２,e２ 不共线,所以 k＝３λ ６＝－２λ{ ,解得 λ＝－３ k＝－９{ ． 答案:－９． １１．解:(１)原式＝４a＋４b－３a＋３b－８a＝－７a ＋７b． (２)原式＝５a－４b＋c－６a＋４b－２c＝－a－c． (３)原式＝２３ (４a－３b＋１３b－ ３ ２a＋ ７ ４b )＝２３ (５ ２a－ １１ １２b )＝５３a－ １１ １８b． １２．解:因AB→＝－４a＋３b,BC→＝２a＋３b, 则OC→＝３２AC →＝３２ (AB→＋BC→)＝３２ [(－４a＋ ３b)＋(２a＋３b)]＝３２ (－２a＋６b)＝－３a＋９b, 所以OC→＝－３a＋９b． 假期作业７ １．A　[a􀅰b＝|a||b|cosπ３＝１×２× １ ２＝１． ] ２．D　[(２a－b)􀅰(a＋b)＝２|a|２＋|a|􀅰|b|cos５π６ －|b|２＝２＋１× ３× － ３２ æ è ç ö ø ÷－３＝－５２． ] ３．C　[由向量乘以实数仍然为向量,所以０􀅰a＝ ０,故①正确,②错误; 由AB→＋BA→＝AA→＝０,所 以０－AB→＝BA→,即 ③正确;由|a􀅰b|＝|a||b||cosθ|,得|a􀅰b|＝ |a||b|不一定成立,故④错误．] ４．B　[依题意,a􀅰b＝|a|􀅰|b|􀅰cosπ３＝|a|×２ ×１２＝|a|＝３． ] ５．D　[a􀅰(b－a)＝a􀅰b－a２＝ |a||b|cos‹a,b›－|a|２＝－１２ ,因为a,b为单 位向量,所以cos‹a,b›＝１２ ,因为‹a,b›∈[０, π],所以‹a,b›＝π３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰