假期作业5 等比数列、数列的应用-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

１２．解:(１)因为在等差数列{an}中,a２＋a５＝２a１＋ ５d＝２４,a１７＝a１＋１６d＝６６,解得d＝４,a１＝２, 所以a２０２４＝２＋２０２３×４＝８０９４． (２)由(１)得an＝２＋４(n－１)＝４n－２．令４n－２ ＝２０２４,得n＝２０２６４ ∉N ∗ ,故２０２４不为数列 {an}中的项． 假期作业５ １．A　[因为a１＝１, an＋１ an ＝ ３× １３ æ è ç ö ø ÷ n＋１ ３× １３ æ è ç ö ø ÷ n ＝ １ ３ ,所以 数列 {an}是 以 １ 为 首 项, １ ３ 为 公 比 的 等 比 数列．] ２．D　[因为a２a４＝(a１q)(a１q３)＝ １ ２×２＝１ , 所以a２ 与a４ 的等比中项是±１．] ３．C　[由等比数列求和公式得:S６＝ ３×(１－３６) １－３ ＝３２× (３６－１)＝１０９２．] ４．C　[根据题意可得a１＝S１＝１,a２＝S２－S１ ＝３－１＝２,故数列{an}的公比q＝ a２ a１ ＝２．] ５．B　[依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为 a１,a２,a３,则a１＋a２＋a３＝３a２＝１８０, 且a１－a３＝－２d＝３６, 解得a２＝６０,d＝－１８, 所以a１＝a２－d＝６０＋１８＝７８．] ６．D　[Sn 是等比数列{an}的前n项和, a３＝３,S３＝９, ∴当公比q＝１时,a１＝３,此时S３＝９满足题意, 当公比q≠１时, a１q２＝３ a１(１－q３) １－q ＝９ ì î í ïï ï , 解得 a１＝１２ q＝－１２ ì î í ïï ï ,∴首项a１ 的值为３或１２．] ７．C　[从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等 差数列{an},其公差为－２,前８项和S８＝６４, 设第n层的灯数为an,则由等差数列前n项和 公式得８a１＋ ８×７ ２ × (－２)＝６４, 解得a１＝１５,∴a４＝１５＋(４－１)×(－２)＝９．] ８．解析:因为a是２和４的等差中项,故a＝２＋４２ ＝３,正数b 是－２和－８的等比中项,故b＝ (－２)×(－８)＝４,所以ab＝３×４＝１２． 答案:１２ ９．解析:从下向上各层所放铅笔数依次为１,２,３, 􀆺,１２０,从下向上各层所放铅笔数是首项为１, 公差为１的等差数列,所以共放了铅笔１＋２＋３ ＋􀆺＋１２０＝１２０× (１＋１２０) ２ ＝７２６０ (支)． 答案:７２６０ １０．解析:等比数列{an}中,若a１＝３,an＝４８,故公 比不为 １,则 Sn ＝ a１－anq １－q ＝ ３－４８q １－q ＝９３⇒q ＝２． 答案:２ １１．解:由题意可知:设这三个数为aq ,a,aq, ∵三个数成等比数列,它们的积等于８,它们的 和等于－３, ∴ a q×a×aq＝８ , a q＋a＋aq＝－３ , ì î í ï ï ï ï 解得a＝２,q＝－２或a＝２,q＝－１２ , ∴这三个数分别为－１,２,－４或－４,２,－１． １２．解:(１)设{an}的公比为q(q＞１),且a２＋a４＝ ２０,a３＝８．则 a１q＋a１q３＝２０, a１q２＝８．{ 消去a１,得q＋ １ q＝ ５ ２ ,则q＝２,或q＝１２ (舍)． 因为q＝２,a１＝２, 所以{an}的通项公式an＝２n． (２)易知(－１)n－１anan＋１＝(－１)n－１􀅰２２n＋１, 则数列{(－１)n－１２２n＋１}公比为－４． 故a１a２－a２a３＋􀆺＋(－１)n－１􀅰anan＋１ ＝２３－２５＋２７－２９＋􀆺＋(－１)n－１􀅰２２n＋１ ＝２ ３[１－(－４)n] １＋４ ＝ ８ ５ [１－(－４)n] ＝８５－ (－１)n􀅰２ ２n＋３ ５ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 　　 　　　　　假期作业５　等比数列、数列的应用 ●[每日一语]　不同的人,即使站在同一个地方,透过各自的人生,看到的风景也有所不同． １．等比数列的定义 当一个数列{an}从第 ２ 项起,每一项与 它前一项的比都等于同一个非零常数 时,就称这个数列为等比数列． 这个常数称为等比数列的公比,通常用 字母q表示． 可知:an＋１ an ＝q,则an＋１＝anq． ２．等比数列{an}的通项公式 an＝a１qn－１(其中a１,与q均不为０) [注意]在等比数列中,任意一项和公比 都不能为０． ３．等比数列的前n项和公式 Sn＝ na１,q＝１ a１－anq １－q ,q≠１ ì î í ï ï ïï ;Sn＝ na１,q＝１ a１(１－qn) １－q ,q≠１ ì î í ï ï ï ï ． ４．等比数列的应用 (１)已知三个数成等比数列,一般可以将这 三个数 设 为an－１,an,an＋１,其 中a２n ＝ an－１an＋１． (２)贷款一般采用复利,含义是将前期的本 金及利息的和(简称本利和)作为后一 期的本金来计算利息,俗称“利滚利”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知数列{an}的通项公式为an＝３× １ ３ æ è ç ö ø ÷ n ,则数列{an}是 (　　) A．以１为首项,１３ 为公比的等比数列 B．以３为首项,１３ 为公比的等比数列 C．以１为首项,３为公比的等比数列 D．以３为首项,３为公比的等比数列 ２．在等比数列{an}中,a１＝ １ ４ ,q＝２,则a２ 与a４ 的等比中项是 (　　) A．－１　　B．１　　C．２　　D．±１ ３．已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公 比为３,若a１＝３,则S６＝ (　　) A．３６４ B．３６９ C．１０９２ D．１０９４ ４．等比数列{an}的前n项和Sn＝２n－１,则 数列{an}的公比为 (　　) A．１２ B． １ ３ C．２ D．３ ５．我国明代珠算家程大位的名著«直指算 法统宗»中有如下问题:“今有白米一百 八十石,令三人从上及和减率分之,只云 甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意 思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙 三人来分,他们分得的白米数构成等差 数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么 三人各分得多少白米?”请问甲应该分得 白米为 (　　) A．９６石 B．７８石 C．６０石 D．４２石 ６．设Sn 是等比数列{an}的前n项和,a３＝３, S３＝９,则首项a１＝ (　　) A．－１２ B．１２ C．１或－１２ D．３ 或１２ ７．«九章算术类比大全»是中国古代数学名 著,其中许多数学问题是以诗歌的形式 呈现的．某老师根据其中的“宝塔装灯” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 编写了一道数学题目:一座塔共有８层, 从第２层起,每层悬挂的灯数都比前一 层少２盏,已知塔上总共悬挂６４盏灯,则 第４层悬挂的灯数为 (　　) A．５ B．７ C．９ D．１１ ８．已知a是２和４的等差中项,正数b是－２ 和－８的等比中项,则ab＝　　　　　． ９．一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放 １支铅笔,往上每一层都比它下面一层多 放１支,最上面一层放了１２０支,这个V 形架上共放了　　　支铅笔． １０．等比数列{an}中,若a１ ＝３,an ＝４８, Sn＝９３,则q＝　　　． １１．三个数成等比数列,它们的积等于８,它 们的和等于－３,求这三个数． １２．已知公比大于１的等比数列{an}满足 a２＋a４＝２０,a３＝８． (１)求{an}的通项公式; (２)求a１a２－a２a３＋ 􀆺 ＋(－１)n－１ 􀅰 anan＋１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 数学家的幽默 一名统计学家遇到一位数学家,统计学家调侃数学家说道:你们不是说若X＝Y 且 Y＝Z,则X＝Z吗! 那么想必你若是喜欢一个女孩,那么那个女孩喜欢的男生你也会喜 欢啰? 数学家想了一下反问道:那么你把左手放到一锅一百度的开水中,右手放到一锅零 度的冰水里想来也没事吧! 因为它们平均不过是五十度而已! 􀅰１１􀅰