假期作业4 数列的概念，等差数列-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　 　　　　　假期作业４　数列的概念、等差数列 ●[每日一语]　不要站在现在的高度,去判定未来的事情,因为未来的你是会成长的,会有 新的判断和选择． １．数列的概念 按照一定次序排成的一列数称为数列; 数列中的每一个数称为这个数列的项． 从开始的项起,从左至右排序,各项按照 其序号依次称为数列的第１项 (或首项),第２项,第３项,􀆺,第n项,􀆺． ２．数列的分类 有穷数列:项数有限的数列; 无穷数列:项数无限的数列． ３．数列的表示 一 般 形 式 为 a１,a２,􀆺,an,􀆺,简 记 为{an}． 通常把第n项称为数列的通项公式或第 n 项．一个数列的第n项an 如果能够用 关于n 的一个式子来表示,那么这个式 子就称为这个数列的通项公式． ４．等差数列的定义 当一个数列从第二项起,每一项与它前 一项的差都等于同一个常数时,就称这 个数列为等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差,一般用 字母d表示． 可知:an＋１－an＝d,则an＋１＝an＋d． ２．等差数列的通项公式 an＝a１＋(n－１)d． [注意]　等差数列的通项公式中,可以 把an 看作n 的函数． ３．等差数列的前n项和公式 Sn＝ n(a１＋an) ２ ;Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已 知 数 列 １,３,５,７,３,１１,􀆺, ２n－１,􀆺,则７是这个数列的 (　　) A．第２１项　　　B．第２３项 C．第２５项 D．第２７项 ２．等差数列３,１１,１９,２７,􀆺的通项公式是 (　　) A．an＝８n＋５　　　　　B．an＝８n－５ C．an＝－８n－５ D．an＝－８n＋５ ３．在数列{an}中,a１＝１,an＋１＝３an－１,则 a４＝ (　　) A．５　　 B．６　　 C．１４　　 D．１５ ４．在等差数列{an}中,若a３＝５,a７＝１,则 S６＝ (　　) A．６０　　 B．５７ 　　C．３０ 　　D．２７ ５．在数列{an}中,已知an＋１＝an＋ １ an ,且 a１＝１,则a４＝ (　　) A．２ B．５２ C． ２９ １０ D．２９ ６．数列{an}中,an＋２＝an＋１－an,a１＝３,a２＝５, 则a４＝ (　　) A．－３ B．９ C．－５ D．１３ ７．某同学利用寒假进行网络平台勤工俭 学,共收入１２００元,第一天收入１０元, 之后由于技术熟练,从第２天起每天的 收入都比前一天多１０元,该同学一共进 行的天数是 (　　) A．１４ B．１５ C．１６ D．１７ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 ８．数列２３ ,－８９ ,２６ ２７ ,－８０８１ ,􀆺的一个通项公 式是　　　． ９．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a１ ＝２,S５＝３０,则公差d＝ 　　　． １０．在 等 差 数 列 {an}中,已 知 a１ ＝３, d＝－１,Sn＝－４,则n＝　　　． １１．已知数列{an}的前n项和Sn＝n２＋３n ＋２,判断{an}是否为等差数列． １２．在等差数列{an}中,a２＋a５＝２４,a１７＝６６． (１)求a２０２４的值; (２)２０２４是否为数列{an}中的项? 若 是,则为第几项? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 　　冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数学知识,因为球形使身体 的表面积最小,从而散发的热量也最少． 􀅰９􀅰 １１．解:(１)a２－b２＝ ２ac－c２ 变形为 a２＋c２－b２＝ ２ac, 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ２ ２ , 因为B∈(０,π),所以B＝π４． (２)因为cosC＝ ２１０ ,且C∈(０,π), 所以sinC＝ １－cos２C＝７ ２１０ 由正弦定理得 b sinB＝ c sinC ,即 ５ sinπ４ ＝ c ７ ２ １０ , 解得c＝７． １２．解:如图所示,设∠ACD＝α,∠CDB＝β． 在△CBD 中,由余弦定理的推论得cosβ＝ BD２＋CD２－CB２ ２BD􀅰CD ＝ ２０２＋２１２－３１２ ２×２０×２１ ＝－ １ ７ , ∴sinβ＝ １－cos ２ β＝ ４ ３ ７ ． ∴sinα＝sin(β－６０°)＝sinβcos６０°－cosβsin６０° ＝４ ３７ × １ ２－ － １ ７ æ è ç ö ø ÷× ３２＝ ５ ３ １４ ． 在△ACD 中,由正弦定理得 ２１sin６０°＝ AD sinα , ∴AD＝２１sinαsin６０°＝１５ (千米)． ∴这人还要再走１５千米可到达城A． 假期作业４ １．C　[因为数列的第n 项为 ２n－１,而７＝ ４９ ＝ ２×２５－１, 所以７是该数列的第２５项．] ２．B　[因为等差数列{an}的首项a１＝３,公差d＝ １１－３＝８, 所以通项公式为an＝a１＋(n－１)d＝３＋８(n－１) ＝８n－５．] ３．C　[由题意可得a２＝３a１－１＝２,a３＝３a２－１＝５, a４＝３a３－１＝１４．] ４．D　[依题意,设等差数列{an}的公差为d, 则 a１＋２d＝５ a１＋６d＝１{ ,解得 a１＝７ d＝－１{ , ∴S６＝６×７＋ ６×５ ２ × (－１)＝２７．] ５．C　[∵an＋１＝an＋ １ an ,a１＝１, ∴a２＝a１＋ １ a１ ＝１＋１＝２,a３＝２＋ １ ２＝ ５ ２ , a４＝ ５ ２＋ ２ ５＝ ２９ １０． ] ６．A　[由an＋２ ＝an＋１ －an,a１ ＝３,a２ ＝５,可 得 a３＝a２－a１＝２,a４＝a３－a２＝２－５＝－３．] ７．B　[记每天的收入为数列{an},则{an}为公差 为１０的等差数列,且a１＝１０, 则１０n＋n (n－１) ２ ×１０＝１２００ , 解得n＝１５或－１６(舍去), 故该同学一共进行的天数为１５天．] ８．解析:因为２＝３－１,８＝９－１＝３２－１, ２６＝２７－１＝３３－１,８０＝８１－１＝３４－１, 所以该 数 列 的 一 个 通 项 公 式 可 以 是 (－１)n＋１ 􀅰３ n－１ ３n ． 答案:(－１)n＋１􀅰３ n－１ ３n ９．解析:设等差数列{an}的公差为d, 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,a１＝２, 所以S５＝５×２＋１０d＝３０,所以公差d＝２． 答案:２ １０．解析:根据题意,Sn＝na１＋ n(n－１)d ２ ＝３n＋n (n－１) ２ × (－１)＝－１２n ２＋７２n＝－４ , 整理得n２－７n－８＝０,解得n＝８或n＝－１(舍去)． 答案:８ １１．解:当n＝１时,a１＝S１＝６;当n≥２时,an＝Sn －Sn－１＝(n２＋３n＋２)－[(n－１)２＋３(n－１)＋ ２]＝２n＋２,∵当n＝１时,a１＝６不满足上式, ∴an ＝ ６,n＝１, ２n＋２,n≥２．{ ∵a２ －a１ ≠a３ －a４, ∴{an}不是等差数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 １２．解:(１)因为在等差数列{an}中,a２＋a５＝２a１＋ ５d＝２４,a１７＝a１＋１６d＝６６,解得d＝４,a１＝２, 所以a２０２４＝２＋２０２３×４＝８０９４． (２)由(１)得an＝２＋４(n－１)＝４n－２．令４n－２ ＝２０２４,得n＝２０２６４ ∉N ∗ ,故２０２４不为数列 {an}中的项． 假期作业５ １．A　[因为a１＝１, an＋１ an ＝ ３× １３ æ è ç ö ø ÷ n＋１ ３× １３ æ è ç ö ø ÷ n ＝ １ ３ ,所以 数列 {an}是 以 １ 为 首 项, １ ３ 为 公 比 的 等 比 数列．] ２．D　[因为a２a４＝(a１q)(a１q３)＝ １ ２×２＝１ , 所以a２ 与a４ 的等比中项是±１．] ３．C　[由等比数列求和公式得:S６＝ ３×(１－３６) １－３ ＝３２× (３６－１)＝１０９２．] ４．C　[根据题意可得a１＝S１＝１,a２＝S２－S１ ＝３－１＝２,故数列{an}的公比q＝ a２ a１ ＝２．] ５．B　[依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为 a１,a２,a３,则a１＋a２＋a３＝３a２＝１８０, 且a１－a３＝－２d＝３６, 解得a２＝６０,d＝－１８, 所以a１＝a２－d＝６０＋１８＝７８．] ６．D　[Sn 是等比数列{an}的前n项和, a３＝３,S３＝９, ∴当公比q＝１时,a１＝３,此时S３＝９满足题意, 当公比q≠１时, a１q２＝３ a１(１－q３) １－q ＝９ ì î í ïï ï , 解得 a１＝１２ q＝－１２ ì î í ïï ï ,∴首项a１ 的值为３或１２．] ７．C　[从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等 差数列{an},其公差为－２,前８项和S８＝６４, 设第n层的灯数为an,则由等差数列前n项和 公式得８a１＋ ８×７ ２ × (－２)＝６４, 解得a１＝１５,∴a４＝１５＋(４－１)×(－２)＝９．] ８．解析:因为a是２和４的等差中项,故a＝２＋４２ ＝３,正数b 是－２和－８的等比中项,故b＝ (－２)×(－８)＝４,所以ab＝３×４＝１２． 答案:１２ ９．解析:从下向上各层所放铅笔数依次为１,２,３, 􀆺,１２０,从下向上各层所放铅笔数是首项为１, 公差为１的等差数列,所以共放了铅笔１＋２＋３ ＋􀆺＋１２０＝１２０× (１＋１２０) ２ ＝７２６０ (支)． 答案:７２６０ １０．解析:等比数列{an}中,若a１＝３,an＝４８,故公 比不为 １,则 Sn ＝ a１－anq １－q ＝ ３－４８q １－q ＝９３⇒q ＝２． 答案:２ １１．解:由题意可知:设这三个数为aq ,a,aq, ∵三个数成等比数列,它们的积等于８,它们的 和等于－３, ∴ a q×a×aq＝８ , a q＋a＋aq＝－３ , ì î í ï ï ï ï 解得a＝２,q＝－２或a＝２,q＝－１２ , ∴这三个数分别为－１,２,－４或－４,２,－１． １２．解:(１)设{an}的公比为q(q＞１),且a２＋a４＝ ２０,a３＝８．则 a１q＋a１q３＝２０, a１q２＝８．{ 消去a１,得q＋ １ q＝ ５ ２ ,则q＝２,或q＝１２ (舍)． 因为q＝２,a１＝２, 所以{an}的通项公式an＝２n． (２)易知(－１)n－１anan＋１＝(－１)n－１􀅰２２n＋１, 则数列{(－１)n－１２２n＋１}公比为－４． 故a１a２－a２a３＋􀆺＋(－１)n－１􀅰anan＋１ ＝２３－２５＋２７－２９＋􀆺＋(－１)n－１􀅰２２n＋１ ＝２ ３[１－(－４)n] １＋４ ＝ ８ ５ [１－(－４)n] ＝８５－ (－１)n􀅰２ ２n＋３ ５ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰