假期作业3 解三角形及其计算的应用-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

　　　　　假期作业３　解三角形及其计算的应用 ●[每日一语]　学习的本质,不在于记住哪些知识,而在于它触发了你的思考． １．余弦定理 ２．正弦定理 (１)基本公式:asinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R． (其中R 为△ABC外接圆的半径) (２)变形 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R ＝ a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝ a＋b sinA＋sinB ＝ a＋csinA＋sinC＝ b＋c sinB＋sinC． ３．三角形的面积公式 S△ABC＝ １ ２ah． S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２acsinB ＝１２bcsinA． ４．测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰 角 与 俯 角 在目标视线与水 平视线(两者在 同 一 铅 垂 平 面 内)所成的角中, 目标视线在水平 视线上方的叫做 仰角,目标视线 在水平视线下方 的叫做俯角 方 位 角 从某点的指正北 方向线起按顺时 针方向到目标方 向线之间的夹角 叫做方位角．方 位角θ的范围是 ０°≤θ＜３６０° 方 向 角 正北或正南方向 线与目标方向线 所成的锐角,通 常表达为北(南) 偏东(西)α 例:(１)北偏东α: (２)南偏西α: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在△ABC中,A＝３０°,C＝４５°,c＝ ２,则 a的值为 (　　) A．２　　　B．１　　　C．１２　　　D． ２ ２ ２．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是 a,b,c,若b２＋c２＝a２＋ ３bc,则角A 的大 小为 (　　) A．５π６ B． ２π ３ C． π ３ D． π ６ ３．已知在△ABC 中,AB＝４,AC＝３,cosA ＝１２ ,则△ABC的面积为 (　　) A．３ B．３ ３ C．６ D．６ ３ ４．某居民小区拟将一块三角形空地改造成 绿地．经测量,这块三角形空地的两边长 分别为３２m和６８m,它们的夹角是３０°． 已知改造费用为５０元/m２,那么,这块三 角形空地的改造费用为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 A．２７２００ ３元 B．５４４００ ３元 C．２７２００元 D．５４４００元 ５．若在△ABC中,２a􀅰cosB＝c,则三角形 的形状一定是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ６．某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环 境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视 为三条线段),想要用它们作为三角形的 三条高线制作一个三角形．经测量,其长 度分别为３cm,４cm,６cm,则 (　　) A．能作出一个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出以上三种三角形 ７．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b２－c２＝２a２,cosB＝－１４ ,则c a＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ８．已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,若 ３a＝２bsin(B＋C),则 B＝　　　　 　． ９．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆 的高度,如图所示,在操场上选择了C、D 两点,在C、D 处测得旗杆的仰角分别为 ４５°,３０°,在水平面上测得∠BCD＝１２０° 且C,D 间的距离为１５米,则旗杆的高度 为　　　　　米． １０．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若A＝π３ ,a＝ ３,则b２＋c２－ bc＝　　　 　． １１．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知a２－b２＝ ２ac－c２． (１)求B; (２)若b＝５,cosC＝ ２１０ ,求c． １２．某观测站在城 A 南偏西２０°方向的C 处,由城A 出发的一条公路,走向是南 偏东４０°,距C处３１千米的B 处有一人 正沿公路向城A 走去,走了２０千米后 到达D 处,此时C,D 间的距离为２１千 米,问这人还要走多少千米可到达城A? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 二十一世纪从哪年开始? 世纪是计算年代的单位,一百年为一个世纪． 第一世纪的起始年和末尾年,分别是公元１年和公元１００年．常见的错误是有人把 起始年当作是公元零点,这显然不符合逻辑和我们的习惯,因为在一般情况下,序数的 计算是从“１”开始的,而不是从“０”开始的．而正是这个理解上的错误,所以才导致了世 纪末尾年为公元９９年的错误认识,这也是错把１９９９年当作是二十世纪末尾年,错把 ２０００年当作是二十一世纪起始年的原因．因为公元计数是序数,所以应该从“１”开始,二 十一世纪的第一年是２００１年． 􀅰７􀅰 图象如图所示: (２)因为－１≤sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷≤１, 则y＝３sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷∈[－３,３], 故函数的值域为[－３,３],最小正周期为 T＝２π１ ２ ＝４π． １２．解:f(x)＝１２sin２x－ ３ ２cos２x＝sin２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 当２x－π３＝ π ２＋２kπ (k∈Z), 即x＝５π１２＋kπ (k∈Z)时,函数f(x)取最大值, 且最大值为１． 假期作业３ １．B　[在△ABC 中,A＝３０°,C＝４５°, c＝ ２, 由正弦定理可得 a sinA＝ c sinC ,即a＝ csinC 􀅰sinA ＝ ２sin４５° 􀅰sin３０°＝ ２ ２ ２ ×１２＝１． ] ２．D　[因为b２＋c２＝a２＋ ３bc, 所以由余弦定理可得cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３bc２bc＝ ３ ２ , 因为０＜A＜π,所以A＝π６． ] ３．B　[因为cosA＝１２ ,A 为△ABC 内角, 所以sinA＝ １－cos２A＝ ３２ , 所以S△ABC＝ １ ２AB×AC×sinA＝ １ ２×４×３× ３ ２ ＝３ ３．] ４．C　[由题意,三角形空 地 的 面 积 为 １２×３２× ６８×１２m ２＝５４４m２,∵改造费用为５０元/m２, ∴这 块 三 角 形 空 地 的 改 造 费 用 为 ５４４×５０ ＝２７２００元．] ５．B　[由２acosB＝c以及余弦定理得 ２a􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＝c , 化简得a＝b,所以三角形的形状一定是等腰三 角形．] ６．C　[设三条对应的底边边长分别为a,b,c,则有 ３a＝４b＝６c,三边之比为a∶b∶c＝４∶３∶２, 设最大边所对的角为α, 则cosα＝４＋９－１６２×２×３＝－ １ ４＜０ , 而α为三角形内角,故α为钝角,故三角形为钝 角三角形．] ７．B　[由b２－c２＝２a２,得cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝－a ２ ２ac＝ －a ２c＝－ １ ４ ,解得c a＝２． ] ８．解析:在锐角△ABC中,因为 ３a＝２bsin(B＋C), 所以由正弦定理可得 ３sinA＝２sinBsin(B＋C) ＝２sinBsinA, 因为sinA＞０,所以sinB＝ ３２ , 因为B∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,所以B＝π３． 答案:π ３ ９．解析:根据题图可设旗杆的高度为h, 所以BC＝ htan４５°＝h ,BD＝ htan３０°＝ ３h , 在△BCD 中,由余弦定理得 BD２＝BC２＋CD２－２BC􀅰CD􀅰cos１２０°, 即(３h)２＝h２＋１５２－２×h×１５× －１２ æ è ç ö ø ÷, 即２h２－１５h－２２５＝０, 解得h＝１５或h＝－７．５(舍去)． 答案:１５ １０．解析:因为A＝π３ ,a＝ ３, 所以由余弦定理a２＝b２＋c２－２bccosA, 可得b２＋c２－bc＝３． 答案:３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 １１．解:(１)a２－b２＝ ２ac－c２ 变形为 a２＋c２－b２＝ ２ac, 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ２ ２ , 因为B∈(０,π),所以B＝π４． (２)因为cosC＝ ２１０ ,且C∈(０,π), 所以sinC＝ １－cos２C＝７ ２１０ 由正弦定理得 b sinB＝ c sinC ,即 ５ sinπ４ ＝ c ７ ２ １０ , 解得c＝７． １２．解:如图所示,设∠ACD＝α,∠CDB＝β． 在△CBD 中,由余弦定理的推论得cosβ＝ BD２＋CD２－CB２ ２BD􀅰CD ＝ ２０２＋２１２－３１２ ２×２０×２１ ＝－ １ ７ , ∴sinβ＝ １－cos ２ β＝ ４ ３ ７ ． ∴sinα＝sin(β－６０°)＝sinβcos６０°－cosβsin６０° ＝４ ３７ × １ ２－ － １ ７ æ è ç ö ø ÷× ３２＝ ５ ３ １４ ． 在△ACD 中,由正弦定理得 ２１sin６０°＝ AD sinα , ∴AD＝２１sinαsin６０°＝１５ (千米)． ∴这人还要再走１５千米可到达城A． 假期作业４ １．C　[因为数列的第n 项为 ２n－１,而７＝ ４９ ＝ ２×２５－１, 所以７是该数列的第２５项．] ２．B　[因为等差数列{an}的首项a１＝３,公差d＝ １１－３＝８, 所以通项公式为an＝a１＋(n－１)d＝３＋８(n－１) ＝８n－５．] ３．C　[由题意可得a２＝３a１－１＝２,a３＝３a２－１＝５, a４＝３a３－１＝１４．] ４．D　[依题意,设等差数列{an}的公差为d, 则 a１＋２d＝５ a１＋６d＝１{ ,解得 a１＝７ d＝－１{ , ∴S６＝６×７＋ ６×５ ２ × (－１)＝２７．] ５．C　[∵an＋１＝an＋ １ an ,a１＝１, ∴a２＝a１＋ １ a１ ＝１＋１＝２,a３＝２＋ １ ２＝ ５ ２ , a４＝ ５ ２＋ ２ ５＝ ２９ １０． ] ６．A　[由an＋２ ＝an＋１ －an,a１ ＝３,a２ ＝５,可 得 a３＝a２－a１＝２,a４＝a３－a２＝２－５＝－３．] ７．B　[记每天的收入为数列{an},则{an}为公差 为１０的等差数列,且a１＝１０, 则１０n＋n (n－１) ２ ×１０＝１２００ , 解得n＝１５或－１６(舍去), 故该同学一共进行的天数为１５天．] ８．解析:因为２＝３－１,８＝９－１＝３２－１, ２６＝２７－１＝３３－１,８０＝８１－１＝３４－１, 所以该 数 列 的 一 个 通 项 公 式 可 以 是 (－１)n＋１ 􀅰３ n－１ ３n ． 答案:(－１)n＋１􀅰３ n－１ ３n ９．解析:设等差数列{an}的公差为d, 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,a１＝２, 所以S５＝５×２＋１０d＝３０,所以公差d＝２． 答案:２ １０．解析:根据题意,Sn＝na１＋ n(n－１)d ２ ＝３n＋n (n－１) ２ × (－１)＝－１２n ２＋７２n＝－４ , 整理得n２－７n－８＝０,解得n＝８或n＝－１(舍去)． 答案:８ １１．解:当n＝１时,a１＝S１＝６;当n≥２时,an＝Sn －Sn－１＝(n２＋３n＋２)－[(n－１)２＋３(n－１)＋ ２]＝２n＋２,∵当n＝１时,a１＝６不满足上式, ∴an ＝ ６,n＝１, ２n＋２,n≥２．{ ∵a２ －a１ ≠a３ －a４, ∴{an}不是等差数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰