假期作业2 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质-【快乐假期】2024年中职高二数学寒假作业

１２．解:(１) sinα＋π４ æ è ç ö ø ÷ ２cos２ α２＋２sin α ２cos α ２－１ ＝ sinα＋π４ æ è ç ö ø ÷ sinα＋cosα＝ sinα＋π４ æ è ç ö ø ÷ ２sinα＋π４ æ è ç ö ø ÷ ＝ ２２． (２)由α,β∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷,且 sinα＝ ５５ ,sinβ＝ ３ １０ １０ 可知,cosα＝２ ５５ ,cosβ＝ １０ １０． ∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ ５ ５ × １０ １０－ ２ ５ ５ × ３ １０ １０ ＝－ ２ ２． 又α,β∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷, ∴－π２＜α－β＜ π ２ ,∴α－β＝－ π ４． 假期作业２ １．B　[函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象,如图: 观察图象可知,直 线y＝１２ 与 函 数y＝sinx, x∈[０,２π]的图象有两个交点, 所以使sinx＝１２ 的x有２个值．] ２．C　[由正弦函数性质可知,－１≤sin３x≤１, 所以－２≤２sin３x≤２, 所以－７≤２sin３x－５≤－３, 所以函数y＝２sin３x－５的最大值是－３,最小 值是－７．] ３．C　[f(x)＝sin３x的定义域为R, 且f(－x)＝sin(－３x)＝－sin３x＝－f(x), 故f(x)＝sin３x 为 奇 函 数,A 错 误;g(x)＝ －sin５x 的 定 义 域 为 R,且 g (－ x)＝ －sin(－５x)＝sin５x＝ －g(x),故 g(x)＝ －sin５x为奇函数,B错误;h(x)＝|sinx|的定 义域为 R,且h(－x)＝|sin(－x)|＝|sinx|＝ h(x),故h(x)＝|sinx|为偶函数,C正确;u(x) ＝sinx－３的定义域为R,且u(－x)＝sin(－x) －３＝－sinx－３≠u(x),故u(x)＝sinx－３不 是偶函数,D错误．] ４．B　[由“五点法”作图知(图略):令２x＝０,π２ , π,３π２ ,２π,解得x＝０,π４ ,π ２ ,３π ４ ,π,即为五个关 键点的横坐标．] ５．D　[由y＝sin２x知其最小正周期为T＝２π２＝π , 函数的定义域为 R,由sin(－２x)＝－sin２x 知 函数y＝sin２x是奇函数．] ６．A　[将y＝sinx 图象上所有点的横坐标缩短 到原来的１ ２ ,纵坐标不变,得y＝sin２x, 再把得到的图象向右平移 π １０ 个单位长度,得到 函数y＝sin２x－π５ æ è ç ö ø ÷的图象．] ７．B　[因为 x＋π５ æ è ç ö ø ÷－ x－π５ æ è ç ö ø ÷＝２π５ , 所以只要把y＝sinx＋π５ æ è ç ö ø ÷ 的图象上所有的点向 右平行移动２π ５ 个单位长度,可得y＝sinx－π５ æ è ç ö ø ÷ 的 图象．] ８．解析:因为sinx∈[－１,１], 所以f(x)＝３sinx－２∈[－５,１], 故所求最小值为－５． 答案:－５ ９．解析:因为f(x)＝２sinωx＋π３ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)的最小 正周期为４π,所以４π＝T＝２π|ω|＝ ２π ω ,则ω＝１２． 答案:１ ２ １０．解析:把函数y＝sin３x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图象向右平移 π ８ 个单位长度,得到函数y＝ sin３x－π８ æ è ç ö ø ÷＋π４[ ] 的图象,即得 到函数解析 式为 y＝sin３x－π８ æ è ç ö ø ÷＋π４[ ]＝sin３x－ π ８ æ è ç ö ø ÷． 答案:y＝sin３x－π８ æ è ç ö ø ÷ １１．解:(１)列表: x ２π３ ５π ３ ８π ３ １１π ３ １４π ３ １ ２x－ π ３ ０ π ２ π ３π ２ ２π y ０ ３ ０ －３ ０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 图象如图所示: (２)因为－１≤sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷≤１, 则y＝３sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷∈[－３,３], 故函数的值域为[－３,３],最小正周期为 T＝２π１ ２ ＝４π． １２．解:f(x)＝１２sin２x－ ３ ２cos２x＝sin２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 当２x－π３＝ π ２＋２kπ (k∈Z), 即x＝５π１２＋kπ (k∈Z)时,函数f(x)取最大值, 且最大值为１． 假期作业３ １．B　[在△ABC 中,A＝３０°,C＝４５°, c＝ ２, 由正弦定理可得 a sinA＝ c sinC ,即a＝ csinC 􀅰sinA ＝ ２sin４５° 􀅰sin３０°＝ ２ ２ ２ ×１２＝１． ] ２．D　[因为b２＋c２＝a２＋ ３bc, 所以由余弦定理可得cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３bc２bc＝ ３ ２ , 因为０＜A＜π,所以A＝π６． ] ３．B　[因为cosA＝１２ ,A 为△ABC 内角, 所以sinA＝ １－cos２A＝ ３２ , 所以S△ABC＝ １ ２AB×AC×sinA＝ １ ２×４×３× ３ ２ ＝３ ３．] ４．C　[由题意,三角形空 地 的 面 积 为 １２×３２× ６８×１２m ２＝５４４m２,∵改造费用为５０元/m２, ∴这 块 三 角 形 空 地 的 改 造 费 用 为 ５４４×５０ ＝２７２００元．] ５．B　[由２acosB＝c以及余弦定理得 ２a􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＝c , 化简得a＝b,所以三角形的形状一定是等腰三 角形．] ６．C　[设三条对应的底边边长分别为a,b,c,则有 ３a＝４b＝６c,三边之比为a∶b∶c＝４∶３∶２, 设最大边所对的角为α, 则cosα＝４＋９－１６２×２×３＝－ １ ４＜０ , 而α为三角形内角,故α为钝角,故三角形为钝 角三角形．] ７．B　[由b２－c２＝２a２,得cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝－a ２ ２ac＝ －a ２c＝－ １ ４ ,解得c a＝２． ] ８．解析:在锐角△ABC中,因为 ３a＝２bsin(B＋C), 所以由正弦定理可得 ３sinA＝２sinBsin(B＋C) ＝２sinBsinA, 因为sinA＞０,所以sinB＝ ３２ , 因为B∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,所以B＝π３． 答案:π ３ ９．解析:根据题图可设旗杆的高度为h, 所以BC＝ htan４５°＝h ,BD＝ htan３０°＝ ３h , 在△BCD 中,由余弦定理得 BD２＝BC２＋CD２－２BC􀅰CD􀅰cos１２０°, 即(３h)２＝h２＋１５２－２×h×１５× －１２ æ è ç ö ø ÷, 即２h２－１５h－２２５＝０, 解得h＝１５或h＝－７．５(舍去)． 答案:１５ １０．解析:因为A＝π３ ,a＝ ３, 所以由余弦定理a２＝b２＋c２－２bccosA, 可得b２＋c２－bc＝３． 答案:３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 　　　 假期作业２　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质 ●[每日一语]　出发总是美丽的,尤其是在一个阳光普照的清晨上路． １．正弦型函数的相关概念 (１)定义:一般地,形如y＝Asin(ωx＋φ)的函 数,在物理、工程等学科的研究中经常遇 到,这类型的函数称为正弦型函数,其中 A,ω,φ都是常数,且A≠０,ω≠０． (２)A,ω,φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的 影响 ①A 决定了函数的值域以及函数的最 大值和最小值,通常称A 为振幅． ②φ决定了x＝０时的函数值,通常称φ 为初相,ωx＋φ称为相位． ③ω决定了函数的周期T＝２π|ω|． (３)A,ω,φ的实际意义 ①|A|表示小球能偏离平衡位置的最大 距离,称为振幅; ②φ在决定t＝０时小球的位置中起关 键性作用,称为初相; ③周期T＝２π|ω| 表示小球完成一次运动 所需要的时间,f＝１T＝ |ω| ２π 表示１s内 能完成的运动次数,称为频率． ２．正弦型函数的性质 (１)定义域:R． (２)值域:[－A,A]． (３)周期:T＝２π|ω|． (４)奇偶性:“定义域关于原点对称”,是函 数具有奇偶性的前提,在满足这一前提 的条件下,对于y＝Asin(ωx＋φ)(A≠０, ω≠０)． 当φ＝kπ(k∈Z)时,函数y＝Asin(ωx＋φ) (A≠０,ω≠０)是奇函数; 当φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z)时,函 数 y＝ Asin(ωx＋φ)(A≠０,ω≠０)是偶函数． (５)单调性:确定函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞０,ω＞０)的单调区间的思想是把 ωx＋φ看作一个整体． 由２kπ－π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ π ２ (k∈Z) 解出x的范围,可得单调递增区间; 由２kπ＋π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ ３π ２ (k∈Z) 解出x的范围,可得单调递减区间． ３．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内 的简图时,要找五个关键点,如下表所示． x －φω － φ ω ＋ π ２ω π－φ ω ３π ２ω－ φ ω ２π－φ ω ωx＋φ ０ π ２ π ３π ２ ２π y＝Asin (ωx＋φ) ０ A ０ －A ０ ４．三角函数图象变换 (１)振幅变换 要得到函数y＝Asinx(A＞０,A≠１)的 图象,只要将函数y＝sinx的图象上所 有点的纵坐标伸长(当A＞１时)或缩短 (当０＜A＜１时)到原来的A 倍(横坐标 不变)即可得到． (２)平移变换 要得到函数y＝sin(x＋φ)的图象,只要 将函数y＝sinx 的图象上所有点向左 (当φ＞０时)或向右(当φ＜０时)平行 移动|φ|个单位长度即可得到． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 (３)周期变换 要得到函数y＝sinωx(x∈R)(其中 ω＞０且ω≠１)的图象,可以把函数y＝sinx 上所有点的横坐标缩短(当ω＞１时)或 伸长(当０＜ω＜１时)到原来的１ω 倍(纵 坐标不变)即可得到． (４)函数y＝sinx 的图象经变换得到y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的图象的两种途径 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．从函数y＝sinx,x∈[０,２π]的图象来 看,对应于sinx＝１２ 的x有 (　　) A．１个值　　　　　　B．２个值 C．３个值 D．４个值 ２．函数y＝２sin３x－５的最大值与最小值 分别是 (　　) A．最大值是－３,最小值是－８ B．最大值是２,最小值是－２ C．最大值是－３,最小值是－７ D．最大值是２,最小值是－７ ３．下列函数是偶函数的是 (　　) A．y＝sin３x B．y＝－sin５x C．y＝|sinx| D．y＝sinx－３ ４．用“五点法”作y＝２sin２x 的图象,首先 描出的五个点的横坐标是 (　　) A．０,π２ ,π,３π２ ,２π B．０,π４ ,π ２ ,３π ４ ,π C．０,π,２π,３π,４π D．０,π６ ,π ３ ,π ２ ,２π ３ ５．函数y＝sin２x是 (　　) A．最小正周期为２π的偶函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为２π的奇函数 D．最小正周期为π的奇函数 ６．为了得到函数y＝sin２x－π５ æ è ç ö ø ÷ 的图象, 只要将函数y＝sinx图象上所有点的 (　　) A．横坐标缩短到原来的１２ ,纵坐标不变,再 把得到的图象向右平移π １０ 个单位长度 B．横坐标缩短到原来的１２ ,纵坐标不变,再 把得到的图象向左平移π １０ 个单位长度 C．横坐标缩短到原来的１２ ,纵坐标不变,再 把得到的图象向右平移π ５ 个单位长度 D．横坐标伸长到原来的２倍,纵坐标不 变,再把得到的图象向右平移π ５ 个单 位长度 ７．为了得到函数y＝sinx－π５ æ è ç ö ø ÷的图象,只 要把y＝sinx＋π５ æ è ç ö ø ÷的图象上所有的点 (　　) A．向右平行移动π５ 个单位长度 B．向右平行移动２π５ 个单位长度 C．向左平行移动π５ 个单位长度 D．向左平行移动２π５ 个单位长度 ８．函数f(x)＝３sinx－２(x∈R)的最小值 为　　　　． ９．已知函数f(x)＝２sinωx＋π３ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)的 最小正周期为４π,则ω＝　 　． １０．把函数y＝sin３x＋π４ æ è ç ö ø ÷ 的图象向右平 移π ８ 个 单 位 长 度,得 到 的 解 析 式 是 　　　　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 １１．已知函数y＝３sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷． (１)用“五点法”画出函数y＝３sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 在一个周期内的图象． 列表: １ ２x－ π ３ x y＝３sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 作图: (２)直接写出函数y＝３sin １２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的 值域和最小正周期． １２．已知函数f(x)＝１２sin２x－ ３ ２cos２x , 求f(x)的 最 大 值 及 取 得 最 大 值 时 x 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 王爷分饼 古时候,一位王爷去山上看望习武的儿子,兄弟几个见父王来了,立刻围了上来,王 爷说:“孩子们,父王今天带来了你们最喜欢吃的大饼．”说着取出一个大饼平均分成了 两份,给了老大一块．嘴谗的老二说:“父王,我想吃两块饼．”于是王爷把第二块饼平均 分成了四份,给了老二两块．贪心的老三说:“父王,给我三块饼．”王爷又把第三块饼平 均分成了六份,给了他三块．一向老实的大哥开腔了:“父王,老四最小,应该给他六块．” 老四听了非常高兴,觉得父王给他最多,同学们,你们觉得谁最多呢? 􀅰５􀅰